应城高中数学家教-高中数学期中考试及答案解析
二○○一年全国高中数学联赛
(10月4日上午8:00—9:40)
题号
ZXXK]
[来源:学科网
一
[来源:学科网][来
源:学科
网]
二
[来源:学科网ZXXK]
三
13
14
15
合计
加试
ZXXK]
[来源:学科网
总成绩
得分
评卷人
复核人
学生注意:1、本试卷共有三大题(15个小题),全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、
选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6个小是题,每题均给出(A)(B)(C)(D)
四个结论,其中有且仅有一个是
正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内,每小题选对得6分
;不选、选错或
选的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。
22
1、已知a为给定的实数,那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为
(A)1 (B)2 (C)4
(D)不确定
210002000
5.若(1+x+x)的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
2000<
br>x,
则a
0
+a
3
+a
6
+a
9
+…+a
1998
的值为( ).
3336669992001
(A)3 (B)3 (C)3 (D)3
6
.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小
于22元,则
2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是( ).
(A)2枝玫瑰价格高
(B)3枝康乃馨价格高
(C)价格相同 (D)不确定
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
8、若复
数z
1
,z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1
-2z
2
=
3
-I,则z
1
z
2
= 。
2
9、正方体
ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1
,则直线A
1
C
1
与BD
1
的距离是
。
10、不等式
13
?2?
的解集为
。
log
1
x2
2
11、函数
y?x?x
2?3x?2
的值域为
。
x
2
2
2
14、设
曲线C
1
:
2
?y?1
(a为正常数)与C
2
:y
=2(x+m)在x轴上方公有一个公共点P。
a
(1)
求实数m的取值范围(用a表示);
(2)
O为原点,若C
1
与x轴的负半轴交于点A,当0大值(用a表示)。
15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
、(a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
)的电阻组装成一个如图的
组件,在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电
阻值最小?证明你的结论。
1
时,试求⊿OAP的面积的最
2
二○○一年全国高中数学联合竞赛加试试题
(10月4日上午10:00—12:00)
学生注意:1、本试卷共有三大题,全卷满分150分。
2、用圆珠笔或钢笔作答。
3、解题书写不要超过装订线。
4、不能使用计算器。
一、(本题满分50分)
如图:⊿ABC中,O为外心,三条高AD
、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和
AC交于点N。求证:(1)OB⊥DF,O
C⊥DE;(2)OH⊥MN。
二、(本题满分50分)
设x
i
≥0(I=1,2,3,…,n)且
n
n
k
x
k
x
j
?1
,求
?
x
i
的最大值与最小值。
ji?1
?
x
i?1
2
i
?2
1?k?j?n<
br>?
三、(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的
正方形,每个正方形的边均平行
于矩形的相应边,试求这些正方形边长之和的最小值。
2001年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准
一.选择题:
CBDDCA
2.命题1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.
命题2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】
由于长方体的中心到各顶点的距离相等,所以命题1正确.对于命题2和命
题3,一般的长方体(除正方
体外)中不存在到各条棱距离相等的点,也不存在到各个面距
离相等的点.因此,本题只有命题1正确,
选B.
4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰
有一个,那么k的取
值范围是( ).
A.
k?83
B.0<k≤12
C.k≥12 D.0<k≤12或
k?83
【答案】D
【解析】这是“已知三角形的两边及其一边的对角,解三角形”这类问题的一个
逆向问
题,由课本结论知,应选结论D.
说明:本题也可以通过画图直观地判断,还可以用特殊值法排除A、B、C.
21000
2000
5.若(1+x+x)的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…+a
2000
x,
则a
0
+a
3
+a
6
+a
9
+…+a
1998
的
值为( ).
3336669992001
A.3 B.3 C.3 D.3
【答案】C
6.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和
大于24,而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小
于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较
,结果是( ).
A.2枝玫瑰价格高 B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同
D.不确定
【答案】A
二.填空题
7.
23
3
8.
2
7
?
3072
?i
1313
9.
6
6
10.
(0,1)?(1,2)?(4,??)
11.
[1,
3
)?[2,??)
2
12. 732
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
【答案】
23
3
8.若复数z
1
、
z
2
满足|z
1
|=2,|z
3
|=3,3z
1<
br>-2z
2
=(3/2)-i,则z
1
·z
2
=___
___________.
【答案】
?
3072
?i
1313
sin(α+β)=12/13,cos(α+β)=-5/13.
