2002高中数学联赛试题-高中数学课必修四
v1.0 可编辑可修改
函数单调性的判定和证明方法
(一)、定义法
步骤:
①取值,设x<x, 并是某个区间上任意二值;
12
②作差:
≠0;
;或作商: ,
③变形
向有利于判断差值符号的
方向变形;,≠0向有利于判断商的值是否大于1方向变形;
1
v1.0 可编辑可修改
(常用的变形技巧有:1、分解因式,当原函数是多
项式时,作差后进行因式分解;
2、通分,当原函数是分式函数时,作差后往往进行通分再进行因式分解
;3、配方,
当原函数是二次函数时,作差后考虑配方便于判定符号;4、分子有理化,当原函
数是根式函数时,作差后往往考虑分子有理化等);
④定号,判断
确定时,需进行分类讨论;
⑤下结论,根据函数单调性的定义下结论。
作差法:
例1.判断函数
并证明.
2
的正负符号,当符号不
在(-1,+∞)上的单调性,
解:
设-1
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
3
v1.0 可编辑可修改
-
v1.0 可编辑可修改
=
=
∵-1
,
∴x
1
-x
2
<0,x
1
+1>0,x
2
+1>0.
∴当a>0时,f(x
1
)-f(x
2
)<0,
即f(x
1
)
),
∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递增.
当a<0时,f(x
1
)-f(x
2
)>0,
即f(x
1
)>f(x
2
),
∴函数y=f(x)在(-1,+∞)上单调递减.
4
例2.证明函数
5
v1.0 可编辑可修改
在区间
和
上是增函数;在
证明:设
6
v1.0 可编辑可修改
上为减函数。(增两端,减中间)
,则
因为
所以
7
v1.0 可编辑可修改
,所以
,
,
v1.0 可编辑可修改
所以
所以
8
设
则
因为
9
v1.0 可编辑可修改
,
,
所以
所以
所以
10
v1.0 可编辑可修改
,
v1.0
可编辑可修改
同理,可得
作商法:
例3.
设函数y=f(x)定义在R上,对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)
?f(n)
且当x>0时,0<f(x)<1
(1)求证:f(0)=1
且当x<0时,f(x)>1
(2)求证:f(x)在R上是减函数.
证明:(1)∵对于任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),
令m=1,n=0,可得f(1)=f(1)?f(0),
∵当x>0时,0<f(x)<1,∴f(1)≠0.
∴f(0)=1.
令m=x<0,n=-x>0,
则f(m+n)=f(0)=f(-x)?f(x)=1,
∴f(-x)f(x)=1,
又∵-x>0时,0<f(-x)<1,
∴f(x)=
1
f(-x)
11
v1.0
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>1.
(1)设x1<x2,则x1-x2<0,
根据(1)可知
f(x1-x2)>1,f(x2)>0.
∵f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1-x2)?f(x2)>f(x2),
∴函数f(x)在R上单调递减.
(二)、运算性质法.
函
数
当
k?0
时,
y
在R上是增函数;
当
k?0
时,
y
在R上是减函数。
当
a?0
时,
x??
函数表达式 单调区间 特殊函数图像
一
次
函
数
y?kx?b(k?0)
b
时
y
单调减,
2a
二
次
函
数
b
时
y
单调增;
2a
(a?0,a,b,c?R)
b
当
a?0
时
,
x??
时
y
单调增,
2a
b
x??
时<
br>y
单调减。
2a
x??
当
k?0
时,<
br>y
在
x?0
时单调减,在
y?
k
x
y?ax
2
?bx?c
反
比
例
函
数
x?0
时单调减;
当
k?0
时,
y
在
x?0
时单调增,在
(k?R
且
k?0
)
x?0
时单调增。
12
v1.0 可编辑可修改
当
a?1
时,
y
在R上是增函数;
指
数
函
数
y?a
x
(a?0,a?1)
当
0?a?1
,时
y
在R上是减函数。
当
a?1
时,
y
在
(0,??)
