高中函数单调性,最值,绝对值

绝对值函数与分段函数
一．与绝对值函数有关的基本知识
1． V型函数

y?|x|


2．与绝对值有关的函数变换
y?f(x)?
除左右对称到左
?????y?f(|x|)

y?f(x)?
上不变下翻上
?????y?|f(x)|

二．分段函数（绝对值函数除绝对值）

?
x,x?0

y?|x|?
?
?x,x?0
?
分段函数分段处理

三．典例分析

例1．“
a?2
” 是“函数
f(x)?x?a
在区间
[2,??)
上为增函数”的 条件（填充分，
必要，充要）.
分析：
y?|x|?
左右平移
????y?|x?a|


y?|x?a|在[2
，
??
）
上为增则a?2

故填充分非必要

x
例2已知函数
f(x)?2?2
，则 函数
y?f(x)
的图象可能是（ ）


y

1



?1

O
1
y

y

y





分析：
1

x



1

?1
O
1
x

1
x

?1

O

1

C

?1

O

1

D

x

A

B

y?2
x
?
平移
??? y?2
x
?2?
绝对值变换
????y?|2
x
?2|
故选B
1

例3．已知函数
f(x)?
4
?1
的定义域是
?
a,b
?
（
a,b
为整数），值域是
?
0,1
?
，则满足条件
|x|?2
的整 数数对
(a,b)
共有_________个. .
分析：
y?








4
平移
444
????y??
平移
???y??1?
绝对值变换
????y ??1

xx?2x?2|x|?2
A
B
A
C B

4
?1令x?0求得A
（
0
，
1)
，< br>令y?0求得B
（
2,0),经绝对值变换后知道C
（
?2
，
0
）
x?2
由题意和图像知
：
(?2,0)
，（< br>?2
，
1
），（
?2
，
2
），（
? 1,2),(0,2)满足要求
y?



例4．已知
f(x)?xx?a?2

（1）若a>0,求
f(x)
的单调区间;
（2）若当
x?
?
0,1
?
时，恒有
f(x)?0
，求实数a的取值范围.
分析：绝对值函数转分段函数
2
?
?
x?ax?2,x?a
f(x)?
?
2

?
?
?x?ax?2,x?a


对称轴在x轴正半轴
，
当x?a时
，
两支函数值都为?2
，
a
故可画出函数图像
，
由图知单调区间为
：
增(??,
2
),


(a,??),减区间为(
a
2
,a)
A







(x
2
?ax?2)?(?x
2
?ax?2)
1)
?
??2,故两段上图像关于
2
y??2
，
对称
，
且两抛物线对称轴相同
。
当a?0时
2

2)y??x
2
?ax?2,顶点最大值 为:?
a
4
?2,恒小于零
，
故第二支函数在任意情况下都小于零< br>，
因此要使
f(x)?0在x?[0,1]上恒成立
，
只需要第一支函 数中

f(0)?0,f(1)?0,既得
：
?
?2?0
? a??1
?
1?a?2?0
?






练习：
2
x?0
?
?
?cos
?x
1已知
f(x)?
?
，则
f(
4
)?f(?
4
)
的值等于
33
f(x?1)?1x?0
?
?
A．
?2
B．1 C．2
?
1
x
?
(),?1?x?0
2若函数
f(x)?
?
4
， 则
f(log
4
3)?
（ ）
x
?
0?x?1
?
4,
14
3

D．A．

B．

C．
4

33
?
2
?x
?1,(x?0)
3函数
f(x)?
?
，若方程
f(x)?x?a
恰有两个不 等的实根，则
a
的取值范围为
?
f(x?1),(x?0)
A．
?
??,0
?
B．
?
0,1
?
C．
(??,1)
D．
?
0,??
?

