高考数学专题：函数的单调性

高考数学函数的单调性复习教案
考纲要求：了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法 。
函数单调性可以从三个方面理解
（1）图形刻画：对于给定区间上的函数
f(x)< br>，函数图象如从左向右连续上升，则称函数
在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降， 则称函数在该区间上单调递减。
（2）定性刻画：对于给定区间上的函数
f(x)
， 如函数值随自变量的增大而增大，则称函
数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称 函数在该区间上单调递减。
（3）定量刻画，即定义。
上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径
判断增函数、减函数的方法：
①定义 法：一般地，对于给定区间上的函数
f(x)
，如果对于属于这个区间的任意两个自变
量的值
x
1
、
x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f
?
x
1
?
?f
?< br>x
2
?
〔或都有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
〕，那么就说
f(x)
在这个区间 上是增函数（或减函数）。
与之相等价的定义：⑴
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
f
?
x
1?
?f
?
x
2
?
〔或都有
?0
，?0
〕则说
f(x)
在这
x
1
?x
2
x
1
?x
2
个区间上是增函数（或减函数）。其几何意义为：增（减）函数图 象上的任意两点
?
x
1
,f
?
x
1
??< br>,
?
x
2
,f
?
x
2
??
连线的斜率都大于（或小于）0。
⑵
?
x
1
?x
2
?
?
f
?
x
1
?
?f
?
x2
?
?
?0
，〔或都有
?
x
1
?x< br>2
?
?
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?0
〕则说
f(x)
在这个区间上是增函数（或减函数）。
②导数法：一般地，对于给定区间上的函数
f(x)，如果
f`
?
x
?
?0
那么就说
f(x)在这个区
间上是增函数；如果
f`
?
x
?
?0
那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数；
如果函数
y?f
?x
?
在某个区间上是增函数（或减函数），就说
f(x)
在这一区间上具 有（严
格的）单调性，这一区间叫做
f(x)
的单调区间。如函数是增函数则称区间为 增区间，如函数为
减函数则称区间为减区间。导数法是一个通法，而且不要过多的技巧，但要注意本法只 对于给
定区间上的可导函数而言才可以用，一般含有绝对值的函数应采用其他方法。
③复合函 数单调性的根据：设
y?f
?
u
?
,u?g
?
x< br>?
,x?
?
a,b
?
,u?
?
m,n
?
都是单调函数，则
y?f
?
g
?
x
?
?
在
?
a,b
?
上也是单调函数。
（ⅰ）
y?f
?
u
?
是
?
m,n
?
上的增函数，则y?f
?
g
?
x
?
?
与
u?g
?
x
?
的增减性相同；
（ⅱ若
y?f
?
u?
是
?
m,n
?
上的减函数，则
y?f
?g
?
x
?
?
的增减性与
u?g
?
x< br>?
的增减性相反。
④几个与函数单调性相关的结论：
（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；
（ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。
⑤函数奇偶性与单调性质的重要关系：
奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调 性完全相同；偶函数在关于原点对
称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反。
⑥如果y?f
?
x
?
在某个区间
D
上是增函数（或减函数）， 那么
y?f
?
x
?
在区间
D
的任意一
个子 区间上也是增函数（或减函数）。
⑦互为反函数的两个函数具有相同的单调性。
【试题举例】
例1、（年高考上海卷）若函数
f
?
x
?< br>?ax?b?2
在［0，+ ∞ ）上为增函数，则实数 a、b 的
取值范围是.
?
ax?ab?2
?
ab?ax?2
要使
f
?
x
?
在［0，+ x）上为增函数，必须使
a?0
且
b?0
。
【解析】本题考查函数的单调性及分类讨论思想
f
?
x
?
?
?
例2、（年广东卷）下列函数中，在 其定义域内既是奇函数又是减函数的是
1

?
x?b
?

?
x?b
?

