高中数学线性规划知识点汇总

高中数学线性规划知识点汇总

一、知识梳理
1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。

2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。

3 整点：坐标为整数的点叫做整点。

4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，通常称为线性
规划问题。只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决 。

5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
线性规划是 一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济
管理中实际问题的专 门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源
一定和条件下，如何使用它们 来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以
最少的人力、物力、资金等资源来完成 该项任务。

1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。

2 确 定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个
不在直线上的点 ，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式
所表示的平面区域；否则 ，直线的另一端为所求的平面区域。若直线不过原点，通常选择原点代
入检验。

3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。

4 对于有实际背景的线性规划问题， 可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时
变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶 点。

5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目 是以什么
实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解。

积储知识：

一、

1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=0

2．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上 或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；
当B<0时，Ax0+ y0+C<0

3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；
当B>0时，Ax0+ y0+C>0

注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，
所得实数的符号都相同。

（2）在直线Ax+ By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+ By+C，所得实数的符号相反。

即：

1．点（P x1，y1）和Q（x2，y2）在直线Ax+By+C=0的同 侧，则有（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0

2. 点（P x1，y1） 和Q（x2，y2）在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）< br><0

二、二元一次不等式表示平面区域：

①二元一次不等式Ax+ By+C>0（或<）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有
点组成的平面区域， 不包括边界；

②二元一次不等式Ax+By+C≥0（≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C0

某一侧所有点组成的平面区域且包括边界；

注意：作图时，不包括边界画成虚线；包括边界画成实线。

三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法：

方法一：取特殊点检验：“直线定界、特殊点定域”

原因：由于对在直线Ax+By +C0的同一侧的所有点（x，y）把它的坐标系（x，y）代入Ax+By+C，
所得到的实数的符号 都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0，y0），从Ax0+By0+C
的正负即可判 Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。特殊地，当C≠0时，常把原点作为特
殊点，当C=0 时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的
区域为需画的区域， 否则是另一侧区域为需画区域。

方法二：利用规律：

1．Ax+By+C >0，当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），当B<0时表示直线
Ax+By+ C=0下方（左下或右下）；

2．Ax+By+C<0，当B>0时表示直线Ax+By+C =0下方（左下或右下）当B>0时表示直线
Ax+By+C=0上方（左上或右上）。

四、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：

②线性目标函数：

③线性规划问题：

④可行解、可行域和最优解：