，则关于
x
的方程
f(x)?x
?
x
2
? bx?c,x?0
4)?f(0),(2f)?2??
4设函数
f(x)?
?
，若
f(?
2,x?0
?
的解的个数为
A. 4 B.2 C1 D.3
?
a
x
( x?0),
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
5.已 知函数
f(x)?
?
满足对任意
x
1
?x
2
,都有
x?x
12
?
(a?3)x?4a(x?0)
成立，则a的 取值范围是
6知函数
f(x)?2?1,a?b?c
，且
f(a)?f(c)?f(b)
，则下列结论中，必成立的是
A．
a?0,b?0,c?0
B．
a?0,b?0,c?0
C．
2
?a
x
?2
c
D．
2
a< br>?2
c
?2
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7设函数
y?f(x)
在
(??,??)
内有定义，对于给定的正数K，定义函数
?
f(x),f(x)?K,

f
K
(x)?
?
?
K,f(x)?K.
3

取函数
f(x)?2
?x
。当< br>K
=
1
时，函数
f
K
(x)
的单调递增区间 为【
2
A ．
(??,0)
B．
(0,??)
C ．
(??,?1)
D ．
(1,??)

1
|1?x|
?m
的图象存在有零点， 则m的取值范围是__________
8
若函数
y?()
2

xa
x
9． 函数
y?(a?1)
的图象的大致形状是（ ）
|x|




10.数
y?sinx?sinx
的值域是_________
x
18位同学在研究函数 f (x) =
1 + | x |
(x∈R) 时，分别给出下面三个结论：
① 函数 f (x) 的值域为 (－1,1)
② 若x
1
≠x
2
，则一定有f (x
1
)≠f (x
2
)
x
③ 若规定 f
1
(x) = f (x)，f
n+1
(x) = f [ f
n
(x)]，则 f
n
(x) =
1 + n | x |
对任意 n∈N
*
恒成立.你认为上
述三个结论中正确的个数有
11数①
f(x)?|x?2|
，②
f(x)?(x?2)
，③
f( x)?cos(x?

2)
，判断如下两个命题的真假：
命题甲：
f(x?2)
是偶函数；
命题乙：
f(x)
在
(??,2)
上是减函数，在
(2,? ?)
上是增函数；
能使命题甲、乙均为真的所有函数的序号是 （ ）
A．①② B．①③ C．② D．③
2

12定义在R上的偶函数
f< br>?
x
?
的部分图像如右图所示，则在
?
?2,0
?< br>上，下列函数中与
f
?
x
?
的
单调性不同的是
A．
y?x?1

B.
y?|x|?1

2
4

C.
y?
?
?
2x?1,x?0
?
x?1,x?0
3

x
?
?
e,x?o
D．
y?
?

?x
?
?
e,x?0



函数专题：单调性与最值
一、增函数
1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y



-1
-1
1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
-1
-1
y
1
1 x
1
随x的增大，y的值有什么变化？ ○
2
能否看出函数的最大、最小值？ ○
3
函数图象是否具有某种对称性？ ○
2、从上面的观察分析，能得出什么结论？
不同的函数， 其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，
函数图象的这种变化规律就是函数的单 调性。
3.增函数的概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任
意两个自变量x
1
，x
2
，当x
12
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f (x)在区间D上是
增函数。
注意：
① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②必须是对于区间D内的任意两 个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时， 总有f(x
1
)2
) ．
二、函数的单调性
如 果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这
一区间具有（严 格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
5

【判断函数单调性的常用方法】
1、根据函数图象说明函数的单调性．
例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？


【针对性练习】
下图是借助计算机作出函数y =－x
2
+2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间．







2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例2、证明函数
y?x?




例3、函数f
(
x
)=－
x
3
＋1在R上是否具有单调性？如果具 有单调性，它在R上是增
函数还是减函数？试证明你的结论．

6

1
在（1，+∞）上为减函数．
x

例4、已知
f< br>(
x
)是定义在(－2，2)上的减函数，并且
f
(
m
－1)－
f
(1－2
m
)＞0，求实
数
m
的取值 范围．



例5、判断一次函数
y?kx?b(k?0)
单调性.