故z
1
·z
2
=6[cos(α+β)+isin(α+β)]
=-(30/13)+(72/13)
i.
说明:本题也可以利用复数的几何意义解.
10.不等式|(1/lo
g
1/2
x)+2|>3/2的解集为______________.
2/7
【答案】x>4,或1<x<2,或0<x<1.
【解析】从外形上看,这
是一个绝对值不等式,先求得log
1/2
x<-2,或-2/7<l
2/7
og
1/2
x<0,或log
1/2
x>0.从而x>4,或1<x<2,或
0<x<1.
11.函数y=x+的值域为______________.
【答案】[1,3/2)∪[2,+∞).
【解析】先平方去掉根号.
222
由题设得(y-x)=x-3x+2,则x=(y-2)/(2y-3).
2
由y≥x,得y≥(y-2)/(2y-3).解得1≤y<3/2,或y≥2.
由于能达到下界0,所以函数的值域为[1,3/2)∪[2,+∞).
说明:(1)参考答
案在求得1≤y<3/2或y≥2后,还用了较长的篇幅进行了一番验证,
确无必要.
(2)本题还可以用三角代换法和图象法来解,不过较繁,读者不妨一试.
12.
在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图3),要求同一块中种同一种植物,
相邻的两块种不同的
植物.现有4种不同的植物可供选择,则有______________种栽种方
案.
【答案】732
【解析】为了叙述方便起见,我们给六块区域依次标上字母A、B、C、D、E、F.按
间隔三块A、C、E种植植物的种数,分以下三类.
三.解答题
13.【解析】设所求公差为
d
,∵
a
1<
a
2
,∴
d
>0.由此得
2
(a
1
?2d)
2
?(a
1
?d)
4
化简得:
2a
1
2
?4a
1
d?d
2
?0
a
1
?
x
2
2
?
2
?y?114.【解析】(1)由
?
a
消去
y
得:
x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
?0
①
?
y
2
?2(x?m)
?
设
f(x)
?x
2
?2a
2
x?2a
2
m?a
2
,问
题(1)化为方程①在
x
∈(-
a
,
a
)上有唯一解或等<
br>根.
只需讨论以下三种情况:
a
2
?1
22
1°△=0得:
m?
,此时
x
p
=-
a
,当且仅当-
a
<-
a
<
a
,即0<
a
<1时适合;
2
2°
f
(
a
)
f
(-
a
)<0,当且仅当-
a
<
m
<
a
;
22
3°
f
(-
a
)=0得
m
=
a
,此时
x
p
=
a
-2
a
,当
且仅当-
a
<
a
-2
a
<
a
,即0<a
<1时适
合.
22
f
(
a)=0得
m
=-
a
,此时
x
p
=-
a
-2
a
,由于-
a
-2
a
<-
a
,从而
m
≠-
a
.
a
2
?1
综
上可知,当0<
a
<1时,
m?
或-
a
<
m
≤
a
;
2
当
a
≥1时,-
a
<
m
<
a
.
15.【解析】设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为
R
FG
,当
R
i
=
a
i
,
i
=3,4,5,6,
R<
br>1
、
R
2
是
a
1
、
a
2<
br>的任意排列时,
R
FG
最小
证明如下:
1.
设当两个电阻
R
1
、
R
2
并联时,所得组件阻值为
R
,则
111
??
.故交换二电阻
RR
1
R
2
的位置,不改变
R
值,且当
R
1
或
R
2
变小时,
R
也减小,因此不妨取
R
1
>
R
2
.
2.设3个电阻的组件(如图1)的
总电阻为
R
AB
R
AB
?
RR?R
1
R<
br>3
?R
2
R
3
R
1
R
2
?
R
3
?
12
R
1
?R
2
R
1
?R
2
显然
R
1
+
R
2
越大,
R
AB
越
小,所以为使
R
AB
最小必须取
R
3
为所取三个电阻中阻值
最小的—
个.
4°对于图3把由
R
1
、
R
2、
R
3
组成的组件用等效电阻
R
AB
代替.要使
R
FG
最小,由3°必需使
R
6
<
R
5
;且由1°应使
R
CE
最小.由2°知要使
R
CE
最小,必
需使
R
5
<
R
4
,且应使
R
CD
最小.