上是增函数;
当
0?a?1
时,
y
在
(0,??)
上
是减函
数。
对
数
函
数
y?log
a<
br>x
(a?0,a?1)
13
关于函数单调的性质可总结如下几个结论:
①
f(x)
与
f(x)
+
C
单调性相同。(
C
为常数)
②当
k?0时,
f(x)
与
kf(x)
具有相同的单调性;当
k?0
时,
f(x)
与
kf(x)
具有相反的
单调性。
③当
f(x)
恒不等于零时,
f(x)
与
1
具有相反的单调性。
f(x)
④当
f(x)
、
g(x)
在
D
上
都是增(减)函数时,则
f(x)
+
g(x)
在
D
上是增(
减)函数。
⑤当
f(x)
、
g(x)
在
D
上都是
增(减)函数且两者都恒大于0时,
f(x)g(x)
在
D
上是增
(
减)函数;当
f(x)
、
g(x)
在
D
上都是增(减)函数
且两者都恒小于0时,
f(x)g(x)
在
D
上是减(增)函数。
⑥设
y?f(x)
,
x?D
为严格增(减)函数,则
f
必有
反函数
f
上也是严格增(减)函数。
?1
,且
f
?1在其定义域
f(D)
例4.判断
f(x)?x?x?log
2
x
?2
33x?1
(x
2
?1)?5
的单调性。
解:函数<
br>f(x)
的定义域为
(0,??)
,由简单函数的单调性知在此定义域内
x,x
3
,log
2
x
3
均为增函数,因为
2
x?1
?0
,
x
2
?1?0
由性质⑤可得
2
x?1
(x
2
?1)
也是增函数;
v1.0 可编辑可修改
由单调函数的性质④知
x?x?log
2
x
为增函数,
再由性质①知函数
f(x)?x?x?log
2
x?2
函数。 33x?1
3
(x
2
?1)
+5在
(0,??)
为单调递增
例5.设函数
f(x)?
x?a
(a?b?0),判断
f(x)
在其定义域上的单调性。
x?b
x?a
解:
函数
f(x)?
的定义域为
(??,?b)?(?b,??)
.
x
?b
先判断
f(x)
在
(?b,??)
内的单调性,由题可把 a?b
x?a
转化为
f(x)?1?
,又
a?b?0
故
a?b?0
由性质③可得
x?b
x?b
1
a?b
为减函数;由性质②可得为减函数;
x?b
x?b
a?b
再由性质①可得
f(x)?1?
在
(
?b,??)
内是减函数。
x?b
x?a
同理可判断
f(x)在
(??,?b)
内也是减函数。故函数
f(x)?
在
x?b<
br>f(x)?
(??,?b)?(?b,??)
内是减函数。
(三) 、图像法.
根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。
例6.求函数的单
14
解:
15
v1.0
可编辑可修改
调区间。
v1.0 可编辑可修改
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为.
(四)、同增异减法(复合函数法).
