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高中数学线性规划问题汇编

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 01:00
tags:高中数学线性规划

点金训练高中数学必修1答案-读普通高中数学课程标准感受

2020年10月7日发(作者:秦玉琴)


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高中数学线性规划问题


一.选择题(共28小题)
1.(2015?马鞍山一模)设变量x,y满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值( )
A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8
2.(2015?山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3
3.(2015?重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,
则m的值为( )
A.﹣3 B.1 C. D.3
4.(2015?福建)变量x,y满足约束条件,若 z=2x﹣y的最大值为2,则实
数m等于( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
5.(2015?安徽)已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1
6.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为( )
A.10 B.8 C.3 D.2
7.(2014?安徽)x、y满足约束条件,若z=y ﹣ax取得最大值的最优解不唯
一,则实数a的值为( )
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A.或﹣1 B.2或 C.2或1 D.2或﹣1
8.(2015?北京)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.2
9.(2015?四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为( )
A. B. C.12 D.16
10.(2015?广东)若变量x,y满足约束条件
A.4 B. C.6 D.
,则z=3x+2y的最小值为( )
11.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为( )
A.8 B.7 C.2 D.1
12.(2014?北京)若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为( )
A.2 B.﹣2 C. D.﹣
13.(2015?开封模拟)设变量x、y满足约束条件 ,则目标函数z=x+y的取值
22
范围为( )
A.[2,8] B.[4,13] C.[2,13] D.
14.(2016?荆州一模)已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )
A.3 B.﹣3 C.1 D.
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15.(2015?鄂州三模)设变量x,y满足约束条件,则s=的取值范围是
( )
A.[1,] B.[,1] C.[1,2] D.[,2]
16.(2015?会宁县校级模拟)已知变量x,y满足,则u=的值范围是( )
A.[,] B.[﹣,﹣] C.[﹣,] D.[﹣,]
17.(2016?杭州模拟)已知不等式组所表示的平面区域的面积为4,则k的
值为( )
A.1 B.﹣3 C.1或﹣3 D.0
18.(2016?福州模拟)若实数x,y 满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值
为2,则实数a的值是( )
A.﹣2 B.0 C.1 D.2
22
19.(2016?黔东南州模拟)变量x、y满足条件,则( x﹣2)+y的最小值为
( )
A. B. C. D.5
22
20.(2016?赤峰模拟)已知点
交于A,B两点,则|AB|的最小值为( )
A.2 B. C. D.4
,过点P的直线与圆x+y=14相
21.(20 16?九江一模)如果实数x,y满足不等式组,目标函数z=kx﹣y的
最大值为6,最小值为0,则 实数k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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22.(2016?三亚校级模拟)已知a>0,x, y满足约束条件,若z=2x+y的
最小值为,则a=( )
A. B. C.1 D.2
23.(2016?洛阳二模)若x,y满足约束条件,则目标函数z=x+y的最大值
为2, 则实数a的值为( )
A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2
24.(2016?太原二 模)设x,y满足不等式组,若z=ax+y的最大值为2a+4,
最小值为a+1,则实数a的取值范 围为( )
A.[﹣1,2] B.[﹣2,1] C.[﹣3,﹣2] D.[﹣3,1]
xy
25.(2016?江门模拟)设实数x,y满足:,则z=2+4的最小值是( )
A. B. C.1 D.8
26.(2016?漳州二模)设x,y满足约束条件,若z= x+3y的最大值与最小值的差
为7,则实数m=( )
A. B. C. D.
27.(2016?河南模拟)已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组,
设与的夹角为 θ,则tanθ的最大值为( )
B. C. D. A.
28.(2016?云南一模)已知变量x、y满足条件,则z=2x+y的最小值为( )
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A.﹣2 B.3 C.7 D.12

二.填空题(共2小题)
29.(2016?郴州二模)记不等式组 所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)
与D有公共点,则a的取值范围是 .
30.(2015?河北)若x,y满足约束条件.则的最大值为 .

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高中数学线性规划问题

参考答案与试题解析


一.选择题(共28小题)
1.(2015?马鞍山一模)设变量x,y满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值( )
A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8
【分析】我们先画出满足约束条件:的平面区域, 求出平面区域的各角点,然后
将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=x﹣3y的最小 值.
【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,
由图可知目标函数在点(﹣2,2)取最小值﹣8
故选D.

【点评】用 图解法解决线性规划问题时,分析题目的已知条件,找出约束条件和目标函数是
关键,可先将题目中的量 分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组(方程组)寻求约
束条件,并就题目所述找出目标函数. 然后将可行域各角点的值一一代入,最后比较,即可
得到目标函数的最优解.

2.(2015?山东)已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3 B.2 C.﹣2 D.﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 的几何意义,利用数形结合确定z
的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分).
则A(2,0),B(1,1),
若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,
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此时,目标函数为z=2x+y,
即y=﹣2x+z,
平移直线y=﹣2x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,
若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,
此时,目标函数为z=3x+y,
即y=﹣3x+z,
平移直线y=﹣3x+z,当直线经过A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,
故a=2,
故选:B

【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标 函数的几何意义,利用数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决 本题的关键.

