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函数的单调性和奇偶性例题和练习高中数学

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 00:15
tags:高中数学函数单调性

浙江高中数学多少分过-高中数学必修三数学大题

2020年10月7日发(作者:夏御带)


函数的单调性和奇偶性

经典例题透析

类型一、函数的单调性的证明

1.证明函数
f(x)?
1
x
在(0,+∞)上的单调性.
证明:在(0,+∞)上任取x
1
、x
2
(x
1
≠x
2
), 令△x=x
2
?x
1
>0

∵x
1
>0,x
2
>0,∴
x
1< br>?0

x
2
?0

x
1
?x
2
?0

∴上式<0,∴△y=f(x
2
)?f(x
1
)<0
1

f(x)?
在(0,+∞)上递减.
x
总结升华:
[1]证明函数单调性要求使用定义;
[2]如何比较两个量的大小?(作差)
[3]如何判断一个式子的符号?(对差适当变形)

举一反三:

【变式1】用定义证明函数上是减函数.
思路点拨:本题考查对单调性定义的理解,在现阶段,定义是证明单调性的唯一途径.
证明:设x
1
,x
2
是区间上的任意实数,且x
1
<x
2,则




∵0<x
1
<x
2
≤1 ∴x
1
?x
2
<0,0<x
1
x
2
<1
∵0<x
1
x
2
<1



∴x
1
<x
2
时有f(x
1
)>f (x
2
)
,即f(x
1
)?f(x
2
)>0
上是减函数.
上是增函数;在今后的学习中经常会碰到这个函 总结升华:可以用同样的方法证明此函数在
数,在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.

类型二、求函数的单调区间
2. 判断下列函数的单调区间;

(1)y=x
2
?3|x|+2; (2)
解:(1)由图象对称性,画出草图

∴f(x)在上递减,在上递减,在上递增.
(2)
∴图象为



∴f(x)在

举一反三:
【变式1】求下列函数的单调区间:
上递增.


(1)y=|x+1|; (2) (3).
解:(1)
∴函数的减区间为
画出函数图象,
,函数的增区间为(?1,+∞);
(2)定义域为,
其中u=2x?1为增函数,在(?∞,0)与(0,+∞)为减函数,
则上为减函数;
(3)定义域为(?∞,0)∪(0,+∞),单调增区间为:(?∞,0),单调减区间为(0,+∞).
总结升华:
[1]数形结合利用图象判断函数单调区间;
[2]关于二次函数单调区间问题,单调性变化的点与对称轴相关.
[3]复合函数的单调性分析 :先求函数的定义域;再将复合函数分解为内、外层函数;利用已知函数的
单调性解决.关注:内外层函 数同向变化复合函数为增函数;内外层函数反向变化复合函数为减函数.

类型三、单调性的应用(比较函数值的大小,求函数值域,求函数的最大值或最小值)
3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上是减函数,比较f(a
2
?a+1)与的大小.
解:
又f(x)在(0,+∞)上是减函数,则

4. 求下列函数值域:
.
(1); 1)x∈[5,10]; 2)x∈(?3,?2)∪(?2,1);
(2)y=x
2
?2x+3; 1)x∈[?1,1]; 2)x∈[?2,2].
思路点拨:(1)可应用函数的单调性;(2)数形结合.
解:(1)2个单位,再上移2个单位得到,如图



1)f(x)在[5,10]上单增,;
2)
(2)画出草图


1)y∈[f(1),f(?1)]即[2,6];
2)

举一反三:
.
【变式1】已知函数.
(1)判断函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈[1,3]时,求函数f(x)的值域.
思路点拨:这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间,但对解析式稍作处理,即可得到我们相
对熟悉的形式.,第二问即是利用单调性求函数值域.
解:(1)


上单调递增,在上单调递增;
(2)故函数f(x)在[1,3]上单调递增
∴x=1时f(x)有最小值,f(1)=?2
x=3时f(x)有最大值
∴x∈[1,3]时f(x)的值域为

.
5. 已知二次函数f(x)=x< br>2
?(a?1)x+5在区间上是增函数,求:(1)实数a的取值范围;(2)f(2)
的取值范围.
解:(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键,联系图象可知
只需;
(2)∵f(2)=2
2
?2(a?1)+5=?2a+11又∵a≤2,∴?2a≥?4
∴f(2)=?2a+11≥?4+11=7


