人教版高中数学必修一《函数的单调性》教学设计

《函数的单调性》教案
一、教学目标
1、知识目标
（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两
个概念的大致意思。
（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数
的图象指出单调性、写 出单调区间。
（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调
性定义 证明简单函数的单调性。
2、情感态度与价值观目标：
领会用运动的观点去观察分析事物的 方法，培养学生细心观察、认真分析、
严谨论证的良好思维习惯；由合适的例子引发学生探求数学知识的 欲望，突
出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。
二、教学的重点和难点
教学重点：
函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性；
教学难点：
根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。
三、教学过程
本节课的教 学过程包括：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；巩
固提高，深化概念；归纳小结，提高认识. 具体过程如下：
(一)创设情境，引入课题
我们知道，函数是刻画事物变化的工具。下 图是某地从4月21日到5

月19日期间某种疾病每日新增病例的变化统计图。

思考如何用数学语言刻画疫情变化？
[设计意图]：通过实际生活中的例子让学生 对图像的上升和下降有一个初
步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，
能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于
生活，让学生体会数 学来源于生活。
(二)归纳探索，形成概念
在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念 的形成与发展过程和数
形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,
引导学生分别完成对单调性定义的认识.
1、提出问题，观察变化
问题：分别做出函数< br>y?x?2,y??x?1,y?x
2
,y?
的图像，指出上面四个
函 数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的？



-10-51
x
-10-510
-10-510
10
-2
-2
-2
-4
-4
-4
-6
-6
-6
- 8
-8
-8

y?x?2

y??x?1

y?x
2

通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上点的运动情况，
引导学生能用自然语言描述出， 随着
x
增大时图像变化规律。让学生大胆的
去说，老师逐步修正、完善学生的说法，最 后给出正确答案。
【设计意图】以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺
应 同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，
通过讨论使学生明确函数的单调 性是对定义域内某个区间而言的，是函数的
局部性质．
2、步步深化，形成概念
观察函数y=
x
2
随自变量
x
变化的情况，设置启发式问题：
（1）在y轴的右侧部分图象具有什么特点？
（2）如果在 y轴右侧部分取两个点（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），当x
1
2
时，y
1
，
y2
的大小关系如何？是不是在定义域内任取两个点都有这个规律呢？
（3）如何用数学符号语言来描述这个规律？
教师补充：这时我们就说函数y=
f( x)
=
x
2
在(0,+
?
)上是增函数。
（4）反过来，如果y=
f(x)
在(0,+
?
)上是增函数，我们能不能得到自变
量与函数值的变化规律呢？
类似地分析图象在y轴的左侧部分。
【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”
到 “符号语言”认 识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。通过对以
上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性 。师生共同总结出单调增函
数的定义，并解读定义中的关键词，如：区间内，任意，当
x
1
<
x
2
时，都有
f(x
1
)
<
f(x
2
)
。
仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。
教师总结归纳单调性和单调区间的定义。

注意强调：函数的单调性是函数在定 义域某个区间上的局部性质，也就
是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。
【设 计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数
学语言来描述定义。体现从简单到复 杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教
学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索， 培养学生
的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结
合的思想， 学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后
的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意 识。
3．典型例题分析
本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本 质，
完成对概念的再一次认识.
例1.下图是定义在区间[-5，5]上的函数
y< br>=
f
(
x
)，根据图象说出函数的
单调区间，以及在每个区间 上,它是增函数还是减函数？




变式训练：
练习 1：如下图给出的函数，你能说出它的函数值
y
随自变量
x
值的变化
情况吗?

怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢?
练习2：判断下列说法是否正确
①
已知函数f(x)?,因为f(?1)?f(2),所以函数f(x)是增函数
．
②若函数
f(x)
满足
f
(2)<
f
(3),则函 数
f(x)
在[2,3]上为增函数.
③若函数
f(x)
在
(1,2]
和(2,3)上均为增函数，则函数
f(x)
在(1,3)上为增函数．
④因为函数
f(x)?
11
在
(??,0)和(0,??)
上都是减函数，所以
f(x)?
在
xx
1
x
(??,0)? (0,??)
上是减函数.
例2 证明：用定义法证明f（x）＝2x＋1在区间（－∞，＋∞）上是增
函数。
变式训练：
练习3：证明：函数
f(x)?x
在
[0,??)
上是增函数．
通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。同时强调以下三点：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈
不上单调性。
②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内
的某些区间单调(如二次函数) ，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函 数，一般不能认
为函数在上是增（或减）函数。
【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的 难点，难在：如何使学生

从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准 确理解及正
确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互
动合作的 教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性；例2主要对
数形结合，定义法证明函数的单调性的 只是巩固与应用.
（四）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数
f
(
x
)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
①取值： 任取
x
1
，
x
2
∈
D
，且
x
1
<
x
2
；
②作差：
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)；
③变形：（因式分解和配方等）乘积或商式；
④定号：（即判断差
f
(x
1
)－
f
(
x
2
)的正负）；
⑤ 下结论：（即指出函数
f
(
x
)在给定的区间
D
上的单调性 ）．
（五）归纳小结，提高认识
归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用 组织和指导
学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认
识，为后 续学习打好基础．
1．本节小结
函数单调性定义，判断函数单调性的方法（图像、定义）
在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤；引
导学生体会探究过程中用 到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，
类比等。
2．布置作业
课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.
作业布置：教材第39页习题1.3 A组第1,2题

附一：板书设计
函数的单调性
一、 函数单调性的概念 三、 例题讲解 四、 课堂练习
二、 证明函数单调性的步骤 例1：
例2：

五、 布置作业