高中数学线性规划题型一览

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义
学生往往 理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。本文将有
关线性规划问题中目标 函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。
一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
?
x?y?0
?
例1.已知 实数x、y满足约束条件
?
x?y?5?0
，则
z?2x?4y
的最 小值为（ ）
?
x?3
?
A．5 B．-6 C．10 D．-10
分析：将目 标函数变形可得
y??
1z
x?
，所求的目标函数的最小值即一组平行直线< br>24
1
y??x?b
在经过可行域时在y轴上的截距的最小值的4倍。
2
解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：
y
5
A
-5
O 3
C
L
B
x

当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又
C(3 ,?3)
，故
z?2x?4y
的最小值为
z
min
?2?3 ?4?(?3)??6
，答案选B。
点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。
二 直线的斜率型
?
x
2
?y
2
?4
y?3
例2.已知实数x、y满足不等式组
?
,求函数
z?
的值域.
x? 1
?
x?0
解析：所给的不等式组表示圆
x?y?4
的右半圆(含边 界)，
22
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
y
-2
O
-2
?
2
x
（-1，-3）

z?
y?3
可理解为过定点
P(?1,?3)
，斜率为
z
的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆
x?1
22
域
x?y?4(x?0 )
上任一点与点
P(?1,?3)
的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点
P
和点
A(0,2)
的直线斜率最大，
z
max
?
2?(?3)
?5
．过点
P
所作半圆的切线的斜率最小．设
0?(? 1)
切点为
B(a,b)
，则过B点的切线方程为
ax?by?4
． 又B在半圆周上，P在切线上，则有
?
a
2
?b
2
?4解得
?
?
?a?3b?4
?
26
?
,5
?

?
3
??
?
?2?36
?
a?< br>26?3
?
5
z?
因此。综上可知函数的值域为
?
m in
3
?
b?
?6?6
?
5
?
三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
?
x?y?1?0
?
22
例3. 已知实数x、y满足
?< br>x?y?1?0
，则
w?x?y?4x?4y?8
的最值为
?
y??1
?
___________.
解析：目标函数
w?x?y?4x? 4y?8?(x?2)?(y?2)
，其含义是点(2,2)与可行域
内的点的距离的平方。由 实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：
2222
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
y
1
A
1
C
-1
x+y-1=0
（2，2）
?
-1
B
O x

可行域为图中
ABC
内部（包括边界 ），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的
22
距离为其到可行域内点的 最大值，
w
max
?(?2?2)?(?1?2)?25
；点(2,2)到直 线
x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，
w
min
?
四 点到直线的距离型
|2?2?1|32
。
?
2
2
例4. 已知实数x、y满足
2x?y?1,求u?x?y?4x?2y
的最小值。
解析：目 标函数
u?x?y?4x?2y?(x?2)?(y?1)?5
，其含义是点(-2,1)与可 行
域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线
右 上方）：
y
2222
22
?
(-2,1) 1
O
1

2
2x+y=1
x

点(-2,1)到可 行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可
求得
d?169
|2?(?2)?1?1|45
2
?5??
，故
d?5 ?
?
55
5
5
?
2x?y?2?0
?
22
同步训练：已知实数x、y满足
?
x?2y?4?0
,则目标函数
z ?x?y
的最大值是____。
?
3x?y?3?0
?
答案：13；
五 变换问题研究目标函数
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
?
y?x
?
例5.（山东潍坊08届高三）已知
?
x?y?2
，且
z?2x?y
的最大值是最小值的3倍，则
?
x?a
?
a
等于（ ）
A．
1122
或3 B． C．或2 D．
3355
?2x?y在A

解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，
准确画图找到可行域是关键.如图所示，< br>z
点和
B
点分别取得最小值和最大值. 由
?
x?a
?
x?y?2
得A(a
?
,
?
a)
，由
?
得
?
?
y?x
?
x?y
,
?
z
B
(1，1). ∴
z
max
?3
?
得
a
min
?3a
. 由题意
1
?
?
.
故答案B。
3
六 综合导数、函数知识类
例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数
f(x )的定义域为[?2,??)
，部分对
应值如下表，
f
?
(x)为f (x)
的导函数，函数
y?f
?
(x)
的图象如右图所示. 若两正数a，b
满足
f(2a?b)?1，则
b?3
的取值范围是 （ ）
a?3


x

f(x)

－2
1
0
－1
4
1
A．
(,)


64
73
26
C．
(,)

35
37
53
1
D．
(?,3)

3
B．
(,)

分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找 到原函数的基本性质，将其与所给的函
数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2, 0]为单调递减函数，在区间（0，
??
）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得< br>?2?2a?b?4
，另外注意到
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
b?3
的几何意义，转化为线性规划问题可求解。
a?3
解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0 ，
??
）
为单调递增函数，又
f(?2)?1,f(0)??1,f(4)? 1
，故
?2?2a?b?4
，而
a,b
均为正
y
4
O 2
x
?
(-3,-3)
数，可得可行域如图，
b?3
的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜 率的取值范围，故最大为点（0，4），
a?3
4?370?33
此时为，此时为?
，最小为点（2，0）
?
，所以答案B.
0?332?35

?
a?b?2?0
a?2b
?
如果实数
a,b
满足 条件：
?
b?a?1?0
，则的最大值是____________.
2a?b
?
a?1
?





