高中数学线性规划

线性规划(1)
教学目标：
1．解线性约束条件、线性目标函数、线性规划概念；
2．在线性约束条件下求线性目标函数的最优解；
3．了解线性规划问题的图解法。
教学重点：线性规划问题。
教学难点：线性规划在实际中的应用。
教学过程：
1．复习回顾：
上一节，我们学习了二元一次不等式表示的平面区域，这一节，我们将应用这 一知识来
解决线性规划问题．所以，我们来简要回顾一下上一节知识．（略）
2．讲授新课：
例1：设
z
＝2
x
＋
y
，式中变量满足下列条件：
?
?
x
－4
y
≤－3
?
3
x＋5
y
≤25
，求
z
的最大值和最小值.
?
?
x
≥1
解：变量
x
，
y
所满足的每个不等式都 表示一个平面
区域，不等式组则表示这些平面区域的公共
区域．（如右图）．
作 一组与
l
0
：2
x
＋
y
＝0平行的直线
l
：2
x
＋
y
＝
t
.
t
∈
Ｒ
可知：当
l
在
l
0
的右上方时，直
线
l
上的点（
x
，
y
）满足2
x
＋
y
＞0，即
t
＞0，而且，直线
l
往右平移时，
t
随之增大， 在经
过不等式组①所表示的公共区域内的点且平行于
l
的直线中，以经过点
A
（５，２）的直线
l
2
所对应的
t
最大，以经过点
B
（１，１）的直线
l
1
所对应的
t
最小．所以
z
max
＝2×5＋2＝12
z
min
＝2×1＋1＝3
说明：例1目的在于给出下列线性规划的基本概念．

线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量
x
、
y的约束条件，这组约束条件都是关于
x
、
y
的
一次不等式，故又 称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于
x
、
y
的一次 式
z
＝2
x
＋
y
是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x
、
y
的解析式，叫
线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划
问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（
x
，
y
）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．

Ex：P
84
1，2，3
例2：在
x
≥0，
y< br>≥0，3
x
＋
y
≤3及2
x
＋3
y
≤6的条件下，试求
x
－
y
的最值。

3
x
＋
y
≤3
?
?
2
x
＋3
y
≤6
解：画出不等式组
?
x
≥0
?
?
y
≥0
的图形
设
x
－
y
＝
t
，则
y
＝
x
－
t

由图知直线
l
：
y
＝
x
－
t
过A（1，0）时纵截距
最小，这时
t
＝1；过B（0，2）时纵截距最大，
这时
t
＝－2. 所以，
x
－
y
的最大值为1，最小值为－2。

例3：某 工厂生产甲、乙两种产品。已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t、B种矿石5t、
煤4t；生产乙 种产品1t需耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t。每1t甲种产品的利润
是600元，每1t乙种 产品的利润是1000元。工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗
A种矿石不超过300t、B种矿石 不超过200t、煤不超过360t。甲、乙两种产品应各生产
多少（精确到0.1t），能使利润总额 达到最大？
分析：将已知数据列成下表
消 产
耗
甲产品 乙产品 资源限额
量
（1t） （1t） （t）
品
资 源
A种矿石（t） 10 4 300
B种矿石（t） 5 4 200
煤（t） 4 9 360
利润（元） 600 1000
解：设生产甲、乙两种产品分别为
x
t、
y
t，利润总额为
z
元，那么
10
x
＋4
y
≤30 0
5
x
＋4
y
≤200
4
x
＋9
y
≤360

z
＝600
x
＋1000
y

x
≥0
y
≥0
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。 < br>作直线
l
：600
x
＋1000
y
＝0，即直线l
：3
x
＋5
y
＝0
把直线
l
向右 上方平移至
l
1
的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大。此
时
z
＝600
x
＋1000
y
取最大值。
?
?
5
x
＋4
y
＝200
解方程组
?

?
4
x
＋9
y
＝360
?
360
得M的坐标为
x
＝ ≈12.4，
29
1000
y
＝ ≈34.4
29
答：应生产甲产品约12.4t，乙产
品34.4t，能使利润总额达到最大。

3．课堂练习：
?
?
?
?
?

课本P
84
1，2，3
4．课堂小结：
通过本节学习，要求大家掌握线性规划问题，并能解决简单的实际应用.
5．课后作业：
课本P
87
习题 3，4

教学后记：