日本高中数学内容-高中数学选修2学什么区别
函数的单调性
一、选择题:
1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是
A.y=2x+1
C.y=
B.y=3x
2
+1
D.y=2x
2
+x+1
( )
2
x
2.函数f(x)=4x
2
-mx+5在
区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数,
则f(1)等于 (
)
A.-7 B.1
C.17 D.25
3.函数f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则y=f(x+5)的递增区间是 ( )
A.(3,8) B.(-7,-2)
C.(-2,3) D.(0,5)
4.函数f(x)=
ax?1
在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是
x?2
11
A.(0,) B.( ,+∞)
22
( )
C.(-2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
5.已知函数f(x)在区间
[a,b]上单调,且f(a)f(b)<0,则方程f(x)=0在区间[a,b]内( )
A.至少有一实根 B.至多有一实根
C.没有实根
D.必有唯一的实根
6.已知函数f(x)=8+2x-x
2
,如果g(x)=f(
2-x
2
),那么函数g(x) ( )
A.在区间(-1,0)上是减函数 B.在区间(0,1)上是减函数
C.在区间(-2,0)上是增函数 D.在区间(0,2)上是增函数
7.已知函数f(x)是R上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么不等式
|f(x+1)|<1的解集的补集是 ( )
A.(-1,2)
B.(1,4)
C.(-∞,-1)∪[4,+∞)
D.(-∞,-1)∪[2,+∞)
8.已知定义域为R的函数f(x)在区间(-∞,5)上单调递
减,对任意实数t,都有f(5+t)=f(5
-t),那么下列式子一定成立的是 ( )
A.f(-1)<f(9)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1)
C.f(9)<f(-1)<f(13) D.f(13)<f(-1)<f(9)
9.函数
f(x)?|x|和g(x)?x(2?x)
的递增区间依次是
A.
(??,0],(??,1]
(
)
B.
(??,0],[1,??)
D
[0,??),[1,??)
- -
1
C.
[0,??),(??,1]
10.已知函数
f
?
x
?
?x
2
?2
?
a?1
?
x?2
在区间
?
??,4
?
上是减函数,则实数
a
的取值范围是( )
A.a≤3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3
11.已知f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R且a+b≤0,则下列不等式中正确
的是( )
A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)]
B.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)
C.f(a)+f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) 12.定义在R上的函数y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且y=f(x+2)图象的对称轴是x=
0,则 ( )
A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f
(-1)=f (-3) D.f(2)<f(3)
二、填空题:
13.函数y=(x-1)
-
2
的减区间是___
_.
14.函数y=x-2
1?x
+2的值域为__
___.
15、设
y?f
?
x
?
是
R
上
的减函数,则
y?f
?
x?3
?
的单调递减区间为
.
16、函数f(x) =
ax
2
+4(a+1)x-3在[2,+∞]上递减,则a的取值范围是__
.
三、解答题:
17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且f(
(1)求f(1)的值.
(2)若f(6)= 1,解不等式 f( x+3
)-f(
x
) = f(x)-f(y)
y
1
) <2 .
x
18.函数f(x)=-x
3
+1在R上是否具有单调性?如果具有单调性,它在R上是增函数还是减
函数?试证明你的结
论.
19.试讨论函数f(x)=
1?x
2
在区间[-1,1]上的单调性.
- -
2
20.设函数f(x)=
x
2
?1
-ax,(a>0),试确定:当a取什么值时,函数f(x)在0,+∞
)上为
单调函数.
21.已知f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且f(m-1)-f(
1-2m)>0,求实数m的取值范
围.
x
2
?2x?a
22.已知函数f(x)=,x∈[1,+∞]
x
1
(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;
2
(2)若对任
意x∈[1,+∞
)
,f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
- -
3
参考答案
一、选择题: CDBBD ADCCA
BA
二、填空题:13. (1,+∞), 14.
(-∞,3),15.
?
3,??
?
,
?
??,?
?
2
?
?
1
??
三、解答题:17.解析:①在等式中
令x?y?0
,则f(1)=0. ②在等式中令x=36,y=6则
f(
36
)?f(36)?f(6),?f(3
6)?2f(6)?2.
6
故原不等式为:
f(x?3)?f()?f(
36),
即f[x(x+3)]<f(36),
又f(x)在(0,+∞)上为增函数, <
br>1
x
?
x?3?0
?
1153?3
?
故不等
式等价于:
?
?0?0?x?.
2
?
x
?
?