?
a?b?2?0
a?2b
?
补充：1.如果实数
a,b< br>满足条件：
?
b?a?1?0
，则的最大值是 ▲ ．
2a?b
?
a?1
?
?
x?4y?3?0
?
P| cos?
2.已知O是坐标原点，
A(2,1),P(x,y)
满足
?
3x?5y?25
，求
|O
?
x?1?0
?
?AOP的最大值。
都是“定义域”惹的祸
函数三要素中，定义域是十分重要的，研究函数的性质 时应首先考虑其定义域．在求解
函数有关问题时，若忽视定义域，便会直接导致错解．下面我们举例分析 错从何起．
一、求函数解析式时
例1．已知
f(x?1)?x?2x
，求函数
f(x)
的解析式 .
错解：令
t?x?1
，则
x?t?1
，
x?(t?1)2
，
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
?f(t)?(t?1)2
?2(t?1)?t
2
?1
，
?f(x)?x
2?1

剖析：因为
f(x?1)?x?2x
隐含着定义域是
x? 0
，所以由
t?
这样才能保证转化的等价性.
正解：由
f(x?1 )?x?2x
，令
t?
二、求函数最值（或值域）时
22
例2．若
3x?2y?6x,
求
x?y
的最大值． < br>22
x?1
得
t?1
，
?f(t)?t
2
? 1
的定义域为
t?1
，即函数
f(x)
的解析式应为
f(x )?x
2
?1
（
x?1
）
x?1
得
t? 1
，
?x?
?
t?1
?
代入原解析式得
2
2
f(t)?t
2
?1
（
t?1
），即
f(x)? x?1
（
x?1
）．
3
2
x?3x
①，代入
x
2
?y
2
得
2
1199
2< br>x
2
?y
2
??x
2
?3x??
?
x?3
?
?
，∴当
x?3
时，
x
2
?y< br>2
的最大值为．
2222
错解：由已知有
y??
2
剖析：上述错解忽视了二次函数的定义域必须是整个实数的集合，同时也未挖掘出约束
条件
3 x?2y?6x
中
x
的限制条件．
22
3
2
x?3x?0
得
0?x?2
，
2
119
2
?
x
2
?y
2
??x
2
?3x??
?
x?3
?
?
，
x?
?0,2
?
，因函数图象的对称轴为
x?3
，
222
22
∴当
x?
?
0,2
?
是函数是增函数，故当当
x? 2
时，
x?y
的最大值为
4
．
正解：由
y??< br>2
例3．已知函数
f
?
x
?
?2?log
3
x
?
1?x?9
?
，则函数
y?
?
?f
?
x
?
?
?
?fx
为（ ）
A．33 B．22 C．13 D．6
错解：
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?fx
2
2
2
??
的最大值
2
??
=
?
2?lo gx
?
?2?logx
=
?
logx?3
?
?3< br>?
1?x?9
?
上是增函数，故函数
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?f
?
x
?在
x?9
时取得最大值为33．
2
2
2
333
2
2
2
2
2
在
?
1?x?9
正解：由已 知所求函数
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?f
?
x
?
的定义域是
?
1?x
2?9
得
1?x?3
，
?
2
2
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?f
?
x
?
=
?
2?log
3
x
?
?2?log
3
x
=
?
log
3
x?3
?
?3
在
1?x?3
是增函数，
22
故函数
y?
?
?
f
?
x
?
?
?
?fx
例4．已知f
?
x
?
?3
2
??
在
x?3
时取得最大值为13．
2
?
2?x?4
?
，求
y??
f
?1
?
x
?
?
2
?f
? 1
?
x
2
?
的最大值和最小值．
?1
x?2错解：由
f
?
x
?
?3
?
2?x?4
?
得
1?y?9
．∴
f
?
x
?
?2?lo g
3
x
?
1?x?9
?
．
2
22
?1?122
∴
y?
?
f
?
x
?
??f
?
x
?
?
?
2?log
3
x?
?2?log
3
x?log
3
x?6log
3
x?6

2
?
?
log
3
x?3
?
?3
． ∵
1?x?9
，∴
0?log
3
x?2
．∴
ymax
?22
，
y
min
?6
．
?12?1
2
剖析：∵
f
?
x
?
中
1?x? 9
，则
f
?
x
?
中
1?x?9
，即
1?x?3
，∴本题的定义
域应为
?
1,3
?
．
x?2
∴
0?log
3
x?1
．
正解：（前面同 上）
y?
?
log
3
x?3
?
?3
，由< br>1?x?3
得
0?log
3
x?1
．
2
∴
y
max
?13
，
y
min
?6
．
例5．求函数
y?4x?5?2x?3
的值域．
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
错解：令
t?
2
2x?3
，则
2x?t
2
?3
，∴
y?2t< br>2
?3?5?t?2t
2
?t?1