.
类型四、判断函数的奇偶性
6. 判断下列函数的奇偶性:
(1) (2)
(3)f(x)=x
2
?4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|?|x?3| (5)
(6) (7)
思路点拨:根据函数的奇偶性的定义进行判断.
解:(1)∵f(x)的定义域为,不关于原点对称,因此f(x)为非奇非偶函数;
不关于原点对称,∴f(x)为非奇非偶函数; (2)∵x?1≥0,∴f(x)定义域


(3)对任意x∈R,都有?x∈R, 且f(?x)=x
2
?4|x|+3=f(x),则f(x)=x
2
?4|x |+3为偶函数 ;
(4)∵x∈R,f(?x)=|?x+3|?|?x?3|=|x?3 |?|x+3|=?f(x),∴f(x)为奇函数;
(5)

,∴f(x)为奇函数;
(6)∵x∈R,f(x)=?x|x|+x ∴f(?x)=?(?x)|?x|+(?x)=x|x|?x=?f(x),∴f(x)为奇函数;
(7)

举一反三:
【变式1】判断下列函数的奇偶性:
(1)
,∴f(x)为奇函数.
; (2)f(x)=|x+1|?|x?1|; (3)f(x)=x
2
+x+1;
(4).
思路点拨:利用函数奇偶性的定义进行判断.
解:(1)






































(2)f(?x)=|?x+1|?|?x?1|=?(|x+1|?|x?1|)=?f(x) ∴f(x)为奇函数;
(3)f(?x)=(?x)
2
+(?x)+1=x
2
?x+1
∴f(?x)≠?f(x)且f(?x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数;
(4 )任取x>0则?x<0,∴f(?x)=(?x)
2
+2(?x)?1=x
2
?2x?1=?(?x
2
+2x+1)=?f(x)
任取x<0,则?x>0 f(?x)=?(?x)
2
+2(?x)+1=?x
2
?2x+1=?(x< br>2
+2x?1)=?f(x)
x=0时,f(0)=?f(0) ∴x∈R时,f(?x)=?f(x) ∴f(x)为奇函数.

举一反三:
【 变式2】已知f(x),g(x)均为奇函数,且定义域相同,求证:f(x)+g(x)为奇函数,f(x)· g(x)为偶函数.
证明:设F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)·g(x)则
F(?x)=f(?x)+g(?x)=?f(x)?g(x)=?[f(x)+g(x)]=?F(x)
G(?x)=f(?x)·g(?x)=?f(x)·[?g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)
∴f(x)+g(x)为奇函数,f(x)·g(x)为偶函数.
类型五、函数奇偶性的应用(求值,求解析式,与单调性结合)
7.已知f(x)=x
5
+ax
3
?bx?8,且f(?2)=10,求f(2).
解:法一:∵f(?2)=(?2)
5
+(?2)
3
a?(?2)b?8=? 32?8a+2b?8=?40?8a+2b=10
∴8a?2b=?50 ∴f(2 )=2
5
+2
3
a?2b?8=8a?2b+24=?50+24=?26


法二:令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(?2)=?g(2) ∴f(?2)+8=?f(2)?8
∴f(2)=?f(?2)?16=?10?16=?26.

8. f(x)是定义在 R上的奇函数,且当x<0时,f(x)=x
2
?x,求当x≥0时,f(x)的解析式,并画 出函
数图象.
解:∵奇函数图象关于原点对称, ∴x>0时,?y=(?x)
2
?(?x)
即y=?x
2
?x又f(0)=0,,如图



9. 设定义在[?3,3]上的偶函数f(x)在[0,3]上是单调递增,当f(a?1)<f (a)时,求a的取值范围.
解:∵f(a?1)<f(a) ∴f(|a?1|)<f(|a|)
而|a?1|,|a|∈[0,3]


.
类型六、综合问题
10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数 ,偶函数g(x)在区间
设a>b>0,给出下列不等式,其中成立的是_________.
①f(b)?f(?a)>g(a)?g(?b); ②f(b)?f(?a)<g(a)?g(?b);
③f(a)?f(?b)>g(b)?g(?a); ④f(a)?f(?b)<g(b)?g(?a).
答案:①③.


