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板块一.函数的单调性
典例分析
1.定义法
题型一:求函数的单调区间,常用以下四种方法。
2x
在区间
(0,1)
上的单调性.
x?1
【例1】
试用函数单调性的定义判断函数
f(x)?
【例2】
证明函数
y?x
3
在定义域上是增函数.
【例3】
根据函数单调性的定义,证明函数
f(x)??x
3
?1
在
(??,??)
上是减函数.
【例4】
证明函数
f(x)??x
在定义域上是减函数.
【例5】
讨论函数
f(x)?
x
(?1?x?1)
的单调性.
2
x?1
【例6】
求函数f(x)=x+
1
的单调区间。
x
a
【例7】
求证:函数
f(x)?x?(a?0)
在
(a,??)
上是增函数.
x
【例8】
(春季北京、安徽,12)设函数f(
x)=
x?a
(a>b>0),求f(x)的单调
x?b
区间,并证明f(x
)在其单调区间上的单调性。
e
x
a
?
x
是
R
上的偶函数。
【例9】
(天津,19)设
a?0
,
f(x)?
ae(1)求
a
的值;(2)证明
f(x)
在
(0,??)
上为增函数。
【例10】
已知f(x)是定义在R上的增函数,对x∈R有f(x)>0,且f(5)=1,设F(x)=
f(x)+
1
,讨论F
(x)的单调性,并证明你的结论。
f(x)
【例11】
已知函数
f(x
)
对任意实数
x
,
y
均有
f(x?y)?f(x)?f(y
)
.且当
x
>0时,
f(x)?0
,试判断
f(x)
的单调性,并说明理由.
【例12】
已知给
定函数
f(x)
对于任意正数
x
,
y
都有
f(xy
)
=
f(x)
·
f(y)
,且
f(x)
≠0,当
x?1
时,
f(x)?1
.试判断
f(x)
在
(0,??)
上的单调性,并说明理由.
2.图象法
【例13】
如图是定义在区间
[?
5,5]
上的函数
y?f(x)
,根据图象说出函数的单调区间,
以及在每一
单调区间上,它是增函数还是减函数?
y
3
2
-2
-5
-
4-3
-1
O
1
-1
-2
12345
x
y
=f (x)
【例14】
求函数
y?1?2x?2?x
的单调减区间
【例15】
求下列函数的单调区间:
1
⑴
y?|x?1|
;⑵
y?x?
(
x?0
).
x
【例16】
求下列函数的单调区间:
⑴
y?|x?1|?|2x?4|
;⑵
y??x
2
?2|x|?3
【例17】
作出函数
y?|x
2
?x|
的图象,并结合图象写出它的单调区间.
【例18】
画出下列函数图象并写出函数的单调区间
(
1
)
y??x
2
?2|x|?1
(
2
)
y?|?x
2
?2x?3|
3.求复合函数的单调区间
x
2
【例19】
函数
y?
(
x?R
,
x≠1
)的递增区间是(
)
x?1
A.
x≥2
B.
x≤0
或
x≥2
C.
x≤0
D.
x≤1?2
或
x≥2
??
?
上是减函数,求
f1?x
2
单调增区间。
【例20】
已知
y?f
?
x
?
是偶数,且在?
0,
??
【例21】
求函数
y?
1
的单调区间.
x?x?2
2
【例22】
讨论函数
y?x
2
?2x?3
的单调性.
【例23】
求函数
f(x)?
㏒
0.5
(x
2
?8x?7)
的单调区间
【例24】
(1)求函数
y?lo
g
0.7
(x
2
?3x?2)
的单调区间;
(2)已知<
br>f(x)?8?2x?x
2
,
若
g(x)?f(2?x
2)
试确定
g(x)
的单调区间和单
调性。
题型二:利用单调性求函数中参数的取值范围
【例25】
设
函数
f(x)?(2a?1)x?b
是R上的减函数,则
a
的范围为(
)
A.
a?
1
2
B.
a?
1
2
1
C.
a??
2
D.
a?
1
2
【例26】
函
数
y?x
2
?bx?c(x?[0,??)
)是单调函数的充要条件是(
)
A.
b?0
B.
b?0
【例27】
已知
f(x)?
C.
b?0
D.
b?0
a
?(a
x
?a
?x
)(
a?0
且
a≠1
)是
R
上的增函数.则实数
a
的取值
a?2
2
范围是( ).
A.
(0,1)
C.
【例28】
设
a
是实数,
f(x)?a?
B.
(0,1)U
?
2,??
?
2,??
?
D.
(0
,
1)
U
?
?
?
2
,
??
?