例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．




【归纳小结】
函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助
7

计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：
取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论
〖针对性练习〗
1
1.函数
y??
的单调区间是（ ）
x
A．（-
?
，+
?
） B.（-
?
，0） （1，
?
，）
C.（-
?
，1） 、（1，
?
） D. （-
?
，1）（1，
?
）
2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).
3
C．
y?x
2
?4x?5

x
A．
y??3x?2
B．
y?
D．
y?3x
2
?8x?10

3．函数
y??x
2
?2x?3
的增区间是（ ）。
1
(??,?3)
D．
(?1,?)

3
A．[-3，-1] B．[-1,1] C．
?1?a??
4、已知函数
f(x)?x?




1
判断
f(x)
在区间〔0，1〕和（1，+
?
）上的单调性。
x
，
5、定义在（－1，1）上的函数
f(x)
是 减函数，且满足：
f(1?a)?f(a)
，求实数
a
的
取值范围。


6、函数
f
(
x
)=－
x
3
＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函
数还是减函数？试证明你的结论 ．


8

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆
1、定义：
设y=f( u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)
的定义 域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
y=f(u)=f[g( x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为
因变量(即函数)
2、复合 函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，
其规律如 下：
函数 单调性
u?g(x)
增 增 减 减
y?f(u)
增 减 增 减
y?f
?
g(x)
?
增 减 减 增

例1、已知
y?f(u)?u?1 ,u?g(x)??3x?2
，求
y?f
?
g(x)
?
的单 调性。



例2、已知
y?f(u)?u
2
? 1,u?g(x)?x?1
，求函数
y?f
?
g(x)
?
的 单调性。



〖针对性训练〗
1、已知
y?f(u) ?u
2
?1,u?g(x)??x?1
，求函数
y?f
?
g (x)
?
的单调性。





9

2、已知
f(x)?8?2x? x
2
，如果
g(x)?f(2?x
2
)
，那么
g( x)
（ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数



三、函数的最大（小）值
1．函数最大（小）值定义
1）最大值：一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
； （2）存在< br>x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最大值．
2）最小值：一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
； （2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最小值．
注意：①函数最大（小）首先应 该是某一个函数值，即存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的
x? I
，都有
f(x)?M(f(x)?m)
．
2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．
①配方法 ②换元法 ③数形结合法





例1、求函数
y?x< br>2
?2x?3当自变量x在下列范围内取值时的最值
．
10

①
?1?x?0
②
0?x?3
③
x?(??,??)








例2、求函数
y?x?1?x
的最大值．





例3、求函数
y?
2
x?1
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．







【针对性练习】
一、选择题
1．函数
y
＝4
x
－
x
2
，
x
∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )
(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0
2．函数
y?
1
x?x
2
的最小值为( )
(A)
1
2
(B)1 (C)2


，3


(D)4
(D)4
11

3
(x?2)
在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（ ）
x?2
33333
A.
,0
B.
,0
C.
,
D. 最大值，无最小值。
727
27
3、函数
y?
二、填空题
1．函数
y
＝2
x
2
－4
x
－1
x
∈(－2，3)的值域为______．
2．函数
y?2x?x
2
的值域为______．
3、函数
y?x
2
?4x?5(x?
?
0,3
?
?
的值域 是 。
4、函数
y?2x?3?13?4x
的值域是 。

三、解答题
?
2
x
,x?0
1．求函数f(x)?
?
的值域．
?x,x?0
?




2．设函数
f
(
x
)＝(
x
＋
a
)
2
对于任意实数
t
∈R都有
f
(1－
t
)＝
f
(1＋
t
)．
(1)求
a
的值；
(2)如果
x
∈[0，5]，那么x
为何值时函数
y
＝
f
(
x
)有最小值和最大 值?并求出最
小值与最大值．




3．如图，在边长是
a
的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．
12

4．已知函数y＝－3x
2
＋2ax－1，x∈[0，1] ，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，
并求f(a)的最大值．






13