(1)
11. 求下列函数的值域:
(2) (3)
的图象与f(x)的图象重合,
思路点拨:(1)中函数 为二次函数开方,可先求出二次函数值域;(2)由单调性求值域,此题也可换元解
决;(3)单调性无 法确定,经换元后将之转化为熟悉二次函数情形,问题得到解决,需注意此时t范围.


解:(1);
(2)经观察知,,;
(3)令











12. 已知函数f(x)=x
2
?2ax+a
2
?1.
(1)若函数f(x)在区间[0,2]上是单调的,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[ ?1,1]时,求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.
解:(1)∵f(x)=(x?a)
2
?1 ∴a≤0或a≥2
(2)1°当a<?1时,如图1,g(a)=f(?1)=a
2
+2a
.

2°当?1≤a≤1时,如图2,g(a)=f(a)=?1

3°当a>1时,如图3,g(a)=f(1)=a
2
?2a

,如图





13. 已知函数f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,f(2)=1,且定义域上任意x、 y都满足f(xy)=f(x)+f(y),
解不等式:f(x)+f(x?2)≤3.
解:令x=2,y=2,∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2
再令x=4,y=2,∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3
∴f(x)+f(x?2)≤3可转化为:f[x(x?2)]≤f(8)


.
14. 判断函数上的单调性,并证明.
证明:任取0<x
1
<x
2



∵0<x
1
<x
2
,∴x
1
?x2
<0,x
1
·x
2
>0
(1)当时

0<x
1
·x
2
<1,∴x
1
·x
2
?1<0
∴f(x
1
)?f(x
2
)>0即f(x
1
)>f(x
2
)

(2)当x
1
,x
2
∈(1,+∞)时,

上是减函数.


上是增函数.
难点:x
1
·x
2
?1的符号的确定,如何分段.


15. 设a为实数,函数f(x)=x
2
+|x?a|+1,x ∈R,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.
解:当a=0时,f(x)=x
2
+|x|+1,此时函数为偶函数;
当a≠0时,f(x)=x
2
+|x?a|+1,为非奇非偶函数.
(1)当x≥a时,
[1]

[2]

上单调递增,
上的最小值为f(a)=a
2
+1.
(2)当x<a时,
[1]

上单调递减,
上的最小值为f(a)=a
2
+1
[2]上的最小值为
综上:
.
学习成果测评
基础达标

一、选择题
1.下面说法正确的选项( )
A.函数的单调区间就是函数的定义域
B.函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间
C.具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称
D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象

2.在区间上为增函数的是( )


A.
C.

B.
D.

3.已知函数
A. B.

4.若偶函数在
C. D.
为偶函数,则的值是( )
上是增函数,则下列关系式中成立的是( )
A. B.
C.

5.如果奇函数在区间
D.
上是增函数且最大值为,那么


在区间上是( )
A.增函数且最小值是
C.减函数且最大值是

6.设是定义在
B.增函数且最大值是
D.减函数且最小值是
上的一个函数,则函数,在上一定是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数.

7.下列函数中,在区间上是增函数的是( )
A. B. C. D.

8.函数f(x)是定义在[?6,6]上的偶函数,且在[?6,0]上是减函数,则( )
A. f(3)+f(4)>0 B. f(?3)?f(2)<0 C. f(?2)+f(?5)<0 D. f(4)?f(?1)>0

二、填空题
1.设奇函数的定义域为,若当
的解是____________.
时, 的图象
如右图,则不等式



2.函数

3.已知

4.若函数

5.函数

三、解答题
在R上为奇函数,且,则当,____________.
是偶函数,则的递减区间是____________.
,则函数的值域是____________.
的值域是____________.
1.判断一次函数

2.已知函数

单调递减;(3)

3.利用函数的单调性求函数

4.已知函数
① 当
反比例函数,二次函数的单调性.
的定义域为,且同时满足下列条件:(1)是奇函数;(2)在定义域
求的取值范围.
的值域;
.
时,求函数的最大值和最小值;
在区间上是单调函数. ② 求实数的取值范围,使

能力提升
一、选择题
1.下列判断正确的是( )
A.函数
C.函数

2.若函数
是奇函数 B.函数
是非奇非偶函数 D.函数
是偶函数
既是奇函数又是偶函数
在上是单调函数,则的取值范围是( )


A.
C.

3.函数
A.
C.

4.已知函数
A.

B.
D.


的值域为( )
B.
D.


