人教版高中数学函数的单调性教案

基础巩固强化
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A．y＝2－3x
2

1
C．y＝
x－2
[答案] C
[解析] A中，y′＝－6x，当－10 ，当0y′<0，故函数y＝2－3x
2
在区间(－1,1)上不是减函 数，B中，y＝lnx
1
在x＝0处无意义；C中，y′＝－
<0对x∈(－1,1) 恒成立，∴
2
?x－2?
1
函数y＝在区间(－1,1)上是减函数；D中， y′＝cosx>0对x∈(－
x－2
1,1)恒成立，∴函数y＝sinx在(－1,1)上 是增函数．
2．函数f(x)＝x＋lnx在(0,6)上是( )
A．单调增函数
B．单调减函数
11
C．在(0，
e
)上是减函数，在(
e
，6)上是增函数
11
D．在(0，
e
)上是增函数，在(e
，6)上是减函数
[答案] A
1
[解析] ∵f ′(x)＝1＋
x
>0，
∴函数在(0,6)上单调递增．
3．已知对任 意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x>0，
B．y＝lnx
D．y＝sinx

有f′(x)>0，g′(x)>0，则当x<0时，有( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0′，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
[答案] B
[解析] 由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．∵x>0时，f′(x)>0，
g′(x)>0，
∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．
∴x<0时，f(x)递增，g(x)递减．
∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.
1
2
4．(2012·辽宁 文，8)函数y＝
2
x－lnx的单调递区间为( )
A．(－1,1]
C．[1，＋∞)
[答案] B
[解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间．
2
1
2
1
x
－1< br>∵y＝
2
x
－lnx，∴y′＝x－
x
＝
x
(x>0)，
B．(0,1]
D．(0，＋∞)
x
2
－1?
?
≤0
令
?
x
?
?
x>0

，得0∴函数的单调递减区间为(0,1]．
需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．

5．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( ) π
??
π
??
A.
?
－π，－
2
?< br>和
?
0，
2
?

????
π
??< br>π
??
B.
?
－
2
，0
?
和
?
0，
2
?

????
π
??
π
??
C.
?
－π，－
2
?
和
?
2
，π
?

????
?
π
??
π
?
???
D.
－
2
，0
和
2
，π
?

????
[答案] A
π
[解析] y′＝xcosx，当－π2
时，
cosx<0，∴y′＝xcosx>0，
π
当－
2
0，∴y′＝xcosx<0.
π
当02
时，cosx>0，∴y′＝xcosx>0.
π
当
2
6．已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f ′(x)的图象
大致形状是( )

[答案] B
[解析] 因为二次函数 在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，
所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞ )上小于0，故选B.
二、填空题
7．函数y＝x
3
－x
2
－x的单调递增区间为________．
1
[答案] (－∞，－
3
)，(1，＋∞)
[解析] ∵y′＝3x
2
－2x－1＝(3x＋1)(x－1)，
1
∴由y′>0得，x>1或x<－
3
.
8．若函数f(x)＝x
3
＋bx
2
＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝
___ _____，c＝________.
[答案] －3 －9
[解析] f′(x)＝3x
2
＋2bx＋c，
?
f′?－1?＝0
由条件知
?
?
f′?3?＝9

?
3－2b＋c＝0
，即
?
?
27＋6b＋c＝0

，

解得b＝－3，c＝－9.
9．若函数y＝x
3
－ax
2
＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范
围是_________ ___．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x
2
－2ax，由 题意知3x
2
－2ax≤0在区间(0,2)内恒
成立，
3
即a≥
2
x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
三、解答题
bx
10．讨论函数f(x)＝
2
(－1＜x＜1，b≠0)的单调性．
x－1
bx
[解析] ∵f(x)＝
2
(－1x
－1
?bx?′?x
2
－1?－bx?x
2
－1 ?′
∴f ′(x)＝

22
?x
－1?
bx
2< br>－b－2bx
2
－b?1＋x
2
?
＝＝
2

222
?x
－1?
?x
－1?
∵－12
>0，(x
2
－1)
2
>0，
①当b>0时，f ′(x)<0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递减．
②当b<0时，f ′(x)>0，∴函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
能力拓展提升
一、选择题 < br>11．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y
．．．
＝f (x)在区间[a，b]上的图象可能是( )

[答案] A
[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f ′(x)是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，
故选A.
12．已知函数f(x )＝x
3
－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a
的取值范围为( )
A．a≥3
C．a≤3
[答案] A
[解析] ∵f′(x)＝3x
2
－a，
又f(x)在(－1,1)上单调递减，
B．a>3
D．a<3

∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，
即3x
2
－a≤0在(－1,1)上恒成立．
∴a≥3x
2
在(－1,1)上恒成立，
又0≤3x
2
<3，∴a≥3，
经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1 )上单调递减．
13．函数f(x)＝－
x
e
x
(aA．f(a)＝f(b)
B．f(a)C．f(a)>f(b)
D．f(a)，f(b)的大小关系不能确定
[答案] C
[解析] f ′(x)＝(
－x
e
x
)′
?－x? ′·e
x
－?－x?·?e
x
＝
?′
?e
x
?
2

