高中数学线性规划问题(精选.)

高中数学线性规划问题


一．选择题（共28小题）
1．（2015?马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
2．（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
3．（2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，
则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
4．（2015?福建）变量x，y满足约束条件，若 z=2x﹣y的最大值为2，则实
数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
6．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
7．（2014?安徽）x、y满足约束条件，若z=y ﹣ax取得最大值的最优解不唯
一，则实数a的值为（ ）
word.

A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
8．（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
9．（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．16
10．（2015?广东）若变量x，y满足约束条件
A．4 B． C．6 D．
，则z=3x+2y的最小值为（ ）
11．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．1
12．（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
13．（2015?开封模拟）设变量x、y满足约束条件 ，则目标函数z=x
2
+y
2
的取值
范围为（ ）
A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D．
14．（2016?荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．
word.

15．（2015?鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是
（ ）
A．[1，] B．[，1] C．[1，2] D．[，2]
16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（ ）
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[﹣，] D．[﹣，]
17．（2016?杭州模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的
值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0
18．（2016?福州模拟）若实数x，y 满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值
为2，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
，则（x﹣2）
2
+y
2
的最小值为19 ．（2016?黔东南州模拟）变量x、y满足条件
（ ）
A． B． C． D．5 < br>，过点P的直线与圆x
2
+y
2
=14相20．（2016?赤峰模拟 ）已知点
交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4 < br>21．（2016?九江一模）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的
最大值为 6，最小值为0，则实数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
word.

22．（2016?三亚校级模拟）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z =2x+y的
最小值为，则a=（ ）
A． B． C．1 D．2
23．（2 016?洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值
为2，则实数a的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
24．（2016?太原二模）设x，y满足不等 式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，
最小值为a+1，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
，则z=2
x
+4
y
的最小值是（ ） 25．（2016?江门模拟）设实数x，y满足：
A． B． C．1 D．8
26．（2 016?漳州二模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差
为7，则实数m=（ ）
A． B． C． D．
27．（2016?河南模拟）已知O为坐标原点，A，B两点 的坐标均满足不等式组，
设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为（ ）
B． C． D． A．
28．（2016?云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（ ）
word.

A．﹣2 B．3 C．7 D．12

二．填空题（共2小题）
29．（2016?郴州二模）记不等式组所表示的平面区域为D． 若直线y=a（x+1）
与D有公共点，则a的取值范围是 ．
30．（2015?河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．

word.

高中数学线性规划问题

参考答案与试题解析


一．选择题（共28小题）
1．（2015?马鞍山一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域， 求出平面区域的各角点，然后
将角点坐标代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小 值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选D．

【点评】用 图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是
关键，可先将题目中的量 分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约
束条件，并就题目所述找出目标函数． 然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可
得到目标函数的最优解．

2．（2015?山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 的几何意义，利用数形结合确定z
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
word.

此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标 函数的几何意义，利用数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决 本题的关键．

3．（2015?重庆）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，
则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各 顶点的坐标，利用三角形的面积公式
进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由，得，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由，解得，即B（1﹣m，1+m），
word.

由，解得，即C（，）．
则三角形ABC的面积S
△ABC
=S
△ ADB
﹣S
△ADC

=|AD||y
B
﹣y
C
|
=（2+2m）（1+m﹣
=（1+m）（1+m﹣
即（1+m）×=，
）
）=，
即（1+m）
2
=4
解得m=1或m=﹣3（舍），
故选：B

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标， 结合三角形的面积
公式是解决本题的关键．

4．（2015?福建）变量x，y 满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实
数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，
联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
word.

联立，解得A（），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为
，
解得：m=1．
故选：C．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z 在y轴的截距的最大值．
【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，
当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
故选：A．
word.
）

【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分 析目标函数取最值时与平面区域的关
系是关键．

6．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的 几何意义，利用数形结合确定z
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由，解得，即C（5，2）
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．

word.