在区间
C.
上是减函数,则实数的取值范围是( )
D. B.
5.下列四个命题:(1)函数

函数

为;(4) 和
在时是增函数,也是增函数,所以是增函数;(2)
与轴没有交点,则且;(3) 的递增区
表示相等函数.
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.

6.定义在R上的偶函数
A.
C.

二、填空题
1.函数

2.已知定义在

上的奇函数,当时,,那么时,______.
的单调递减区间是____________________.
,满足
B.
D.
,且在区间


上为递增,则( )
3.若函数在上是奇函数,则的解析式为________.



4.奇函数


5.若函数

三、解答题
1.判断下列函数的奇偶性
在上是减函数,则的取值范围为__________.
在区间上是增函数,在区间
__________.
上的最大值为8,最小值为?1,
(1)

2.已知函数
时,

3.设函数与
(2)
的定义域为,且对任意

,都有,且当
是奇函数. 恒成立,证明:(1)函数上的减函数;(2)函数
的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且
,求

4.设为实数,函数
(1)讨论

和的解析式.

的最小值.
.
的奇偶性;(2)求
综合探究









1.已知函数,
为( )
A.偶函数,奇函数 B.奇函数,偶函数
C.偶函数,偶函数 D.奇函数,奇函数
,则的奇偶性依次
2.若是偶函数,其定义域为,且在上是减函数,则

大小关系是( )
A.> B.<


C.

D.
3.已知

,那么=_____.
4.若

在区间上是增函数,则的取值范围是________.
5.已知函数
都有

6.当

7.已知

的定义域是
,(1)求
,且满足
.
,,如果对于,
;(2)解不等式
时,求函数的最小值.
在区间内有一最大值,求的值.
8.已知函数

的最大值不大于,又当,求的值.
答案与解析
基础达标

一、选择题
1.C.
2.B.

3.B. 奇次项系数为
4.D.
5.A. 奇函数关于原点对称,左右两边有相同的单调性
6.A.
7.A.
8.D.

在上递减,在上递减,在上递减


二、填空题
1.
2.
3.
4.
5.

三、解答题
1.解:当,在是增函数,当,在是减函数;
.
.
.
. 奇函数关于原点对称,补足左边的图象
是的增函数,当时,
. 该函数为增函数,自变量最小时,函数值最小;自变量最大时,函数值最大

当,在是减函数,
当,在是增函数;
当,在是减函数,在是增函数,


,在是增函数,在是减函数.
2.解:



,则,
3.解:,显然是的增函数,,


4.解:

(2)对称轴

对称轴

当或时,在上单调




或.
能力提升
一、选择题
1.C. 选项A中的

而有意义,非关于原点对称,选项B中的
有意义,非关于原点对称,选项D中的函数仅为偶函数;
2.C. 对称轴,则,或,得,或
3.B.
4.A. 对称轴
,是的减函数,当


5.A. (1)反例;(2)不一定

,开口向下也可;(3)画出图象
;(4)对应法则不同 可知,递增区间有
6.A.

二、填空题
1.

2.


. 设
. 画出图象
,则





3. .
∵∴


4. . 在区间上也为递增函数,即




5.

三、解答题
. .

1.解:(1)定义域为,则,

(2)∵

2.证明:(1)设

∴函数
(2)由



3.解:∵是偶函数,
,则


为奇函数.
∴既是奇函数又是偶函数.
,而

是上的减函数;

,而
是奇函数.

,即函数
是奇函数,∴,且
而,得,
即,


4.解:(1)当

时,
时,
,.
为偶函数,
为非奇非偶函数;


(2)当时,
当时,,
当时,不存在;
当时,
当时,,


时,.
综合探究
1.D.
画出




时,

,则
的图象可观察到它关于原点对称或当



时,,
2.C.


3.

. ,

4.. 设则,而
,则



5.解:(1)令,则
(2)




6.解:对称轴
.
当,即时,是的递增区间,;
当,即时,是的递减区间,;


,即时,.
7.解:对称轴

,当即时,
,得


的递减区间,
,而,即;
当即时,是的递增区间,则,
得或,而,即不存在;当即时,


,即;∴或 .


8.解:,
对称轴,当时,是的递减区间,而,
即与矛盾,即不存在;
当时,对称轴,而,且

∴.
,而,即

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