A.
y??x
3
,x?R
B.
y?sinx,x?R
C.
y?x,x?R
D.
y?(),x?R

【考点分析】本题考查基础函数的奇偶性和单调性质，基础题。
解析：由题选择A。
y?sinx ,x?R
非定义域上的单调函数，故排除B； < br>1
x
2
?
?
3a?1
?
x?4a,
?
x?1
?
例3、（年北京卷理）已知
f
?
x
?< br>?
?
是
(??,??)
上的减函数，那么
a
的取??
logx,x?1
?
a
值范围是C
（A）
(0,1)
（B）
(0,)
（C）
[,)

1
y?x ,x?R
是增函数；
y?()
x
,x?R
是非奇非偶函数。
2
1
3
11
73
（D）
[,1)
（类同北京文4）
1
7
【考点分析】本题考查分段函数、函数的单调性质，基础题。
解析：要 使
f
?
x
?
为
?
??,??
?
上 的增函数，必须满足两个段的函数都是减函数且第一支的最小
值必须大于第二支的最大值，即
11
??
a?a?
??
?
3a?1?0
33
??< br>11
?
0?a?1?0?a?1?0?a?1??a?
，故选择C。
???
73
?
logx?
?
3a?1
?
x?4a< br>?
3a?1?4a?0
?
1
?
a
??
a?< br>7
??
【窥管之见】本题比较北京文科题而言，层次要高些，学生不会如文科一样错做对 得。
例4（年北京文）已知
f(x)?
?
值范围是
（A）(1，+
?
) （B）(-
?
,3) (C)[< br>?
(3?a)x?4a,x＜1，
是（-
?
，+
?
） 上的增函数，那么
a
的取
?
log
a
x,x?1
3
，3)
5
(D)(1,3)
【考点分析】本题考查分段函数、函数的单调性质，基础题。
?
3?a?0
?
a?3
??
?
?
a?1?1?a?3
故选D， 解析：依 题意，有
?
a?1
?
?
3?a
?
x?4a?log x
?
3?a?4a?0
a
??
【窥管之见】本题比较北京理科题而言 ，层次要低些，由于最后一个不等式可能会被忽略，但
从结果来看，最后一个不等式没有，也不会影响结 果，因此本题不是一个完美的题。

例5、（1997全国，13）定义在区间
?< br>??,??
?
的奇函数
f
?
x
?
为增函数， 偶函数
g
?
x
?
在区间
?
0,??
?的图象与
f
?
x
?
的图象重合，设
a?b?0
，给出下列不等式，其中成立的是（ C ）
①
f
?
b
??f
?
?a
?
?g
?
a
?
?g
?
?b
?
②
f
?
b
?
?f
?
?a
?
?g
?
a
?
?g
?
?b
?

③
f
?
a
?
?f
??b
?
?g
?
b
?
?g
?
?a
?
④
f
?
a
?
?f
?
?b
?
?g
?
b
?
?g
?
?a
?

A.①与④ B.②与③ C.①与③ D.②与④
【考点分析】本题考查函数的奇偶性与单调性质结合，基础题。
解析：解法一：取适合条件的 特殊函数
f
?
x
?
?x,g
?
x
?
?x
，并令
a
=2，
b
=1，则给出的4
个不等式分别是 ①3＞1；②3＜1；③3＞－1；④3＜－1.由②不成立，排除B、D，又④不成立，
排除A，得C 。特殊值法是解答填空题、选择题的一个重要方法，甚至对于一些抽象的定值问题
的解答题的分析也不失 为一个重要的手段。
2

解法二：由题设知，4个不等式分别等价于①
f
?
b
?
?0
；②
f
?
b
?
?0
；③
f
?
a
?
?0
；④

f
?
a
?
?0.由于
f
?
x
?
是奇函数，且定义在
?
??, ??
?
上，所以
f
?
0
?
?0
；于是，由
f
?
x
?
是增函
数与
a?b?0
得不等式 ①与③成立，故答案为C。本解法只简单的直
观的运用了奇偶性对不等式进行化简，使结论直观。 解法三：如图2—17，显然
f
?
b
?
?f
?
?a
?
?g
?
a
?
?g
?
?b
?
，
f
?
a
?
?f
?
?b
?
?g
?
b
?
?g
?
?a
?
，所以选C。
【窥管之见】本题综合考查函数性质（奇偶性、单调性），试题比
较长，兼考阅读、理解能力； 题设上给出的两个函数都没有具体的解析
式，借以加强概念的考查，要求对奇偶性、单调性有透彻的理解 。会简
化问题，对综合灵活地应用数学知识解决问题的能力要求较高。





图2—17
3