定理1:若函数
y?f(u)在
U
内单调,
u?g(x)
在
X
内单调,且集合{u
︳
u?g(x)
,
x?X
}
?U
(1)若
y?f(u)
是增函数,
u?g(x)
是增(减)函数,则
y?f[g(x)]
是增(减)函数。
(2)若
y?f(u)
是减函数,<
br>u?g(x)
是增(减)函数,则
y?f[g(x)]
是减(增)函数。
16
v1.0 可编辑可修改
归纳此定理,可得口诀:
同则增,异则减(同增异减)
复合函数单调性的四种情形可列表如下:
第①种情形 第②种情形 第③种情形
第④种情形
内层函数
u?g(x)
外层函数
y?f(u)
复合函数
y?f[g(x)]
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
显然对于大于2次的复合函数此法也成立。
推论
:若函数
y?f(x)
是K(K≥2),
K?N
)个单调函数复合而成其中有
m?K
个减函数:
①
当m?2k?1时,则y?f(x)是减函数
;
②
当m?2k时,则y?f(x)是增函数
。
判断复合函数
y?f[g(x)]
的单调性的一般步骤:
⑴合理地分解成两个基本初等函数
y?f(u),u?g(x)
;
⑵分别解出两个基本初等函数的定义域;
⑶分别确定单调区间;
⑷若两个基本初等
函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减,则
y?f[g(x)]
为增函数,若
为一增一减,则
y?f[g(x)]
为减函数(同增异减);
⑸求出相应区间的交集,既是复合函数
y?f[g(x)]
的单调区间。
以
上步骤可以用八个字简记“一分”,“二求”,“三定”,“四交”。利用“八字”求法可
以解决一些复
合函数的单调性问题。
2
例7.求
f(x)?log
a
(3x?5x?2)
(
a?0
且
a?1
)的单调区间。
2
解:由题可得函数
f(x)?log
a
(3x?5x?2)
是由外
函数
y?log
a
u
和内函数
1
u?3x
2
?5x?2
符合而成。由题知函数
f(x)
的定义域是
(??,?2)?(
,??)
。内函数
3
17
v1.0 可编辑可修改
1
u?3x
2
?5x?2
在
(,??)
内为增函数,在<
br>(??,?2)
内为减函数。
3
1
①若
a?1
,外
函数
y?log
a
u
为增函数,由同增异减法则,故函数
f(x)<
br>在
(,??)
上
3
是增函数;函数
f(x)
在
?
??,?2
?
上是减函数。
③
若
0?a?1
,外函数
y?log
a
u
为减函数,由同增异减法则,故函数
f(
x)
在
(
1
,??)
上
是减函数;函数
f(x)<
br>在
?
??,?2
?
上是增函数。
例8.
求函数
解
原函数是由外层函数
18
的单调区间
3
和内层函数
v1.0 可编辑可修改
易
19
知
复合而成的;
的单调增区间;
是外层数函
令
20
的取
,
值范
v1.0
可编辑可修改
解得
围为
;
v1.0 可编辑可修改
由
21
于是内层
的一个单调减区间,
便是原函数的一个单调区间;
数
于是
函
v1.0 可编辑可修改
根据复合函数“同增异减”的复合原则知,
例9. 求函数
22
是原函数的单调减区间。
的单调区间.
解
原函数是由外层函数
易知
23
复合而成的;
v1.0
可编辑可修改
和内层函数
和
令
24
都是
的单调减区间;
外层
,
v1.0 可编辑可修改
函数
解得
结合二次函数的图象可知
25
的取
值范
v1.0 可编辑可修改
围为
不是内
;
层函数
26
v1.0
可编辑可修改
的一个单调区间,但可以把区间
划分成内层函数的两个单调子区间
和<
/p>
v1.0 可编辑可修改
27
,
是其单
是其单调增
区间;
其
调减区
中
,间
v1.0
可编辑可修改
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则知,
28
是原函数的单调增区间,
是原函数的单调减区间。
同
29
理,令
v1.0 可编辑可修改
,可求得
是原函数的单调增区间,
是原函数的单调减区间。
v1.0 可编辑可修改
综上可知,原函数的单调增区间是
30
单调减间
和
是
和
,区
v1.0
可编辑可修改
.
(五)、含参数函数的单调性问题.
例10.设
(先分离常数,即对函数的解析式进行变形,找到基本函数的类型,再分类讨论.)
31
解:由题意得原函数的定义域为
当
32
v1.0
可编辑可修改
上为减函数;
,
v1.0 可编辑可修改
当
上为增函数。
(六) 、抽象函数的单调性
.
抽象函数问题是指没有给出解析式,只给出一些特殊条件的函数问题。常采用的方法有:
①
定义法.