＝
x－1
e
x
.
当x<1时，f ′(x)<0，∴f(x)为减函数，
∵af(b)．
14．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′
( )
(x)的图象可能是

[答案] D
[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0 ，＋
∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，
故选D.
二、填空题
15．函数f(x)＝xlnx的单调减区间为________．
1
[答案] (0，
e
)
[解析] 函数f(x)定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝lnx＋1.
1
解f′(x)<0得x<
e
，又x>0，
1
∴f(x)的减区间为(0，
e
)．
ax＋1
16．已 知函数f(x)＝在(－2，＋∞)上单调递减，则a的取
x＋2

值范围是__ ______．
1
[答案] (－∞，
2
)
a?x＋2?－ax－12a－1
[解析] f′(x)＝
＝，
22
?x＋2??x＋2?
由题意得x<－2时，f′(x)≤0恒成立，
1
∴2a－1≤0，∴a≤
2
.
1
2
x＋111
又当a＝
2
时，f(x)＝＝
2
，
x＋2
此时，函数f(x)在(－2，＋∞)上不是减函数，
1
∴a≠
2
.
1
综上可知，a的取值范围为(－∞，
2
)．
三、解答题
17．设函数f(x)＝x
3
－3ax
2
＋3bx的图象与直线12x＋y －1＝0相
切于点(1，－11).
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数f(x)的单调性．
[解析] (1)f′(x)＝3x
2
－6ax＋3b.
因为f(x)的图象与直线12x＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以
f(1)＝－11，f′(1)＝－12，

< br>?
1－3a＋3b＝－11
即
?
?
3－6a＋3b＝－12< br>
，解得a＝1，b＝－3.
(2)由a＝1，b＝－3得f′(x)＝3x
2
－6ax＋3b＝3(x
2
－2x－3)＝3(x
＋1)(x－3)．
令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；
又令f′(x)<0，解得－1故当x∈(－∞，－1)时，f(x)是增函数；
当x∈(3，＋∞)时，f(x)也是增函数；
当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．
18．已知f(x)＝e
x
－ax－1.
(1)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围；
(2)是否存在实数a使f(x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)
上单调递增？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 ．
[解析] (1)∵f(x)＝e
x
－ax－1，
∴f′(x)＝e
x
－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′ (x)＝e
x
－a≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即
a≤e
x< br>，x∈R恒成立．
∵x∈R时，e
x
∈(0，＋∞)，∴a≤0.
(2)f′(x)＝e
x
－a.

若f(x)在(－∞，0] 上是单调递减函数?e
x
－a≤0在x∈(－∞，0]
时恒成立?a≥(e
x
)
max
.
当x∈(－∞，0]时，e
x
∈(0,1]，
∴a≥1.①
若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数
?e
x
－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立?a≤(e
x
)
min
.
当x∈[0，＋∞)时，
e
x
∈[1，＋∞)，∴a≤1.②
由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．

1．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f ′(x)的图
象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在
( )
A．第一象限
C．第三象限
[答案] C
[解析] 由题意可设f(x)＝ax
2
＋bx，f ′(x)＝2ax＋b，由于f ′(x)
图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x
b
2
b
2
bb
2
＋
2a
)
－
4a
， 顶点(－
2a
，－
4a
)在第三象限，故选C.
2．设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如图所示，则
y＝f(x)的图象最有可能的是( )
B．第二象限
D．第四象限

[答案] C
[分析] 由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的
单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．
[解析] 由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0，f(x)为
增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0，
f(x)为增函数．
只有C符合题意，故选C.
3．函数y＝x
3
＋ax＋b在(－1,1)上 为减函数，在(1，＋∞)上为增
函数，则( )
A．a＝1，b＝1
C．a＝－3，b＝3
B．a＝1，b∈R
D．a＝－3，b∈R

[答案] D
[解析] f ′(x)＝3x
2
＋a，由条件f ′(1)＝0，
∴a＝－3，b∈R.
1
4．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程为y＝
2
x
＋2，则f(1)＋f ′(1)＝________.
[答案] 3
1
[解析] ∵切点M在切线y＝
2
x＋2上，
15
∴f(1)＝
2
×1＋2＝
2
，
11
又切线斜率k＝
2
，∴f ′(1)＝
2
，
51
∴f(1)＋f ′(1)＝
2
＋
2
＝3.
4
5．若函数y＝－
3
x
3
＋ax有三个单调区间，则a的取值范围
________．
[答案] a>0
4
3
[解析] y′＝－ 4x
＋a，若y＝－
3
x
＋ax有三个单调区间，则方
2
程 －4x
2
＋a＝0应有两个不等实根，故a>0.
1
3
1
2
6．已知f(x)＝
3
x＋
2
ax＋ax－2(a∈R)．若函数 f(x)在(－∞，＋
∞)上为单调递增函数，求a的取值范围．
[解析] 因为f ′(x)＝x
2
＋ax＋a(a∈R)，
由题意知：f ′(x)≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

所以Δ＝a
2
－4a≤0，所以0≤a≤4.
故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．