高中数学简单的线性规划(提高)知识梳理

简单的线性规划
【考纲要求】
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。
3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式 组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二
元一次不等式组；
4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。
【知识网络】
不等式（组）的应用背景
简单的线性规划
二元一次不等式（组）
表示的区域
简单应用

【考点梳理】
考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直 角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.
（虚线表示区域不包括边界直线 ）
要点诠释：
画二元一次不等式
Ax?By?C?0(?0)
或
Ax?By?C?0(?0)
表示的平面区域的基本步骤：
①画出直线
l:Ax?By?C?0
（有等号画实线，无等号画虚线）；
② 当
C?0
时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当
C?0
时，另 取一特殊点判断；
③确定要画不等式所表示的平面区域。
简称：“直线定界，特殊点定域”方法。
考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以 只需在此直线的某
一侧任取一点(x
0
, y
0
)（若原点不在直线 上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的
符号即可判断二元一次不 等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
要点诠释：
判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：
因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一
侧任取一点(x
0
, y
0
)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由 其值的符号
即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.
考点三：线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x、

y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小 值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性
目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
要点诠释：
在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：
①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。
②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；
③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；
④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。
考点四：解线性规划问题总体步骤：
设变量→找约束条件，找目标函数
??
求出最优解 作图，找出可行域
???
要点诠释：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用：
①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；
②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．
【典型例题】
类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
运动变化
?
y??3x?12
例1. 用平面区域表示不等式组
?
.
x?2y
?
【解析】不等式
y??3x?12
表示直线
y??3x?12
右下方的区域，
x?2y
表示直线
x?2y
右上方的区域，
取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

举一反三：
?
x?y?3?0
?
【变式1】画出不等式组
?
x?y?0
表示的平面区域并求其面积。
?
x?3
?
【解析】如图，面积为
81
；
4

【变式2】由直线
x?y?2?0
，
x?2y?2?0
和
x?1?0
围成的三角形区域（如图）用不等式组可
表示为 。

?
x??1
?
【解析】
?
x?2y?2?0
?
x?y?2?0
?
?
x?y?5?0
?
【变式3】求 不等式组
?
x?y?0
表示平面区域的面积.
?
x?3
?
【解析】不等式所表示的平面区域如图

55
联立方程组得
A(3,8),B(3,?3),C(?,)

2 2
1111121
所以
S
ABC
?AB?h??11??

2224
例2. 画出下列不等式表示的平面区域
(1)
(x?y)(x?y?1)?0
； (2)
x?y?2x

【解析】 (1) 原不等式等价转化为
?
?
x?y?0
?
x?y?0
或
?
（无解），
?
x?y?1?0
?
x?y?1
故点
(x,y)
在区域
?
?
x?y?0
内，如图：
?
x?y?1?0

?
y?0
?
y?0
??
(2) 原不等式等价为
?
x?y?0
或
?
x?y?0
，如图
?
2x?y?0
?
2x?y?0
??

举一反三：
【变式1】用平面区域表示不等式
（1）
y?x?1
； （2）
x?y
； （3）
x?y

【解析】

（1） （2） （3）
?
2x?y?3?0
?
例3.求满足不等式组
?
2x?3y?6?0
的整数解.
?
3x?5y?15?0
?
【解析】设
l
1
： < br>2x?y?3?0
，
l
2
：
2x?3y?6?0
，< br>l
3
：
3x?5y?15?0
，则
?
2x?3y? 6?0
153
由
?
，得
A(,)
，
84
?
2x?y?3?0
由
?
?
2x?y?3?0
，得
B(0,?3)

?
3x?5y?15?0
?
2x?3y?6?0< br>7512
，得
C(,?)

1919
?
3x?5y? 15?0
75
)
内，取
x?1,2,3
，
19
由
?
于是看出区域内点的横坐标在
(0,
?
?
y??1
?
12
4
?
?y??1
，得
y
＝－2， 当x?1
时，代入原不等式组有
?
y?
，即
?
5
3
?
12
?
y??
?
5
?
∴区域内有整点
(1,?2)
。
同理可求得另外三个整点
(2,0)
、
( 2,?1)
、
(3,?1)
.
举一反三：
?
3x?2y ?2?0,
?
【变式1】求不等式组
?
x?4y?4?0,
的整数解 。
?
?
2x?y?6?0
【解析】如图所示，

作直线
l
1
:3x?2y?2?0
，
l
2
:x?4y?4?0
，
l
3
:2x?y?6?0
，
在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，
此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0) ，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。
类型二：图解法解决简单的线性规划问题.
?
x?y?3
?
例4． 设变量
x,y
满足约束条件
?
x?y??1
，则目标函数
z ?4x?2y
的最大值为（ ）
?
y?1
?
A．12 B．10 C．8 D．2
?
x?y?3
?
【解析】由约束条件
?
x?y??1
可知可行域如图：
?
y?1
?

