司马红丽视频讲解高中数学-黄冈高中数学集合
函数的单调性
设计老师:贵溪市实验中学 郑美兰
教学年级:高一年级课程
学科: 数学
版本:(北师大版)高一(必修1)
【三维目标】
1.知识与技能
(1)了解单调函数、单调区间的概念,能说出单调函数、
单调区间这两个概念的大致意思,
并能根据函数的图象指出
单调性、写出单调区间。
(2)启发学生能够发现问题和提出问题,
培养学生分析问
题、认识问题的能力和创造地解决问题的能力。
(3)通过对气温变化图进行
观察——猜想——推理——
证明,进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
2.过程与方法:
(1)引导学生通过观察、归纳、抽象、概括,自主建构单
调增函数、单调减函数的概念;
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
(2)能运用函数单调性概念解
决简单的问题;使学生体会
特殊到一般,简单到复杂,具体到抽象的研究方法;
(3)渗透数形结合的数学思想,培养学生发现问题、分析
问题、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观:在函数单调性的学习过程中,使
学生体验数学的科学价值和应用价值,培养学生
善于观察、
勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
【教学重点】函数的单调性及其几何意义.
【教学重点】利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调
性.
【教学方法】
教师启发讲授,学生探究学习.
【教学手段】 计算机、投影仪.
【教学过程】
一、创设情境,引入课题
下图是贵溪市08年9月1日一天24小时内气温随时间变
化的曲线图
引导学生识图,捕捉信息,启发学生思考.
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
问题1:
怎样描述气温随时间增大的变化情况?
问题2:
怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间
的增大气温逐渐升高”这一特征?
教师指出:在
生活中,我们关心很多数据的变化规律,了
解这些数据的变化规律,对我们的生活是很有帮助的.
问题:还能举出生活中其他的数据变化情况吗?
例如:水位高低、降雨量、燃油价格、股票价格等.
归纳:用函数观点看,其实这些例子反映的就是随着自变量
的变化,函数值是变大还是变小.
〖设计意图〗由生活情境引入新课,激发兴趣.
二、思考交流,形成概念
问题1:画出下列函数的图象,观察其变化规律:
(1)f(x) = x+2
(2)f(x) = -x+2 (3)f(x) = x
从上面的观察分析,能得出什么结论?(学生动手画图并讨
论)
学生回答后教师归纳
:从上面的观察分析可以看出:不同的
函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化
趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性质的反
映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重
要性质——函
数的单调性(引出课题)。
问题2: y =
x的图象在y轴右侧是上升的,如何用数学符号
语言来描述这种“上升”呢?
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
2
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学生通过观察、思考、讨论,归纳得出:
(1)函数y
= x在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析
式来描述就是:对于(0,+∞)上的任意的x1
,x
2
,当x
1
<
x
2
时,都有x
1
<x
2
.
即函数值随着自变量的增大而增大,那
么我们称这个函数在这个区间是递增的。
问题3:从函数图象上可以看到,y= x的图象在y轴左侧是
下降的,类比函数在某个区间递
增的定义,你能概括出函数
在某个区间递减的定义吗?
注意:
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数
的局部性质;
2必须是对
于区间D内的任意两个自变量x
1
,x
2
;当x
1
时,
总有f(x
1
)
) .
(2)函数的单调性,单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那
么就
说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫
做y=f(x)的单调区
间.
(3)单调函数
如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的,我们<
br>分别称这个函数为增函数或减函数,统称为单调函数.
通过判断题,强调三点
①单调
性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
2
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2
和相应区间就谈不上单调性.
②有的函数
在整个定义域内单调(如一次函数),有的函
数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数),有的函数
根
本没有单调区间(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间(a,b),(c,d)上都
是递增(或
减)的,一般不能认为函数在整个定义域上是增(或减)函
数.
思考:如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数?
〖设计意图〗通过几何直观,引导学生
关注图象所反映
出的特征,体验自变量从小到大变化时,函数值大小变化在
图象上的表现.
三、概念应用,发展思维.
根据函数图象说明函数的单调性.
例1
画出函数f(x)=3x+2的图像,判断它的单调性,并加以
证明.
例2画出反比例函数
的图象.
1 这个函数的定义域是什么?
2
它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.
方法总结:判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般
步骤:
①
任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
;
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
②
作差f(x
1
)-f(x
2
);
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);
⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调
性).四、巩固练习, 深化理解.
证明:函数在(1,+∞)上为增函数.
(学生到黑板上练习,让其它学生批改)
五、归纳小结, 提高认识.
学生交流在本节课学习中的体会、收获,交流学习过程
中的体验和感受,师生合作共同完成小结.
1、函数单调性的定义.
2、判断、证明函数单调性的方法:图象、定义.
六、作业布置,课后思考.
1、作业布置: P39 A组 3,4,5
2、课后思考:
(1)若定义在R上的单调减函数满足
取值范围吗?
,你知道它的
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
(2)二次函数在[0,+∞)是增函数,你能确定字
母
的值吗?
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!
美好的未来不是等待,而是孜孜不倦的攀登!