高中数学线性规划各类习题

线性规划

基础知识：

一、知识梳理

1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目
标函数．

2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.

3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．

4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的 最大值或最小值的问题，
通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解< br>决．

5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．

二：积储知识：

一． 1.点P(x
0
,y
0
)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax
0
+By
0
+ C=0

2. 点P(x
0
,y
0
)在直线Ax+By+ C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax
0
+By
0
+C>0;当< br>B<0时，Ax
0
+By
0
+C<0

3. 点P (x
0
,y
0
)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时 ，Ax
0
+By
0
+C<0;当B<0
时，Ax
0
+By
0
+C>0

注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有 点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的
符号都相同,

（2 ）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号
相反,

即：1.点P(x
1
,y
1
)和点Q(x
2,y
2
)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax
1
+By
1
+C）( Ax
2
+By
2
+C)>0

2.点P(x
1< br>,y
1
)和点Q(x
2
,y
2
)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax
1
+By
1
+C）( Ax
2
+By
2
+C)<0

二.二元一次不等式表示平面区域:

①二元一次不等式Ax+By +C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧
所有点组成的平面区域. 不包括边界;
．

②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标 系中表示直线Ax+By+C=0某一
侧所有点组成的平面区域且包括边界;

注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.

三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域

原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x,y)代入
Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某 一侧取一个特殊点(x
0
,y
0
),
从Ax
0
+B y
0
+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0< br>时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代
入适 合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。


例题：

1.
如图1所示，已知
?ABC
中的三顶点< br>A(2,4),B(?1,2),C(1,0)
，点
P(x,y)
在
? ABC
内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题：若目标函数是
z?
你知道其几何意 义吗？你能否借助其几何意义求得
z
min
和
z
max
？< br>

y?12y?3
或
z?
，
xx?1
(? 1,2)
y

(2,4)

2.
如图1所示，已知
?ABC
中的三顶点
A(2,4),B(?1,2),C(1,0)
，


点
P(x,y)
在
?ABC
内部及边界运动，请你探究并 讨论以下问题：

①
z?x?y
在 处有最大值 ，在 处有最小值 ；

②
z?x?y
在 处有最大值 ，在 处有最小值





(1,0)
x
?
2x?y?12?0，
3.
若
x
、
y
满足条件
?
求
z?x?2y
的最大值和最小值

?
3x?2y?10?0，
?
x?4y?10?0.
?

?
x?y?2≤0，
y
z?
4. 设实数
x
，则的最大值是__________．
，y
满足
??
x?2y?4≥0，
x
?
2y?3≤0，
?

5. 已知
x?y?5?0
，
x?y?10?0
．求
x?y
的最大、最小值

22
?
x?y?2≥0，
?
22
6. 已知
?
x?y?4≥0，
求
z?x?y?10y?25
的最小值
?
2x?y?5≤0，
?

7. 给出平面区域如右图所示，若使目标函数
z=ax+y (a > 0 )
取得最大值的最优解有无穷
多个，则
a
的值为（ ）
y

A.
135
B. D.
453
C(1,225)

?
y?2
?
?
x?y?4
?
x?y?1
?
B(1,1)
A(5,2)o
x
8.已知变量
x,y
满足约束条件，则
z?3x?y
的最大值为
( )

?
x-y?10
?
?0?x+y?20
?
0?y?15
x,y
9.设变量满足
?，则
2x+3y
的最大值为

A．20 B．35 C．45 D．55

?
x?y?1?0
?
?
?
x?y?3?0
?
?
x?3y?3?0
，则
z?3x? y
的最小值10.若
x,y
满足约束条件
?
为 。

?
lnx,x?0
f(x)?
?
?
?2x? 1,x?0
，
D
是由
x
轴和曲线
y?f(x)
及该 曲线在点
(1,0)
11.设函数
处的切线所围成的封闭区域，则
z?x?2 y
在
D
上的最大值为 ．

12.某公司生产甲、乙两种桶装产品. 已知生产甲产品1桶需耗
A
原料1千克、< br>B
原料2千克；生产乙产品1桶需耗
A
原料2千克，
B
原料1 千克. 每桶甲产品的
利润是300元，每桶乙产品的利润是400元. 公司在生产这两种产品的计划 中，
要求每天消耗
A
、
B
原料都不超过12千克. 通过合理安排生产计划，从每天生
产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）

A、1800元 B、2400元 C、2800元 D、3100
元

?
x?0
?
?
x?2y?3
?
2x?y?3
x,y
13.若满足约 束条件：
?
；则
x?y
的取值范围为
_____
.

?
x,y?0
?
?
x?y??1
?
x? y?3
x,y
14．设满足约束条件：
?
；则
z?x?2y
的取值范围为 .