【点评】本题主要考 查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法．

7．（2014?安徽）x、y满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯< br>一，则实数a的值为（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
【 分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率
的变化，从 而求出a的取值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合 数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定 义．

8．（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
word.

【分析】作 出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，
即可求出z取得最大 值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z
最大值
=0+2×1=2．
故选：D．

【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次
不等式组表示的平 面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

9．（2015?四川）设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．16
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；
由图象知y≤10﹣2x，
则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（
当且仅当x=，y=5时，取等号，
经检验（，5）在可行域内，
故xy的最大值为
故选：A
，
）
2
=，
word.

【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

10．（2015?广东）若变量x，y满足约束条件
A．4 B． C．6 D．
，则z=3x+2y的最小值为（ ）
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=
故选：B．
，
word.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关
键．

11．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．1
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣
平移直线y=﹣
，
，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距
最大，此时z最大．
由，得，
即A（3，2），
此时z的最大值为z=3+2×2=7，
故选：B．

word.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

12．（2014?北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0 时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取
得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x 轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的
左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束 条件作出可行域，化目标函数为直
线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代 入目标函数得答案．
【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0 与x轴的交点在x+y
﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，

由kx﹣y+2=0，得x=
∴B（﹣）．
，
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣
此时，解得：k=﹣．
）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
故选：D．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

，则目标函数z=x
2
+y
2
的取值13．（2015?开封模拟）设变量 x、y满足约束条件
范围为（ ）
word.

A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
则z=x
2
+y
2的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，
则当动点P位于A时，OA的距离最大，
当直线x+y=2与圆x
2
+y
2
=z相切时，距离最小，
即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d
2
=2，
由，解得，即A（3，2），
此时z=x
2
+y
2
=3< br>2
+2
2
=9+4=13，
即z的最大值为13，
即2≤z≤13，
故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利 用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法．

14．（2016?荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最 值，z=2x+y表示直线在y轴上
的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：作图
易知可行域为一个三角形，
当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，
故选A．
word.

【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性 规划，以及利用几何意义
求最值，属于基础题．

15．（2015?鄂州三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值范围是
（ ）
A．[1，] B．[，1] C．[1，2] D．[，2]
【分析】先根据已知中，变量 x，y满足约束条件，画出满足约束条件的可
行域，进而分析s=的几何意义，我们结合图象，利用角点 法，即可求出答案．
【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：
根据题意，s=可以看作是可行域中的一点与点（﹣1，﹣1）连线的斜率，
取最小值 由图 分析易得：当x=1，y=O时，其斜率最小，即s=
当x=0，y=1时，其斜率最大，即s=
故s=
故选D
的取值范围是[，2]
取最大值2
word.

【点评】本题考查的知识点是简单线性规划，其中解答的关键是画 出满足约束条件的可行域，
“角点法”是解答此类问题的常用方法．

16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值范围是（ ）
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[﹣，] D．[﹣，
，其中k=
]
【 分析】化简得u=3+表示P（x，y）、Q（﹣1，3）两点连线的斜率．画
出如图可行域，得到如图 所示的△ABC及其内部的区域，运动点P得到PQ斜率的最大、
最小值，即可得到u=
【解答 】解：∵u=
∴u=3+k，而k=
的值范围．
=3+，
表示直线P、Q连线的斜率，
其中P（x，y），Q（﹣1，3）．
作出不等式组表示的平面区域，
得到如图所示的△ABC及其内部的区域
其中A（1，2），B（4，2），C（3，1）
设P（x，y）为区域内的动点，运动点P，
可得当P与A点重合时，k
PQ
=﹣达到最小值；当P与B点重合时，k
PQ
=﹣达到最大值
∴u=3+k的最大值为﹣+3=
因此，u=
故选：A
；最小值为﹣+3=
] 的值范围是[，
word.