通过作差(或者作商),根据题目提出的信息进行变形,然后与0(或者1)比较大小关系<
br>来判断其函数单调性。通常用凑差、添项、增量、放缩法求解。
例11.已知函数
f(x)
对任意实数
m
、<
br>n
均有
f(m?n)?f(m)?f(n)
,且当
m?0
时,
f(m)?0
,试讨论函数
f(x)
的单调性。
此题多种方法解答如下:
凑差法:根据单调函数的定义,设法从题目中“凑出”“
较
f(x
1
)?f(x
2
)
”的形式,然后比
f(x
1
)?f(x
2
)
与0的大小关系。
解:由题得
f(m?n)?f(m)?f(n)
,
令
x
1
?m?n,x
2
?m
,且
x
1
?x
2,
n?x
1
?x
2
?0
33
v1.0 可编辑可修改
又由题意当
m?0
时,
f
(m)?0
?f(x
1
)?f(x
2
)?f(n)?0
,
所以函数
f(x)
为增函数。
添项法 :采用加减添项或乘除
添项,以达到判断“
f(x
2
)?f(x
1
)
”与0大小关
系的目的。
解:任取
x
1
,x
2
?R,x
1?x
2
,则
x
2
?x
1
?0
, f(x
2
)?f(x
1
)
?f[(x
2
?x<
br>1
)?x
1
]?f(x
1
)
由题意函数<
br>f(x)
对任意实数
m
、
n
均有
f(m?n)?f(
m)?f(n)
,
且当
m?0
时,
f(m)?0
?f(
x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
?x
1
)
?0
,
所以函数
f(x)
为增函数。
增量法 :由单
调性的定义出发,任取
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2
设
x
2
?x
1
?
?
(
?
?0)
,然后联系题
目提取的信息给出解答。
解:任取
x
1
,x
2
?R,x
1
?x
2
设
x
2
?x
1
?
?
(
?
?0)
由题意函数<
br>f(x)
对任意实数
m
、
n
均有
f(m?n)?f(
m)?f(n)
,
?f(x
2
)?f(x
1
)?f(x<
br>1
?
?
)?f(x
1
)?f(
?
)
,
又由题当
m?0
时,
f(m)?0
?f(x
2
)?f(x
1
)?f(
?
)?0(
?
?0)
,
所以函数
f(x)
为增函数。
例13.已知函数
f(x
)
的定义域为(0,+∞),对任意正实数
m
、
n
均有
f
(mn)?f(m)f(n)
,且当
m?1
时
0?f(m)?1
,判
断函数
f(x)
的单调性.
此题用放缩法,先判断
f(x
1)
与
f(x
2
)
的大小关系,从而得
f(x)
在其定义域内的单调性。
34
v1.0 可编辑可修改
解:
设
0?x
1
?x
2
,则
x
2
?1
x
1
x
2
)?1
x
1
又当m?1
时
0?f(m)?1
,故
0?f(
再由
f(mn
)?f(m)f(n)
中
令
m?1
,
n?1
得
f(1)?1
当<
br>0?x?1
时,
1
1
?1
,由
f(1)?f(x)f
()
易知此时
f(x)?1
,
x
x
故
f(x)?0
恒成立。
因此
f(x
2
)?f(
x
2
x
?x
1
)?f(
2<
br>)f(x
1
)?1?f(x
1
)?f(x
1
)
?f(x
2
)?f(x
1
)
x
1
x<
br>1
即
f(x)
在(0,+∞)上为单调递减函数。
②
列表法
对于比较复杂的复合函数,除了用复合函数单调性判断法外,还可以用列表,将各个函
数的单调性都列出来,然后再判断复合函数单调性。
例15.已知
y?f(x)在R上是偶函数,且在[0,+
?
)上是增函数,求
f(2?x
2
)
是
减函数的区间
解:列表如下
表达式
由表知
f(2?x
2
)
是减函数的区间
(??,?2)
,
[0,2)
。
35
函数 单调性
(??,?2)
?
[?2,0)
[0,2)
[2,??)
?
y?2?x
2
y?f(u)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y?f(2?x
2
)
?