3.(2015?重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,
则m的值为( )
A.﹣3 B.1 C. D.3
【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各 顶点的坐标,利用三角形的面积公式
进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
若表示的平面区域为三角形,
由,得,即A(2,0),
则A(2,0)在直线x﹣y+2m=0的下方,
即2+2m>0,
则m>﹣1,
则A(2,0),D(﹣2m,0),
由,解得,即B(1﹣m,1+m),
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由,解得,即C(,).
则三角形ABC的面积S
△ABC=S
△ADB
﹣S
△ADC

=|AD||y
B
﹣y
C
|
=(2+2m)(1+m﹣< br>=(1+m)(1+m﹣
即(1+m)×
2

)=,
=,
即(1+m)=4
解得m=1或m=﹣3(舍),
故选:B

【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算,求出交点坐标,结合三角形的面积
公式是解决本 题的关键.

4.(2015?福建)变量x,y满足约束条件,若z=2x﹣y的最大值 为2,则实
数m等于( )
A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
【分析】由约 束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,
联立方程组求得最优解的坐 标,代入目标函数求得m的值.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
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联立,解得A(),
化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z,
由图可知,当直线过A时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为

解得:m=1.
故选:C.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

5.(2015?安徽)已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是(
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣5 D.1
【分析】首先画出平面区域,z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z 在y轴的截距的最大值.
【解答】解:由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,
当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A(1,1),
所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1;
故选:A.
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【点评】本题考查了简单线性规 划,画出平面区域,分析目标函数取最值时与平面区域的关
系是关键.

6.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为( )
A.10 B.8 C.3 D.2
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的 几何意义,利用数形结合确定z
的最大值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).
由z=2x﹣y得y=2x﹣z,
平移直线y=2x﹣z,
由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,
此时z最大.
由,解得,即C(5,2)
代入目标函数z=2x﹣y,
得z=2×5﹣2=8.
故选:B.

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学习-----好资料 【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思
想是解决 此类问题的基本方法.

7.(2014?安徽)x、y满足约束条件,若z=y﹣ax取 得最大值的最优解不唯
一,则实数a的值为( )
A.或﹣1 B.2或 C.2或1 D.2或﹣1
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线y=ax+ z斜率
的变化,从而求出a的取值.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).
由z=y﹣ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.
若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,
若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行,此时a=2,
若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0,平行,此时a=﹣1,
综上a=﹣1或a=2,
故选:D

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合 数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法.注意要对a进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定 义.

8.(2015?北京)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.2
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【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移,
即可求出z取得最大值.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
当l经过点B时,目标函数z达到最大值
∴z
最大值
=0+2×1=2.
故选:D.

【点评】本题给出二元一次不等式组,求目标函数z=x+2y的最大 值,着重考查了二元一次
不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

9.(2015?四川)设实数x,y满足,则xy的最大值为( )
A. B. C.12 D.16
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用基本不等式进行求解即可.
【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图;
由图象知y≤10﹣2x,
则xy≤x(10﹣2x)=2x(5﹣x))≤2(
当且仅当x=,y=5时,取等号,
经检验(,5)在可行域内,
故xy的最大值为
故选:A

)=
2

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【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用,利用数形结合是解决本题的关键.

10.(2015?广东)若变量x,y满足约束条件
A.4 B. C.6 D.
,则z=3x+2y的最小值为( )
【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.
【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,
则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,
此时z最小,
由,解得,即A(1,),
此时z=3×1+2×=
故选:B.

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,根据z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关
键.

11.(2014?新课标II)设x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值为( )
A.8 B.7 C.2 D.1
【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值.
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=﹣
平移直线y=﹣

,由图象可知当直线y=﹣经过点A时,直线y=﹣的截距
最大,此时z最大.
由,得,
即A(3,2),
此时z的最大值为z=3+2×2=7,
故选:B.

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【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

12.(2014?北京)若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为( )
A.2 B.﹣2 C. D.﹣
【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0 时,可行域内没有使目标函数z=y﹣x取
得最小值的最优解,k<0时,若直线kx﹣y+2=0与x 轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的
左边,z=y﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束 条件作出可行域,化目标函数为直
线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代 入目标函数得答案.
【解答】解:对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知直线kx﹣y+2=0 与x轴的交点在x+y
﹣2=0与x轴的交点的右边,
故由约束条件作出可行域如图,

由kx﹣y+2=0,得x=
∴B(﹣).

由z=y﹣x得y=x+z.
由图可知,当直线y=x+z过B(﹣
此时,解得:k=﹣.
)时直线在y轴上的截距最小,即z最小.
故选:D.
【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.

22
13.(2015?开封模拟)设变量x、y满足约束条件,则目标函数z=x+y的取值
范围为( )
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A.[2,8] B.[4,13] C.[2,13] D.
【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,即可得到结论..
【解答】解:作出不等式对应的平面区域,
22
则z=x+y的几何意义为动点P(x,y)到原点的距离的平方,
则当动点P位于A时,OA的距离最大,
当直线x+y=2与圆x+y=z相切时,距离最小,
即原点到直线x+y=2的距离d=,即z的最小值为z=d=2,
2
22

2
,解得
222
,即A(3,2),
此时z=x+y=3+2=9+4=13,
即z的最大值为13,
即2≤z≤13,
故选:C

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利 用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思
想是解决此类问题的基本方法.

14.(2016?荆州一模)已知x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )
A.3 B.﹣3 C.1 D.
【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最 值,z=2x+y表示直线在y轴上
的截距,只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.
【解答】解:作图
易知可行域为一个三角形,
当直线z=2x+y过点A(2,﹣1)时,z最大是3,
故选A.
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