而由3°,要使
R
CD
最小,应使
R
4<
br><
R
3
<
R
2
且
R
4
<<
br>R
3
<
R
1
,
这就说明,要证结论成立
2001年全国高中数学联合竞赛加试参考答案及评分标准
另证:以
BC
所在直线为
x
轴
,
D
为原点建立直角坐标系,
aa
,k
AB
??
cb
ac
∴直线
AC
的方程为
y??(x?c)<
br>,直线
BE
的方程为
y?(x?b)
ca
c
?
y?(x?b)
?
a
2
c?bc
2
ac
2
?abc
?
a
,
由
?
得
E
点坐标为
E
(
2
)
222
a?ca
?c
?
y??
a
(x?c)
?
c
?
设
A
(0,
a
),
B
(
b
,0),
C
(
c
,0),则
k
AC
??
a
2<
br>b?b
2
cab
2
?abc
,
同理可得
F
(
2
)
222
a?ba?b
acc
?(x?)
2a2
b?c
直线
BC
的垂直平分线方程为
x?
2
acc
?<
br>y??(x?)
?
b?cbc?a
2
?
2a2
由
?
得
O
()
,
b?c
22a
?
x?
?
2
?
直线
AC
的垂直平分线方程为
y?
k
OB
bc?a
2
bc?a
2
2a
??
b?c
ac?ab
?b
2
,k
DF
ab
2
?abcab?ac
?
2
?
ab?b
2
ca
2
?bc
∵
k
OB
k
DF
??1
∴
OB
⊥
DF
二.【解析】先求最小值,因为
(
?
x)?
?
2
i
i?1i?1
nn
x<
br>i
2
?2
1?k?j?n
?
k
x
k
x
j
?1?
j
?
x
i?1
n
i
≥
1
等号成立当且仅当存在
i
使得
x
i
=1,
x<
br>j
=0,
j
=
i
∴
?
x
i?1
n
i
最小值为1.
再求最大值,令
x
k
?ky
k
∴
?ky
k?1
n
2
k
?2
1?k?j?n
?kyy
k
n
j
?1
①
设
M?
?
x?
?
k
k?1k?1
n
?
y<
br>1
?y
2
?
?
?y
n
?a
1
?
y
2
?
?
?y
n
?a
2
?<
br>ky
k
, 令
?
??
?
?
yn
?a
n
?
22
???a
n
?1
则①?
a
1
2
?a
2
n
令
an?1
=0,则
M?
?
k?1
k(a
k
?a<
br>k?1
)
?
?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1
n
ka
k?1
?
?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1
n
k?1a
k
?
?
(
k?1<
br>n
k?k?1)a
k
三.【解析】记所求最小值为
f
(
m
,
n
),可义证明
f
(
m
,
n
)=
rn
+
n
-(
m
,
n
)
(*)
其中(
m
,
n
)
表示
m
和
n
的最大公约数
事实上,不妨没
m
≥
n
(1)关于
m
归
纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为
rn
+
n
-(
m
,
n
)
当用
m
=1时,命题显然成立.
假设当,
m
≤
k
时,结论成立(
k
≥1).当
m
=
k
+1时,若<
br>n
=
k
+1,则命题显然成立.若
n
<
k
+
1,从矩形
ABCD
中切去正方形
AA
1
D
1
D<
br>(如图),由归纳假设矩形
A
1
BCD
1
有一种分法使得所得正方形边长之和恰为
m
—
n
+
n
—(
m<
br>-
n
,
n
)=
m
-
D
D
1
C
(
m
,
n
),于是原矩形ABCD
有一种分法使得所得正方形
边长之和为
rn
+
n
-(
m
,
n
)
n
(2)关于
m
归纳可以证明(*)成立.
当
m
=1时,由于
n
=1,显然
f
(
m
,
n
)=
rn
+
n
-(
m
,
n<
br>)
m
A
1
A B
假设当
m
≤
k
时,对任意1≤
n
≤
m
有
f
(m
,
n
)=
rn
+
n
-(
m
,
n
)
若
m
=
k
+1,当
n<
br>=
k
+1时显然
f
(
m
,
n
)=
k
+1=
rn
+
n
-(
m
,
n<
br>).
当1≤
n
≤
k
时,设矩形
ABCD<
br>按要求分成了
p
个正方形,其边长分别为
a
l
,
a<
br>2
,…,
a
p
不妨
a
1
≥
a
2
≥…≥
a
p
显然
a
1
=
n
或
a
1
<
n
.
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-
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