0?x(x?3)?36
18.解析:
f(x)在R上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:
设x
1
、x
2
∈(-∞,+∞),
x
1
<x
2
,则f(x
1
)=-x
1
3
+1,
f(x
2
)=-x
2
3
+1.
f(x
1
)-f(x
2
)=x
2
3
-x
1
3
=(x
2
-x
1
)(x
1
2
+x
1
x<
br>2
+x
2
2
)=(x
2
-x
1
)[
(x
1
+
∵x
1
<x
2
,∴x
2
-x
1
>0而(x
1
+
x
2
2
3
2
)+x
2
].
4
2
x
2
2
3
2
)+x
2
>0,∴f(x
1
)>f(x
2
).
4
2
∴函数f(x)=-x
3
+1在(-∞,+∞)上是减函数.
19.解析: 设x
1
、x
2
∈-1,1]且x
1
<x
2
,即-1≤x
1
<x
2
≤1.
f(x1
)-f(x
2
)=
1?x
1
-
1?x
2
=
2
2
(1?x
1
)?(1?x
2
)
1?x
1
?1?x
2
22
22
=
(x2
?x
1
)(x
2
?x
1
)
1?x<
br>1
?1?x
2
22
∵x
2
-x
1
>0,
1?x
1
?1?x
2
>0,∴当x
1
>0,x
2
>0时,x
1
+x
2
>0,那么f(x
1
)>f(x
2
).
当x
1
<0,x
2
<0时,x
1
+x
2
<0,那么f(x
1
)<f(x2
).
故f(x)=
1?x
2
在区间[-1,0]上是增函数
,f(x)=
1?x
2
在区间[0,1]上是减函数.
20.解析:任取x
1
、x
2
∈0,+
?
?
且x
1
<
x
2
,则
f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
?1
-
x
2
?1
-a(x
1
-
x
2
)=
22
22
x
1
?x
2
2
22
2
-a(x
1
-x
2
)
x
1
?1?x
2
?1
4
- -
=(x
1
-x
2
)(
x
1
?x
2
x
1
?1?x
2
?1
22
-a)
( 1)当a≥1时,∵
x
1
?x
2
x
1
?1?x2
?1
22
<1,
又∵x
1
-x
2
<0,∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,即f(x
1
)>f (x
2
)
∴a≥1时,函数f(x)在区间[0,+∞)上为减函数.
( 2)当0<a<1时,在区间[0,+∞]上存在x
1
=0,x
2
=
∴0<a<1时,f(x)在[0,+
?
?
上不是单调函数
注: ①判断单调性常规思路为定义法;
②变形过程中
2a
,满足f(x
1
)=f(x
2
)=1
2
1?a
x
1
?x
2
x
1
?1?x
2
?1
22
<1利用了
x
1
?1
>|x
1
|≥x
1
;
x
2
?1
>x
2
;
2
2
③从a的范围看还须讨论0 <a<1时f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体现.
21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函数
∴由f(m-1)-f(1-2m)>0,得f(m-1)>f(1-2m)
?
?< br>?1?m?3
?
?2?m?1?2
?
12
3
12??
1
∴
?
?2?1?2m?2,即
?
??m?
解得
??m?
,∴m的取值范围是(-
,
)
2
23
23
?
m?1?1?2m
?
2
?
2
?m?
?
3
?
22.解析: (1)当a=
11
时,f(x)=x++2,x∈1,+∞)
2
2x
x?x
2
111
=(x
2
-x
1
)+
1
=(x
2
-x
1
)(1-)
?x
1
?< br>2x
2
2x
1
2x
1
x
2
2x1
x
2
1
>0,则f(x
2
)>f(x
1)
2x
1
x
2
设x
2
>x
1
≥1,则f(x
2
)-f(x
1
)=x
2
+
∵x
2
>x
1
≥1,∴x
2
-x
1
>0,1-
可知f(x)在[1,+∞)上是增函数.∴f(x)在区间[1,+∞
)
上的最小值 为f(1)=
7
.
2
x
2
?2x?a
(2)在区 间[1,+∞
)
上,f(x)=>0恒成立
?
x
2
+2x+ a>0恒成立
x
设y=x
2
+2x+a,x∈1,+∞),由y=(x+1 )
2
+a-1可知其在[1,+∞)上是增函数,
当x=1时,y
min< br>=3+a,于是当且仅当y
min
=3+a>0时函数f(x)>0恒成立.故a>-3 .
- -
5
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