高一数学必修1函数的单调性和奇偶性的综合应用

高一数学必修1 函数的单调性和奇偶性的综合应用
对称有点对称和轴对称：





点对称：对称中心O 轴对称：
O
数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于
y
轴成轴对称图形。
1 、函数的单调性：应用：若
y?f(x)
是增函数，
f(x
1
)?f (x
2
)

?

x
1

x
2



应用：若
y?f(x)
是减函数，
f(x
1
)?f(x
2
)

?

x
1

x
2

2
相关练习：若
y?f(x)
是R上的减函数，则
f(1)

f(a?2a?2)

2、熟悉常见的函数的单调性：
y?kx?b
、
y?
相关练习：若
f(x)?ax
，
g(x)??
k
2
、
y?ax? bx?c

x
b
2
在
(??,0)
上都是减函数， 则
f(x)?ax?bx
在
x
(0,??)
上是 函数（增、减）
3、函数的奇偶性：
定义域关于原点对称，
f(?x)?f(x)

?

f(x)
是偶函数
定义域关于原点对称，
f(?x)??f(x)

?

f(x)
是奇函数
（当然，对于一般的函数，都没有恰好f(?x)??f(x)
，所以大部分函数都不具有奇偶性）
相关练习：（1）已知函数
f(x)?ax?bx?4a?
2
1
是定义在
[a?1,2a]上的奇函数，且
b
f(1)?5
，求
a
、
b

(2)若
f(x)?(K?2)x?(K?1)x?3
是偶函数，则
f(x)
的递减区间是 。
(3)若函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，则
f(0)?
。


(4)函数
y?f(x)
的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像
2

奇函数
y
偶函数
y
奇函数
y
奇函数y
o
x
o
x
o
x
o
x
4、单 调性和奇偶性的综合应用 【类型1 转换区间】
相关练习：（1）根据函数的图像说明，若偶函数
y?f(x)
在
(??,0)
上是减函数，则
f(x)
在< br>(0,??)
上是 函数（增、减）
(2) 已知
f(x)
为 奇函数，当
x?0
时，
f(x)?(1?x)x
，则当
x?0
时，
(x)?

3
2
(3)R上的偶函数在(0,??)
上是减函数，
f(?)

f(a?a?1)

4
(4)设
f(x)
为定义在（
(??,??)
上的偶函数 ，且
f(x)
在
[0,??)
为增函数，则
f(?2)
、< br>f(?
?
)
、
f(3)
的大小顺序是（ ）
A.
f(?
?
)?f(3)?f(?2)
B.
f(?
?
)?f(?2)?f(3)

C.
f(?
?
)?f(3)?f(?2)
D.
f(?
?
)?f(?2)?f(3)

(5)如果奇函数
f (x)
在区间
[3,7]
上的最小值是5，那么
f(x)
在区间[?7,?3]
上( )
A. 最小值是5 B. 最小值是－５ C. 最大值是－５ D. 最大值是5
(6)如果偶函数
f(x)
在
[3,7 ]
上是增函数，且最小值是－５那么
f(x)
在
[?7,?3]
上是 ( )
A. 增函数且最小值为－５
C. 减函数且最小值为－５
B. 增函数且最大值为－５
D. 减函数且最大值为－５

(7) 已知 函数
f(x)
是定义在
R
上的偶函数，且在
(??,0)
上
f(x)
是单调增函数，那么当
x
1
?0
，
x2
?0
且
x
1
?x
2
?0
时，有（ ）
A.
f(?x
1
)?f(?x
2
)
B.
f(?x
1
)?f(?x
2
)
C.
f(?x
1
)?f(?x
2
)
D. 不确定
( 8)如果
f(x)
是奇函数，而且在开区间
(??,0)
上是增函数，又f(2)?0
，那么
x?f(x)?0

的解是（ ）
A.
?2?x?0
或
0?x?2

C.
x??2
或
0?x?2

B.
?2?x?0
或
x?2

D.
x??3
或
x?3

x?0
x
2
?0
(9) 已知函数
f(x)
为偶函数，
x?R
，当
x?0
时，
f(x)
单调递 增，对于
1
，，
有
|x
1
|?|x
2
|< br>，则（ ）
B. A.
f(?x
1
)?f(?x
2
)f(?x
1
)?f(?x
2
)
C.
f(?x
1
)?f(?x
2
)
D.
|f(?x
1
)|?|f(?x
2
)|

5、单调性和奇偶性的综合应用 【类型2 利用单调性解不等式】
相关练习：(1)已知
y?f(x)
是
(?3,3)
上的减函数，解不等式
f(x?3)? f(2?x)

(2)定义在
(?1,1)
上的奇函数
f( x)
是减函数，且满足条件
f(1?a)?f(1?2a)?0
，求
a
的取
值范围。
(3)函数
y?f(x)
是
[?2,2]
上的偶函数，当
x?[0,2]
时，
f(x)
是减函数，解不等式
f (1?x)?f(x)
。
(4)已知
f(x)
是定义在
(?1,1 )
的偶函数，且在
(0,1)
上为增函数，若
f(a?2)?f(3?a)< br>，求
a
的取值范围。
(5)已知函数
f(x)
是R上的奇函 数且是增函数，解不等式
f(?4x?5)?0
。
(6)
f(x)
是定义在
(0,??)
上的增函数，且
f()?f(x)?f(y)
。①求< br>f(1)
的值；②若
x
y
1
f(6)?1
，解不等式
f(x?3)?f()?2
。
3
（7）
R
上的增函数满足
f(xy)?f(x)?f(y)
，且
f(8)?3
，解不等式
f( 2)?f(x?2)
≥
6
。


思考题：
已 知定义在R上的函数
f(x)
对任意实数
x
、
y
恒有
f(x)?f(y)?f(x?y)
，且当
x?0
时，
?
2
f(x)?0
，又
f(1)??
。
3
(1) 求
f(0 )
；(2)求证
f(x)
为奇函数；(3)求证
f(x)
为R上的减 函数；(4)求
f(x)
在
[?3,6]
上
11
的最小值与 最大值；(5)解关于
x
的不等式
f(2bx)?f(x)?f(bx)?f(b)< br>，
(b?2)
。
22

补充：函数
f(x)
对任意的
m
、
n
?R
，都有
f(m?n)?f(m)?f (n)?1
，且当
x?0
时，
f(x)?1
。(1)求证：
f(x)
在R上是增函数；(2)若
f(3)?4
，求解不等式
f(a
2
?a?5)?2
。