高中数学选修2-3排列数-高中数学2-3定积分高考范围
§ 2. 1.3
函数的单调性
心
学习目标
1.
结合一次函数、二次函数、反比例函数的图象,形象地理解函数 的单调性;
2.
通过取值、描点,分析函数值的变化规律,体会函数值的变化趋 势,并会作
出判断;
3
?理解增函数、减函数的概念,掌握判断某些函数增减性的方法;
4
?培养利用数学概念进行判断推理的能力和数形结合的思想,提高
辩证思维的
能力.
心L学法指导
聶察函数的系调性,可以从函数的图像、函数值的变化情况,增(减)
函数的
定义等多方面进行,但函数单调性的证明必须根据增(减)函 数的定义加以证
明。
【自学合作探究】
1 (画一画).画出函数y =
2x,y =
-2x,
y = x
的图象.
2
V4
2.(想一想)上面画出的图象从左到右是上升的还是下降的?
(1)
__________________________________________ 函数j =
2x的图象从左到右是
(2)
___________________________________________ 函数y =
-2x的图象从左到右是
(3)
__________________________________________ 函数y =
的图象从左到右,在区间 是
;在区间
___________________________________ 是
>.(算一算)若函数代小
X
⑴
X
=2x
, g(x) =
-2x
, ?(x) =
x
请填写下表.
-2 -1 0 1 2 3 4
2
-4 -3
-4
-3
-2 -1 0
1 2
3
4
gW
X
-4 -3 -2 -1 0 1
2 3 4
h{x)
并思考:当H变量从小变大时,函数值是怎样变化的?
(1) 当自变量在实数集从小变大时,函数(x) = 2x的值
___________________
(2)
当自变量实数集从小变大时,函数
g(x) = -2x
的值
__________________
_______ 是
4.
-我们怎样用数学符号语言来刻画函数的增、减性质?
(3)
当H变量从小变大时,函数
h(x) = x
的值,在区间 ___________ 是
__________ 在区间
在函数y
=芦(兀)的图像上任取两个点24(西,必),3(兀2,丁2),记:
2
A
X
=
X
2
-
X
P
A
V
=
f(x
2
)
-(%!)= J
2
-
(1) 在区间(-o>,0],任意取两个值x
p
x
2
,当改变量
A
X
=
X
2
-
X
,
> 0,则
△y =
U
2
):g) _____________ o
(填“〉”或 “ V ”)
(2) 在区间[0,+oo),任意取两个值,当改变量心=心—西〉0,则
Ay =
f(x
2
)~ (%!) _________
0
(填“〉”或“ v ”)
5.(说一说)根据上面的分析,请同学们给出增函数和减函数的定义:
一般地,设函数y
= (兀)的定义域为A,区间M _________ A
如果取区间M中的 _______
两个值兀|,%2,改变量Ax二兀2 一西〉°,则
当Ay二(x
2
)-(%,)
________ 0吋,就称函数),=(兀)在区间M上是增函数,
当Ay二(x
2
)-(x,) _________
0时,就称函数),=(兀)在区间M上是减函数.
(辨一辨)判断下列结论是否正确.
(1)函数(x)=-在实数集上是减函
数.( )
注:函数的单调性是在研究函数在定义域的子集
(注意包括定义域木身)上的性质.
(2 )若函数的定义域为[2,6],满足 (2) < (6),则函
数y =
(兀)在区间[2,6] ± 是增函数.( ) 注:取区
间M中的任意两个值兀I,
吃中的“任意”两个字绝不能去掉.更不能用两个特殊值 代替.
6?单调性和单调区间的定义:如果一个函数在某个区间M上是增函数或减函数,就说
这
个函数在这个区间M上具有单调性,其屮区间M称为函数的单调区间.
思考:函数
y = x
2
在(yq,+00)上具有单调性吗?
【展示点拨】
例
1
、下图是定义在区间
[—5,
5]
上的函数
y=f(x),
请根据图象说
出函数的单调
区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.
※变式练习:
(1)
已知函数
y=f (x) ,y =
g(x)
的图象,(包括端点),根据图象说出
函数的单调区间,以及在每一个区间上,函数是增函数还是减函数.
例
2
、证明函数(%) =
2
兀+
1,
在(
+Q
上是增函数.
小结:证明函数单调性的步骤:
练习:判断函数(x) =
-在区间(-8,0)和(0,+00)上的单调性,并证明你的结论.
思考:能否说,(%)=丄在它的定义域上是减函数?为什么?
例3、判断y =
x在(-oo,+oo)的单调性,并证明。
3
练习:判断函数
y =
在区间[0, +◎上的单调性,并证明你的结论.
例4、画出下列函数的图象,并指出它们的单调区间.
(l)y =|x|-l
(2)丿=|兀一1|
变式:研究下列函数的单调区间并分别画出它们的图象:
(1)
(2)
心目标检测
A
级
1
、下列函数中:
① (X)=—; ②(x) = x
2
+2x+l ;
x-
其中,在区间
(0,
2)
上是递增函数的序号有 _________________ ?
2
、
函数尸小|的递增区间是 ____________ ?
3
、
函数
y
二—+
2
的单调递增区间为
__________________________ ?
4
、
_________________________________________ 函数
y
= 7x
2
-2x-3
的递减区间是 .
5、 ___________
__________________________________________________
___ 函数
y=(2k+l)x+b在(-°°,
+
00
)上是减函数,则?取值范围 ______________________ 。
6
、 已知函数
(
X
)
=
4
X
2
-7U
+
5
在(-<
br>oo,-2)
上是减函数,在
(-2,+oo)
上是增
函数,贝叶⑴二 _________________ .
7、
若二次函数
f(x) = -x
2
-cix +
4在区间(-00,1]
±单调递增,则^的取值范围 _______ °
8
、 己知函数
=
(x)
在定义域
R
上是单调减函数,且
(
Q
+
1)>(2
G
),
则实数
a
的取值范围
_____________ ?
9
、 已知下列命题:
①
定义在R
上的函数⑴满足
(2)
〉
f⑴,
则函数
是<
br>R
上的增函 数;
②
定义在
R
上的函数(兀)满足
(2) >
(I),
则函数(兀)在
R
上不是减函 数;
③
定义在尺上的函
数
(x)
在区间
(-00,0]
上是增函数,在区间
[0,
+8)
上也 是增函
数,则函数(兀)在?上是增函数;
④
定义在?上的函数(兀)在区间(-00,0] ±是增函数,在区间(0,+8)上也是增函数,则函
数
(兀)在R上是增函数.
⑤
如果函数尸(兀)是R上的增函数,则比>0时,幼(兀)在R上也是增函数
其屮正确命题的序号有
_____________ ?
B级
2r-l
K求证:函数(X)=
------- 在区间(-00,-1)和(―l,+oo)上都是单调递增函数.
X +
1
1
严)
(
2
、已知函数⑴二竺巴在区间
(-2,+00)
上是增函数,求实数
Q
的取值 兀+
2
范围.
增,求白的取值范围。
C级
1、函数(x)对一切实数兀,y都有
f(x + y) = f(x) +
f(y)
,且 当兀>0时,(%)>0试判断函数XQ
的单调性,并说明理由。
变式:设函数(%)的定义域为(0,+8),对 色,y w R +均有(兰)=(兀)-
f(y)
,且当 y
兀〉[时(X)>
0,判断
f(x)
的单调性并说明理由。
2、讨论(%) = %
+丄在(0,+oo)上的单调性,并给出证明。
X