【点评】本题 给出二元一次不等式组，求u=的取值范围．着重考查了直线的斜率公式、
二元一次不等式组表示的平面 区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．

17．（2016?杭州模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的
值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0
【分析】由于直线y=kx+2在y轴上的截 距为2，即可作出不等式组表示的平面区域三角形；
再由三角形面积公式解之即可．
【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图，
解得点B的坐标为（2，2k+2），
所以S
△ABC
=（2k+2）×2=4，
解得k=1．
故选A．

【点评】本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的作法．

18．（2016?福州模拟）若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值
为2 ，则实数a的值是（ ）
word.

A．﹣2 B．0 C．1 D．2
【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2， 确定约束
条件中a的值即可．
【解答】解：画出约束条件表示的可行域
由?A（2，0）是最优解，
直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），
所以a=2，
故选D

【点评】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
< br>，则（x﹣2）
2
+y
2
的最小值为19．（2016?黔东南州模拟 ）变量x、y满足条件
（ ）
A． B． C． D．5
【分析】作出不等式组 对应的平面区域，设z=（x﹣2）
2
+y
2
，利用距离公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，
设z=（x﹣2）
2
+y2
，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，
由图象知CD的距离最小，此时z最小．
由得，即C（0，1），
此时z=（x﹣2）
2
+y
2
=4+1=5，
故选：D．
word.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结 合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，
利用数形结合是解决此类问题的基本方法．

20．（2016?赤峰模拟）已知点
交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的 可行域，再求出
，过点P的直线与圆x
2
+y
2
=14相
可 行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得直线过在（1，3）
处取得最小值 ．
【解答】解：约束条件 的可行域如下图示：
画图得出P点的坐标（x，y）就是三条直线x+y=4，y﹣x=0和x=1构成的三角形区域，
三个交点分别为（2，2），（1，3），（1，1），
因为圆c：x
2
+y
2
=14的半径r=，得三个交点都在圆内，
故过P点的直线l与圆相交的线段AB长度最短，
就是过三角形区域内距离原点最远的点的弦的长度
．三角形区域内距离原点最远的点就是（1，3），
可用圆d：x
2
+y
2
=10与直线x=y的交点为（，）验证，
过点（1，3）作垂直于直线y=3x的弦，
国灰r
2
=14，故|AB|=2
所以线段AB的最小值为4．
故选：D
=4，
word.

【点 评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可
行域?②求出可行 域各个角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优
解．

21． （2016?九江一模）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的
最大值为6，最小值为 0，则实数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k．
【解答】解：作出其平面区域如右图：
A（1，2），B（1，﹣1），C（3，0），
∵目标函数z=kx﹣y的最小值为0，
∴目标函数z=kx﹣y的最小值可能在A或B时取得；
∴①若在A上取得，则k﹣2=0，则k=2，此时，
z=2x﹣y在C点有最大值，z=2×3﹣0=6，成立；
②若在B上取得，则k+1=0，则k=﹣1，
此时，z=﹣x﹣y，在B点取得的应是最大值，
故不成立，
故选B．
word.

【点评】本题考查了简单线性规划的应用，要注意分类讨论，属于基础题．

22 ．（2016?三亚校级模拟）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的
最小值为，则a= （ ）
A． B． C．1 D．2
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划 的知识，通过平移即先确定z的最优解，
然后确定a的值即可．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2 x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，
此时z最小．
由，解得，
即A（1，），
∵点A也在直线y=a（x﹣3）上，
∴，
word.

解得a=．
故选：A．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

23．（2016?洛阳二模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值
为2， 则实数a的值为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】先作出不等式组
坐标，代入3x﹣y﹣a=0即可．
【解答】解：先作出不等式组
∵目标函数z=x+y的最大值为2，
∴z=x+y=2，作出直线x+y=2，
由图象知x+y=2如平面区域相交A，
由得，即A（1，1），
的图象如图，
的图象，利用目标函数z=x+y的最大值 为2，求出交点
同时A（1，1）也在直线3x﹣y﹣a=0上，
∴3﹣1﹣a=0，
则a=2，
故选：A．
word.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关
键．

24．（2016?太原二模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+ 4，
最小值为a+1，则实数a的取值范围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何 意义，利用数形结合进行求解
即可．
【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y =﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直
线，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则A（1，1），B（2，4），
∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，
∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，
经过点A时取得最小值为a+1，
若a=0，则y=z，此时满足条件，
若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≥k
BC
=﹣1，
即0＜a≤1，
若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，
要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，
则目标函数的斜率满足﹣a≤k
AC
=2，
即﹣2≤a＜0，
综上﹣2≤a≤1，
故选：B．
word.