?
x?1
?
?
x-2y +3?0
?
y?x
???
15.设不等式组
?
所表示的平面 区域是
1
,平面区域是
2
与
1
关于直线
3x?4y ?9?0
对称,对于
?
1
中的任意一点A与
?
2
中 的任意一点B,
|AB|
的最小值
等于( )

2812
A.
5
C.
5


?
0?x?2,
?
16. 设不等式组
?
0?y?2
，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则
此点到坐标原点的距离大于2的概率是

?
?
?2
?
4?
?
A
4
B
2
C
6
D
4

?
x?y?1?0
,
y
?
17. 若实数x、y满足
?
x?0
则
x
的取值范围是 （ ）

A.(0,1) B.
?

b
cln b
≥a?clnc
，
则
a
的取值范围
b，c
满足：
5c?3a
≤b≤4c?a
，
18.已知正数
a，
0,1< br>?

1,??
?
C.(1,+
?
) D.
?

是 ．

?1?
A?
?< br>(x,y)(y?x)(y?)?0
?
,B?(x,y)(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
x
??
19.设平面点集，则
??AIB
所表示的平面图形的面积为

334
?
?
?
?
A
4
B
5
C
7
D
2


20.在平面直角坐标系
xOy
，已知平面区域
A?{(x,y) |x?y?1,


且
x?0,y?0}
，则平面区域
B? {(x?y,x?y)|(x,y)?A}
的面积为 （ ）

11
A．
2
B．
1
C．
2
D．
4


?
x?0< br>?
?
y?0
?
y?x?2
?
21.若
A为不等式组表示的平面区域，则当
a
从－2连续变化到1时，动
直线
x? y?a
扫过
A
中的那部分区域的面积为 .

22.若不等式组
?
x?0
?
?
x?3y?4
?< br>3x?y?4
?
y?kx?
所表示的平面区域被直线
4
3分为面积相
等的两部分，则
k
的值是

7343
（A）
3
（B）
7
（C）
3
（D）
4
高

?
x ?0,
?
?
y?0,
?
x?y?1
a?0,b?0
23.若，且当
?
时，恒有
ax?by?1
，则以
a
,b为 坐标点
P(a,b)
所形成的平面区域的面积等于__________.

?
x?y?1?0
?
?
x?1?0
?
ax?y?1?0< br>24.在平面直角坐标系中，若不等式组
?
（
?
为常数）所表示的平面
区域内的面积等于2，则
a
的值为

A. －5 B. 1 C. 2 D. 3

?
x?y?3?0
?
?
x?2y?3?0
x?
x?m
y?2
(x,y)
25.若直线上存在点满足约束条件
?
，则实数
m
的最大
值为（ ）

13
A．
2
B．1 C．
2
D．2

?
x?2y?19
≥< br>0，
?
?
x?y?8
≥
0，
?
2x?y?1 4
≤
0
26.设二元一次不等式组
?
所表示的平面区域为
M
，使函数
y?a
x
(a?0，a?1)
的图象过区域
M的
a
的取值范围是（ ）

A．[1，3] B．[2，
10
] C．[2，9] D．[
10
，9]

?
x?y?11?0
?
?< br>3x?y?3?0
?
5x?3y?9?0
x
27.设不等式组
?
表示的平面区域为D，若指数函数y=
a
的图像

上存在区域D上的点，则a 的取值范围是

A (1，3] B [2，3] C (1，2] D [ 3，
??
]

?
x?2y?5?0
?
(x,y)?
3?x?0
?
mx?y?0
22
?{(x,y)|x?y?2 5}
，则
m
的取值范
?
m
28.设为实数，若{}
围是___________.

29.若实数
x
，
y
满 足不等式组且
x?y
的最大值为9，则实数
m?
（ ）

A
?2
B
?1
C 1 D 2

?
x?y?1
?
?
x?y??1
?2x?y?2
30.若x，y满足约束条件
?
，目标函数
z?ax?2y
仅在点（1，0）处取
得最小值，则a的取值范围是 （ ）

A．（
?1
，2） B．（
?4
，2） C．
(?4,0]
D．
(?2,4)


?
y?x
?
?
y?mx下，
?
x?y?1
31. 设m>1，在约束条件
?
目标函数z=x+my的最大值小于2，

则m的取值范围为

?
x?3y?3?0,
?
?
2x?y?3?0,
?
x?my?1?0,
?
A．
(1,1?2)< br> B．
(1?2,??)
C．（1，3） D．
(3,??)


?
3x?y?6?0
?
?< br>x?y?2?0
?
x?0,y?0
32.设x，y满足约束条件
? ，若目标函数
z?ax?by(a?0,b?0)
的
23
?
ab
的最小值为（ ） 值是最大值为12，则

8
2511
A.
6
B.
3
C.
3
D. 4

?
2x?y?2?0
?
?
8x?y?4?0
?
x?0 , y?0
z?abx?y
?
a?0,b?0
?
x,y
33.设满足约束条件
?
，若目 标函数 的最
大值为8，则
a?b
的最小值为________.
1.
2. 略
3.
4. ①点A,6,边界BC,1

②点C,1,点B，-3



4.

5. 最大、最小值分别是50和

6.













13.

[?3,0]


3

2

25

2
9

2

14. [－3，3]







7
?
18.
?
e，





21.













28.
[0,]










7

4
4
3