2
(x?R)
,
2?1
⑴试证明对于任意
a
,
f(x)
为增函数;
x
⑵试确定
a
值,使
f(x)
为奇函数.
【例29】
设定义域为R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数,若
f
?
klog
2
t
?
?f
?
log
2
t?lo
g
2
2
t?2
?
?0
对一切正实数t成立,求实数k的取值
范围。
【例30】
已
知f(x)是奇函数,在实数集R上又是单调递减函数且0<
θ
<
?
2
时,
f(sin
2
?
?
1
2
31
tsin
?
)?f()?0
,求t的取值范围.
22
【例31】
已知奇函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞]上是
增函数,是否存在实数
m,使f(cos2
θ
-3)+f(4m-2mcos
θ
)>f(0)对所有
θ
∈[0,
?
]都成立?若存在,
2
求出符合条件的所有实数m的范围,若不存在,说明理由。
题型三:函数的单调性与方程、不等式
【例32】
比较
log
2
(x?1)与log
2
(2x?3)
的大小.
【例33】
已知
f(x)
在区间
(??,??)
上是减函数,
a,b?R
且
a?b?0
,则下列表达正确的
是(
)
A
.
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
B
.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
C
.
f(a)?f(b)??[f(a)?f(b)]
D
.
f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)
【例34】
若
f(x)
是
R
上的减函数,且
f(x)
的图象经
过点
A(0,3)
和点
B(3,?1)
,则不等
式
|f(x
?1)?1|?2
的解集为( ).
A.
(??,3)
【例35】
解方程
3x?6?
B.
(??,2)
C.
(0,3)
D.
(?1,2)
9?5x?2?x
.
【例36】
设f(x)在R上是偶函数,在区间(-∞,0)上递
增,且有f(2a
2
+a+1)
-2a+1),
求a的
取值范围。
【例37】
设
f(x)<
br>是定义在R上的函数,对
m
、且当
x?0n?R
恒有
f(m?
n)?f(m)?f(n)
,
时,
0?f(x)?1
。
(
1
)求证:
f(0)?1
;
(
2
)证明:
x?R
时恒有
f(x)?0
;
(
3
)求证:
f(x)
在
R
上是减函数;
(
4
)若
f(x)?f(2?x)?1
,求
x
的范
围。
【例38】
设
f(x)
是定义在
(0,??)
上的单调增函数,满足
f(xy)?f(x)?f(y
),f(3)?1
求:(
1
)
f
(
1
)
;(
2
)当
f(x)?f(x?8)?2
时
x
的取
值范围
.
x
【例39】 <
br>已知
f(x)
是定义在
R
?
上的增函数,且
f()?
f(x)?f(y)
.
y
⑴求证:
f(1)?0
,
f(x
y)?f(x)?f(y)
;
⑵若
f(2)?1
,解不等式
f(x)?f(
【例40】
已知偶函数f(x)在(0,+∞)上为增函数,且f(2
)=0,解不等式f[log
2
(x
2
+5x+4)]
1
)
?2
.
x?3
≥0。
【例41】
已知 a
、
b
、
c
?R,c?a?b且c?a?b
,
求证:
?
cab
??
c?1a?1b?1
【例42】
已知x>-1,且x≠0,
n?N,n?2
,求证:
(
1?x)?1?nx
n
【例43】
设
n?1
,
f(x)
是定义在有限集合
A?
?
1,2,3,L,n
?
上的单调递增函数,且对任
何
x,y?A
,有
f(x)
( )
?f(x)f(y)
.那么,
f(y)
A.
n?2
B.
n?3
C.
n?4
D.
n≥5
【例44】
已知
f(x)
是定义
在
(0,??)
上的增函数,且当
n?N
*
时,
f(n)?
N
*
,
f[f(n)]?3n
,
则
f(1)?f(2)?<
br> .
题型四:函数的最值
【例45】
求函数
f(x)?x?
1
,
x?0
的最小值.
x
【例46】
求函数
y?x?1?x?1
的最小值.
【例47】
求函数
y?x?1?x?1
的最值.
【例48】
(全国理,21)设a为实数,函数f(x)=x
2
+|x-a|+1,x∈R。
(1)讨论f(x)的奇偶性;(2)求f(x)的最小值。
【例49】
设m是实数,记M={m|m>1},f(x)=log
3<
br>(x
2
-4mx+4m
2
+m+
1
)。
m
?1
(1)证明:当m∈M时,f(x)对所有实数都有意义;反之,若f(x)对所有实数x都
有意义,则m∈M;
(2)当m∈M时,求函数f(x)的最小值;
(3)求证:对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1。
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