高中数学课外读本-高中数学天赋
高中数学线性规划汇总
直线与线性规划
由已知条件写出约束条件,并作出可
行域,进而通过平移直线
在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型,除此之外,
还有
以下七类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围
?
x?2
?
例1、
若x、y满足约束条件
?
y?2
,则z=x+2y的取值范围是 ( )
?
x?y?2
?
A、[2,6] B、[2,5]
C、[3,6] D、(3,5]
x?y?5?0
变式训练1:已知x,y满足约束条件
x?y?0
x?3<
br>,则
z?4x?y
的最小值为______________.
变式训练2:若
?
A.[2 ,6]
?
x?2
?
y?2,x?y?2
,则目标函数 z = x + 2
y 的取值范围是 ( )
C. [3,6] D. [3,5] B.
[2,5]
二、求可行域的面积
?
2x?y?6?0
?
例2、不
等式组
?
x?y?3?0
表示的平面区域的面积为 ( )
?
y?2
?
A、4 B、1 C、5
D、无穷大
变式训练1:由
y?2及x?y?x?1
围成的几何图形的面积是多少?
变式训练2:已知
a?(0,2),
当a为何值时,直线
l
1
:ax?2y?2a?4与l
2
:2x?a
2
y?2a
2
?4
及坐标轴围
成的平面区域的面积最小?
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|+|y|≤2的点(x,y)中整点(横纵坐标都是整数)有( )
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
变式训练1:不等式
x?y?3
表示的平面区域内的整点个数为 ( )
A. 13个 B. 10个 C. 14个
D. 17个
?
2x?3y?0,
?
2x?3y?6?0,
?变式训练2:.在直角坐标系中,由不等式组
?
所确定的平面区域内整点有( )
3x?5y?15?0,
?
?
?
y?0
A.3个
B.4个 C.5个 D.6个
1 7
高中数学线性规划汇总
四、求线性目标函数中参数的取值范围
?<
br>x?y?5
?
例4、已知x、y满足以下约束条件
?
x?y?5?0<
br>,使z=x+ay(a>0)取得最小
?
x?3
?
值的最优解有无数个
,则a的值为 ( )
A、-3 B、3 C、-1
D、1
变式训练1:不等式
|2x?y?m|?3
表示的平面区域包含点
(
0,0)
和点
(?1,1),
则
m
的取值
范围是
A.
?2?m?3
( )
B.
0?m?6
C.
?3?m?6
D.
0?m?3
变式训练2:已知平面区域如右图所示,
z?mx?y(m
?0)
在平面区域内取得最大值的最优
解有无数多个,则
m
的值为(
)
A.
7
B.
?
7
C.
1
D.不存在
2
20
20
y
五、求非线性目标函数的最值
C(1,
A(5,3)
2x?y?2?0
?
?
22
例5、已知x、y满足以下约束条件
?
x?2y?4?0
,则z=x+y的最大值和
B(1,1)
?
3x?y?3?0
o
?
x
最小值分别是( )
A、13,1 B、13,2
C、13,
22
)
5
25
4
D、
13
,
5
5
?
x?y?0,
?
变式训练1:: 已知实数
x,y
满足条件
?
x?y?5?0,
若不等式
m(x
2?y
2
)?(x?y)
2
恒成立,
?
y?3?0,?
则实数
m
的最大值是 .
?
x?y?2
uuuruur
?
?
1
?
,则OM
g<
br>OA
变式训练2:设O为坐标原点,点
A
?
,1
?
,
若M
?
x,y
?
满足不等式组
?
x?1
?
4
?
?
y?2
?
的最小值是___________.
六、求约束条件中参数的取值范围
例6、已知|2x-y+m|<3表示的平面区域包含点(
0,0)和(-1,1),则
m的取值范围是 ( )
A、(-3,6)
B、(0,6) C、(0,3) D、(-3,3)
变式训练1:已知点(3
, 1)和点(-4 , 6)在直线 3x–2y + m = 0 的两侧,则
(
)
2 7
高中数学线性规划汇总
A.m<-7或m>24
B.-7<m<24 C.m=-7或m=24 D.-7≤m≤ 24
变式训练2:在
?A
BC
所包围的阴影区域内(包括边界),若有且仅有
B(4,2)
是使得
z?
ax?y
取得最大值的最优解,则实数
a
的取值范围为( )
A.
?1?a?1
C.
?1?a?1
B.
?1?a?1
D.
?1?a?1
七·比值问题
?
?
x
-
y
+2≤0,
y
例7、 已知
变量
x
,
y
满足约束条件
?
x
≥1,
则
的取值范围是( ).
x
?
?
x
+
y
-7
≤0,
99
(A)[,6]
(B)(-∞,]∪[6,+∞)
55
(C)(-∞,3]∪[6,+∞)
(D)[3,6]
变式训练1:已知x,y满足
?
为____________.
3x?2y?5
?
x?2y?5?0
,则
?
x?1,y?0
x?1
?
x?2y?3?0
?
的最大值为___________,
最小值
?
x?4y?3?0,
2x?3y?1
?
变式训练2:变量x
, y满足条件
?
3x?5y?25?0,
设z=,
则z
min
=
,
2x?1
?
x?1.
?
z
max
=
.
巩固练习题:
一、选择题,本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出
的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的.