??
77
?
7
?
?
1
?
?2
?
t?
?< br>??
．故所求函数的值域是
?
,??
?
．
88
?
8
?
?
4
?
2
剖 析：经换元后，应有
t?0
，而函数
y?2t?t?1
在
?
0,??
?
上是增函数，随着
t
增
大而无穷增大．所以当
t ?0
时，
y
min
?1
．故所求函数的值域是
?
1 ,??
?
．
三、求反函数时
例6．求函数
y??x?4x?2< br>错解：函数
y??x?4x?2
22
2
(0?x?2)
的反函数．
2
(0?x?2)
的值域为
y?
?
2,6?
,
又
y??(x?2)?6
，即
(x?2)?6? y
?
x?2??6?y
，
?
所求的反函数为
y?2?6?x
?
2?x?6
?
．
剖析：上述解法中忽视了原函数的定义域 ，没有对
x
进行合理取舍,从而得出了一个非
函数表达式．
2
正解 ：由
y??x?4x?2(0?x?2)
的值域为
y?
?
2,6?
, 因
(x?2)?6?y
，又
2
x?2?0
?< br>x?2??6?y
，
?
所求的反函数为
y?2?6?x
?2?x?6
?
．
四、求函数单调区间时
例7．求函数
f(x)?lg(4?x)
的单调递增区间.
错解：令
t?4?x
，则
y?lgt
，它是增函数.
?t ?4?x
在
(??,0]
上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数
f(x)?lg(4?x)
在
(??,0]
上为增函数，即原函数的单调
增 区间是
(??,0]
.
剖析：判断函数的单调性，必须先求出函数的定义域，单调区间应是定义域的子区间．
正解： 由
4?x?0
，得
f(x)
的定义域为
(?2,2)
.?t?4?x
在
(?2,0]
上为增函数，
由可复合函数的单调性可确定 函数
f(x)?lg(4?x)
的单调增区间是
(?2,0]
.
2
例8．求
y?log
0.7
x?3x?2
的单调区间．
2
22
2
22
2
??
22
错解：令
t?x?3x?2
，
y?log
0.7
t
，
x?
?
??,
?
时，
t?x?3x?2
为减函数，
2
?
?
3
?
?
?
3
?
x?
?
,??
?
时，
t?x
2
?3x?2
为增函数，又
y?log
0.7
t
为减函数，故以复合函数单调性
?
2
?
3
???
3
?
知原函数增区间为
?
??,
?
，减区间为
?
,??
?
．
2
???
2
?
剖析：在定义域内取
x?1
，
y
值不存在，显然上面所求 不对，根本原因正是疏忽了定
义域，单调区间必须在函数定义域内．由
x?3x?2?0
，得
x?1
或
x?2
，故增区间为
?
??,1
?
，减区间为
?
2,??
?
．
例9．指出函数
y?x?2lnx
的单调增区间．
2
2
2
，∴当
y
?
?0
时，
x?1
或
x??1< br>，∴函数
x
y?x
2
?2lnx
的单调增区间为
?< br>??,?1
?
,
?
1,??
?
．
错解：∵
y?x
2
?2lnx
，∴
y
?
?2x?
剖 析：此题错在没有考虑函数的定义域
?
0,??
?
，故本题的答案为
?
1,??
?
．
五、判断函数的奇偶性时
例10．判断
f
?
x
?
?
?
1?x
?
1?x
的 奇偶性．
1?x
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
1?x
错解：∵f
?
?x
?
?
?
1?x
?
?
1?x
?
1?x
?
2
?
1?x
?
?
?
1?x
?
1?x
1?x
?f
?
x
?< br>， ∴
f
?
x
?
1?x
为偶函数．
剖析： 事实上奇偶函数定义中隐含着一个重要条件，即首先定义域必须是关于原点的对
称区间．而此函数的定义 域为
?
?1,1
?
，不满足上述条件，即应为非奇非偶函数．

六、词语点将（据意写词）。

1．看望；访问。 （ ）
2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ）
3．竭力保持庄重。 （ ）
4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ）
5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ）

七、对号入座（选词填空）。

冷静 寂静 幽静 恬静 安静
１．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。
2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。
3．同学们（ ）地坐在教室里。
4．四周一片（ ），听不到一点声响。
5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。

八、句子工厂。

1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句）
________________ __________________________________________________ _________
2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句
子）
_____ __________________________________________________ ____________________
智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用
关联词连成一句话）
_________________________________________________ __________________________

_____________ __________________________________________________ ______________
4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。
“把”字 句：
____________________________________________ _____________________
“被”字句：
____________ __________________________________________________ ___

九、要点梳理（课文回放）。

作者用细腻的笔触、传神的 语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了
__________，__________，特别详细描 写了蒙娜丽莎的__________和__________，以
及她__________、___ _______和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大
家，蒙娜丽莎给人带来了 心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。
综合能力日日新

十、理解感悟。

（一）
蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴 角，好像有话要跟你说。在那极富
个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让 人觉得舒
畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几
分矜（ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇
智者创造机会，强者把握机会， 弱者坐等机会。

智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。
凭着他的天 才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了
永恒的美的象征。


智者创造机会，强者把握机会，弱者坐等机会。