高中数学线性规划问题

高中数学线性规划问题


一．选择题（共28小题）
1．（2015?马一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
2．（2015?）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
3．（2015?）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
4．（2015?）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
5．（2015?）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
6．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
7．（2014?）x、y满足约束条件，若z=y﹣a x取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
8．（2015?）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
9．（2015?）设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．16
10．（2015?）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
11．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．1
12．（2014?）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
13．（2015?模拟）设变量x、y满足约束条件，则 目标函数z=x
2
+y
2
的取值围为（ ）
A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D．
14．（2016?荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．
15．（2015?三模）设变量x，y满足约束条件，则s=的取值围是（ ）
A．[1，] B．[，1] C．[1，2] D．[，2]
16．（2015?会宁县校级模拟）已知变量x，y满足，则u=的值围是（ ）
A．[，] B．[﹣，﹣] C．[﹣，] D．[﹣，]
17．（2016?模拟）已知不等式组所表示的平面区域的面积为4，则k的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．0
18．（2016?模拟）若实数x，y满足不等 式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值
是（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．2
19．（2016?黔东南州模拟）变量x、y满足条件，则（x﹣2）
2< br>+y
2
的最小值为（ ）

A． B． C． D．5 20．（2016?模拟）已知点，过点P的直线与圆x
2
+y
2
=14 相交于A，B两点，则|AB|的最小
值为（ ）
A．2 B． C． D．4
21．（2016?一模）如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kx﹣y的最大值为6，最小值
为0，则实数k的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．（2016?校级 模拟）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为，则a=（ ）
A． B． C．1 D．2
23．（2016?二模）若x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为 2，则实数a的值
为（ ）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
24．（20 16?二模）设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实
数a 的取值围为（ ）
A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣3，﹣2] D．[﹣3，1]
25．（2016?江门模拟）设实数x，y满足：，则z=2
x
+4
y的最小值是（ ）
A． B． C．1 D．8
26．（2016?二模）设x，y 满足约束条件，若z=x+3y的最大值与最小值的差为7，则实数
m=（ ）
A． B． C． D．
27．（2016?模拟）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的 夹角为θ，
则tanθ的最大值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2016?一模）已知变量x、y满足条件，则z=2x+y的最小值为（ ）
A．﹣2 B．3 C．7 D．12

二．填空题（共2小题）
29 ．（2016?二模）记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，
则a 的取值围是 ．
30．（2015?）若x，y满足约束条件．则的最大值为 ．

高中数学线性规划问题

参考答案与试题解析


一．选择题（共28小题）
1．（2015?马一模）设变量x，y满足约束条件：，则z=x﹣3y的最小值（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【分析】我们先画出满足约束条件：的平面区域， 求出平面区域的各角点，然后将角点坐标
代入目标函数，比较后，即可得到目标函数z=x﹣3y的最小 值．
【解答】解：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，
由图可知目标函数在点（﹣2，2）取最小值﹣8
故选D．

【点评】用 图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是
关键，可先将题目中的量 分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约
束条件，并就题目所述找出目标函数． 然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可
得到目标函数的最优解．

2．（2015?）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 的几何意义，利用数形结合确定z
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B

【点评】本题主要考查线性规划的 应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的 斜率关系是解决本题的关键．

3．（2015?）若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C． D．3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点 的坐标，利用三角形的面积公式
进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
若表示的平面区域为三角形，
由，得，即A（2，0），
则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，
即2+2m＞0，
则m＞﹣1，
则A（2，0），D（﹣2m，0），
由，解得，即B（1﹣m，1+m），
由，解得，即C（，）．
则三角形ABC的 面积S
△ABC
=S
△ADB
﹣S
△ADC

=|AD||y
B
﹣y
C
|
=（2+2m）（1+m﹣）
=（1+m）（1+m﹣）=，
即（1+m）×=，
即（1+m）
2
=4
解得m=1或m=﹣3（舍），
故选：B

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合 三角形的面积
公式是解决本题的关键．

4．（2015?）变量x，y满足约束条件，若z=2x﹣y的最大值为2，则实数m等于（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方 程的斜截式，数形结合得到最优解，
联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得m的值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，

联立，解得A（），
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，
由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为，
解得：m=1．
故选：C．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

5．（2015?）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1
【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．
【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，
当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；
故选：A．

【 点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关
系是关键．

6．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（ ）
A．10 B．8 C．3 D．2
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函 数的几何意义，利用数形结合确定z
的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=2x﹣y得y=2x﹣z，
平移直线y=2x﹣z，
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，
此时z最大．
由，解得，即C（5，2）
代入目标函数z=2x﹣y，
得z=2×5﹣2=8．
故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利 用数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法．

7．（2014?）x、y 满足约束条件，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为
（ ）

A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
【分析】作出不等式组对 应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率
的变化，从而求出a的取值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合 数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论，同时需要弄清楚最优解的定 义．

8．（2015?）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z =x+2y对应的直线进行平移，
即可求出z取得最大值．
【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z
最大值
=0+2×1=2．
故选：D．

【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次
不等式组表示的平 面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．

9．（2015?）设实数x，y满足，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．12 D．16
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；

由图象知y≤10﹣2x，
则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）
2
=，
当且仅当x=，y=5时，取等号，
经检验（，5）在可行域，
故xy的最大值为，
故选：A

【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．

10．（2015?）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（ ）
A．4 B． C．6 D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．
【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：
由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，
则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，
此时z最小，
由，解得，即A（1，），
此时z=3×1+2×=，
故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关
键．

11．（2014?新课标II）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（ ）
A．8 B．7 C．2 D．1
【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．
【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=﹣，
平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．
由，得，
即A（3，2），
此时z的最大值为z=3+2×2=7，
故选：B．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

12．（2014?）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0 时，可行域没有使目标函数z=y﹣x取得
最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴 的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左
边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条 件作出可行域，化目标函数为直线
方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入 目标函数得答案．
【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与 x轴的交点在x+y
﹣2=0与x轴的交点的右边，
故由约束条件作出可行域如图，

由kx﹣y+2=0，得x=，
∴B（﹣）．
由z=y﹣x得y=x+z．
由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．
此时，解得：k=﹣．
故选：D．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

13．（2015?模拟）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x
2
+y
2
的取值围为（ ）
A．[2，8] B．[4，13] C．[2，13] D．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可得到结论．．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域，
则z=x
2
+y
2
的几何意义为动点P（x，y）到原点的距离的平方，
则当动点P位于A时，OA的距离最大，
当直线x+y=2与圆x
2
+y
2
=z相切时，距离最小，
即原点到直线x+y=2的距离d=，即z的最小值为z=d
2
=2，
由，解得，即A（3，2），
此时z=x
2
+y
2
=3< br>2
+2
2
=9+4=13，
即z的最大值为13，
即2≤z≤13，
故选：C

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利 用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法．

14．（2016?荆州一模）已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．1 D．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最 值，z=2x+y表示直线在y轴上
的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．
【解答】解：作图
易知可行域为一个三角形，
当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，
故选A．