全收益公式考研数学高数公式函数与极限

2020年10月7日发(作者：乔培新)
考研数学高数公式：函数与极限
第一章：函数与极限
第一节：函数
函数属于初等数学的预备知识，在高数的学习中起到铺垫作用，直接考察的内容比较少，
但 是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。
基础阶段：
1.理解函数的概念，能在实际问题的背景下建立函数关系;
2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式;
3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质;
4.理解复合函数和反函数的概念，并会应用它们解决相关的问题;
强化阶段：
1.了解函数的不同表现形式：显式表示，隐式表示，参数式，分段表示;
2.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
冲刺阶段：
1.综合应用函数解决相关的问题;
2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数，导函数，变上限积分)，并会讨论它们的相关性
质。
第二节：极限
极限可以说是高等数学的基础，极限的计算也是高等数学中最基本的运 算。在考试大纲
中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题 中
得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果
基础阶段
1.了解极限的概念及其主要的性质。
2.会计算一些简单的极限。
3.了解无穷大量与无穷小量的关系，了解无穷小量的比较方法，记住常见的等价无穷小
量。
强化阶段：
1.理解极限的概念，理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二)了解数 列
极限和函数极限的概念(数三);
▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质 ，极限的四则运算法则，极限存在的
两个准则，两个重要极限，等价无穷小替换，洛必达法则，泰勒公式 );
3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数);
4.理解无穷大 量和无穷小量的概念及相互关系，会进行无穷小量的比较，记住常见的等
价无穷小量并能在计算极限时加 以应用(数一数二)理解无穷小量的概念，会进行无穷小量
的比较，记住常见的等价无穷小量并能在计算 极限时加以应用，了解无穷大量的概念及其与
无穷小量的关系(数三)。
冲刺阶段：
深入理解极限理论在微积分中的中心地位，理解高等数学中其它运算(求导，求积分)
与极 限之间的关系，建立完整的理论体系。
函数与极限的基本公式与定理
1、函数的有 界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;
如果有f(x)≤K 2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在
定义域内既有上界又有 下界。
2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如 果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}
一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列
收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛
于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn }是发散的，如数列1，-1，
1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xn k}收敛于-1，{xn}却是发散的;同时一个
发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限
与f(x)在点x0有没有定义无关。
定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f( x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那
么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f( x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。
函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件 是左极限右极限各自存在并且相等，即
f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不 存在。
一般的说，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形 水平渐近线。如
果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐 近线。
4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;
常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)，< br>而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.
5、极限存在准则两个重 要极限lim(x→0)(sinxx)=1;lim(x→∞)(1+1x)x=1.夹逼准
则如果数 列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么l imxn=a，
对于函数该准则也成立。
单调有界数列必有极限。
6、函 数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果函数f(x)当x→x0
时的极限存 在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称
函数f(x)在点x0处连续。
不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2、虽在x=x0有定 义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、
虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在 ，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不
连续或间断。
如果 x0是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一
类间断点(左 右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任
何间断点都称为第二类间 断点(无穷间断点和震荡间断点)。
定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。
定理如果函数 f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应
的区间Iy={y| y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都
是连续的。
定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如
果 函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值
和最小值。
定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理
(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b) <0)，那
么在开区间(a，b)内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ(a<ξ
推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。









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