3 7
高中数学线性规划汇总
1.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是
( )
A. a<-1或a>24 B.
a=7或a=24
C. -7<a<24
D. -24<a<7
?
2x?y?1?0,
?
2.若x,
y满足约束条件
?
x?0,
则x+2y的最大值是
( )
?
y?0.
?
A.[2,6]
B.(2,5) C.(3,6) D.(3,5)
3.满足|x|+|y|≤4的整点(横纵坐标均为整数)的点(x, y)的个数是
( )
A.16 B.17 C.40 D.41
4.不等式x-2y+6>0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的
( )
A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方
?
x?3,
?
5.不等式组
?
x?y?0,
表示的平面区域
的面积等于 ( )
?
x?y?2?0
?
A.28 B.16
C.
39
4
D.121
?
2x?3y?0,<
br>?
2x?3y?6?0,
?
6.在直角坐标系中,由不等式组
?
所确定的平面区域内整点有 ( )
3x?5y?15?0,
?
?
?
y?0
A.3个
B.4个 C.5个 D.6个
7.点P(a,
4)到直线x-2y+2=0的距离等于2
5
且在不等式3x+
y-3>0表示的平面区域内,
则点P的坐标为( )
A.(16,-4)
B.(16,4) C.(-16,4) D.(-16,-4)
4
7
高中数学线性规划汇总
22
?
?
x?y?4x
?6y?4?0,
8.在直角坐标平面上,满足不等式组
?
面积是 (
)
?
?
x?2?y?3?3
A.6π+10
B.9π-18 C.8π-10 D.18π-9
9.如图
x
2
?y
2
?0
表示的平面区域是
( )
10.已知
点(3,1)
和(-4,6)在直线3x-2y
+a=0的两侧,则a的取值范围是( )
A.a<-7或a>24
B.a=7或a=24
11.给出平面区域如图所示,其中A(5,3),B(1,1),C(1,5),若使目标函数z=a
x+y(a>0)
取得最大值的最优解有无穷多个,则
( )
A.
a的值是
13
2
B. C.2 D.
3
22
12.某电脑用户
计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒
装磁盘,根据需要,软件
至少买3片,磁盘至少买2盒,则不同的选购方式有 ( )
A.5种
B.6种 C.7种 D.8种
二、填空题,本大题共6小题,每小题4分,满分24分,把正确的答案写在题中横线上.
?
x?4y?3?0,
y
?
13.变量x,
y满足条件
?
3x?5y?25?0,
设z=, 则z
min
=
,z
max
= .
x
?
x?1.
?
14.已知集合A={(x,
y)│|x|+|y|≤1},B={(x,
y)|(y-x)(y+x)≤0},M=A∩B,则M的面积
5 7
高中数学线性规划汇总
为 .
15.设
m为平面内以A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)三点为顶点的三角形区域内(包括边界),当点(x, y)在区域m上变动时,4x-3y的最小值是 .
16
.设P(x,y)是区域|x|+|y|≤1内的动点,则函数f(x,y)=ax+y(a>0)的最大值是
.
17.下图所示的阴影区域用不等式组表示为
y
1
?
x?y?5,
?
18.若x,y满足不等式组<
br>x?y?6,
则使k=6x+8y取得最大值的点的坐标是 .
O
3
?
2
x
1
?
2
?
x?0,y?0,
2
20. (本题满分12分)
设实数x、y满足不等式组
?
?
1?x?y?4,
?
y?2?|2x?3|.
(1)作出点(x, y)所在的平面区域
(2)设a>-1,在(1)所求的区域内,求函数f(x,y)=y-ax的最大
21.
(本题满分14分)
某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力,成品合格率及日
工资
数如下表所示:
级别
Ⅰ
Ⅱ
加工能力(个人天)
240
160
成品合格率(%)
97
95.5
工资(元天)
5.6
3.6
工厂要求每天至少加工配件2400个,车
工每出一个废品,工厂要损失2元,现有Ⅰ级
车工8人,Ⅱ级车工12人,且工厂要求至少安排6名Ⅱ级
车工,试问如何安排工作,使工
厂每天支出的费用最少.
22.(本题满分14分)
某工厂要制造A种电子装置45台,B电子装置55台,为了给每台装配一个外壳,要从
两种不同的薄
钢板上截取,已知甲种薄钢板每张面积为2平方米,可作A的外壳3个和B
的外壳5个;乙种薄钢板每张
面积3平方米,可作A和B的外壳各6个,用这两种薄钢板
各多少张,才能使总的用料面积最小?
23. (本题满分14分)
6 7
高中数学线性规划汇总 <
br>私人办学是教育发展的方向,某人准备投资1200万元兴办一所完全中学,为了考虑社
会效益和
经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数据列表(以班级为单位):
市场调查表
初中
高中
班级学生数
50
40
配备教师数
2.0
2.5
硬件建设(万元)
28
58
教师年薪(万元)
1.2
1.6
根据物价部门的有关文件,初中是义务
教育阶段,收费标准适当控制,预计除书本费、
办公费以外每生每年可收取600元,高中每生每年可收
取1500元.因生源和环境等条件限制,
办学规模以20至30个班为宜,教师实行聘任制.初、高中
的教育周期均为三年,请你合理
地安排招生计划,使年利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资?
7 7
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