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注
意 要进行分类讨论．

，则z=2
x
+4
y
的最小值是（ ） 25．（2016?江门模拟）设实数x，y满足：
A． B． C．1 D．8
【分析 】先根据约束条件画出可行域，设t=x+2y，把可行域内的角点代入目标函数t=x+2y
可求t的 最小值，由z=2
x
+4
y
=2
x
+2
2y
【解答】解：z=2
x
+4
y
=2
x
+2
2y< br>先根据约束条件画出可行域，如图所示
设z=2x+3y，将最大值转化为y轴上的截距，
由可得A（﹣2，﹣1）
，可求z的最小值
，令t=x+2y
由可得C（﹣2，3）
由B（4，﹣3）
把A，B，C的坐标代入分别可求t=﹣4，t=4，t=﹣2
Z的最小值为
故选B
word.

【点评】本题主要考查了 用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的
思想，属中档题．
26．（2016?漳州二模）设x，y满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差
为7 ，则实数m=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由约束条件画出可行域，化目标函 数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，
联立方程组求得最优解的坐标，进一步求出最值，结合最 大值与最小值的差为7求得实数m
的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
联立，解得B（m﹣1，m），
化z=x+3y，得
由图可知，当直线
当直线
．
过A时，z有最大值为7，
过B时，z有最大值为4m﹣1，
由题意，7﹣（4m﹣1）=7，解得：m=．
word.

故选：C．

【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

27．（2016?河南模拟）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，
设与的夹角为 θ，则tanθ的最大值为（ ）
B． C． D． A．
【分析】作出不等式组对应的 平面区域，利用数形结合求出A，B的位置，利用向量的数量
积求出夹角的余弦，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使tanθ最大，
则由，得，即A（1，2），
由，得，即B（2，1），
∴此时夹角θ最大，
则，
则cosθ=
∴sin
此时tan
故选：C．
，
=，
=，
word.

【点评】本 题主要考查线性规划的应用，以及向量的数量积运算，利用数形结合是解决本题
的关键．

28．（2016?云南一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（ ）
A．﹣2 B．3 C．7 D．12
【分析】先由约束条件画出可行域，再求出可行域各个 角点的坐标，将坐标逐一代入目标函
数，验证即得答案．
【解答】解：如图即为满足不等式组的可行域，
将交点分别求得为（1，1），（5，2），（1，
当x=1，y=1时，2x+y=3
当x=1，y=时，2x+y=
）
当x=5，y=2时，2x+y=12
∴当x=1，y=1时，2x+y有最小值3．
故选：B
word.

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单 的转化思想和数形结合的
思想，属中档题．

二．填空题（共2小题）
29．（2016?郴州二模）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）
与D有公共 点，则a的取值范围是 [，4] ．
【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用，我们要先画出满足约束条件
的平面区域 ，然后分析平面区域里各个角点，然后将其代入y=a（x+1）中，求
出y=a（x+1）对应的a的 端点值即可．
【解答】解：满足约束条件 的平面区域如图示：
因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．
所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，
当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．
又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．
所以≤a≤4．
故答案为：[，4]
word.

【点评】在 解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可
行域?②求出可行域各个 角点的坐标?③将坐标逐一代入目标函数?④验证，求出最优
解．

30．（2015?河北）若x，y满足约束条件．则的最大值为 3 ．
【分析】作出不等 式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的
最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，
由图象知OA的斜率最大，
由，解得，即A（1，3），
则k
OA
==3，
即的最大值为3．
故答案为：3．

【点评】本题主要考查线性规划的应 用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数
形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．

word.

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word.