平移
y??2x
知在
A(2,1)
处取得最大值
z?10

答案：B
举一反三：

?
4x?5y?21?0
?
【变式1】求
z?x?2y
的最大值和最小值，使式中的
x
,
y
满足约束条件
?
x?3y?7?0
.
?
2x?y?y?0
?
【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）

作直线
l:x?2y?0
，把
l
向右上方平移至
l
1
位置，
即直线
l
经过可行域上点A时，
l
距 原点距离最大，且
x?2y?0
，
这时目标函数
z?x?2y
取得最大值.
由方程组
?
?
4x?5y?21?0
，解得
A(1,5)
，∴
z
max
?1?2?5?11
.
?
2x?y?7?0
把直线
l
向左下方平移至
l
2
位置，即直线l经过可行域上点B时，由于
x?2y?0
，
这时目标函数
z?x?2y
取得最小值.
由方程组
?
?
4x?5y?21?0
，解得
B(?4,1 )
，∴
z
min
??4?2?1??2
.
?
x? 3y?7?0
【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数
z?ax?y(a?0)
取得最大值的最优解有无穷个，
则
a
的值为 .

【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得
a ?
3
.
5

?
2x?y?2≥0
?
【变式3】如果点
P
在平面区域
?
x?2y?1≤0
上，点
Q
在曲线
x
2
?(y?2)
2
?1
上，那么
PQ
的最
?
x?y?2≤0
?
小值为（ ）
A．
5?1
B．
4
?1

5
C．
22?1
D．
2?1

?
2x ?y?2≥0
?
【解析】不等式组
?
x?2y?1≤0
表示的平面区 域如图所示，
?
x?y?2≤0
?

要求
PQ
的 最小值只需求出圆心
(0,?2)
到平面区域的最小值再减去半径1即可。
由图象可 以知道圆心
(0,?2)
到平面区域的最小值就是圆心
(0,?2)
到直线< br>x?2y?1?0
的距离
（垂足为A）
所以
d?
|0?2 ?(?2)?1|
1?(?2)
22
?5
，故选Ａ
?
y? x
?
例5.已知
x
、
y
满足约束条件
?
x ?y?1
，求下列各式的最大值和最小值.
?
y??1
?
（1）
z?2x?y
； （2）
z?x?y
.
【解析】（1）不等式组表示的平面区域如图所示：

求出交点
A(2,?1)
，
C(?1,?1)
，
B(0.5 ,0.5)
，
作过点
(0,0)
的直线
l
0
:< br>2x?y?0
，平移直线
l
0
，得到一组与
l
0平行的直线
l
:
z?2x?y
,
z?R
.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于
l
的直线中，
当< br>l
经过点
A(2,?1)
时的直线
l
所对应的
z最大，所以
z
max
?2?2?1?3
；

当< br>l
经过点
C(?1,?1)
时的直线
l
所对应的
z< br>最小，所以
z
min
?2?(?1)?1??3
.
（2）不等式组表示的平面区域如图所示：

作过点
(0,0)
的 直线
l
0
:
x?y?0
，平移直线
l
0
， 得到一组与
l
0
平行的直线
l
:
z?x?y
,z?R
.
可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于
l
的直线中，
当< br>l
经过线段
AB
上的所有点时的直线
l
所对应的
z< br>最大，所以
z
max
?2?1?1
；
当
l
经过点
C(?1,?1)
时的直线
l
所对应的
z
最小，所以
z
min
?(?1)?1??2
.
举一反三：
?
5x?3y?15
?
【变式1】求
z?3x?5y
的最大值和最小值，使式 中的
x
、
y
满足约束条件
?
y?x?1
.
?
x?5y?3
?
【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示：

从图示可知，直线
z?3x?5y
在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，
以经过点
B(?2,?1)
的直线所对应的
z
最小，
以经过点
A(,)
的直线所对应的
z
最大.
所以
z
min
?3?(?2)?5?(?1)??11
，
35
22
35
z
max
?3??5??17
.
22
类型三：某些实际背景的线性规划问题.
例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产 甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获
利7000元：生产乙种产品每件要消耗 煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生
产日，这个厂可动用的煤是36 0吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品
的生产，才能使工厂在当 日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?
【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件

?
9x?4y?360
?
?
4x?5y?200
约束条件：
?
，
?
3x?10y?300
?
x?N,y ?N
?
目标函数：z=7000x+12000y
如图：目标函数经过A点时，z取得最大值

?
4x?5y?200
?
x?20
?
， 即A（20，24）
??
?
3x?10y?300
?
y?24
∴ 当x=20, y=24时，z
max
=7000×20+12000×24=428000（元）。
答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。
举一反三：
【变式1】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，
在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务 ，已知每辆卡车每天往返的次数为A
型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车 160元，B型卡车252元，每天派出
A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？ < br>【解析】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如 ：
?
x?y?9
?
x?y?9
?
4x?5y?30
?
6x?8?10y?6?360
，即
?
0?x?7
且
x ?N

?
0?x?7
且
x?N
??
0?y?4且
y?N
?
0?y?4
且
y?N
?
如图所示， 作出不等式表示的区域，

作直线
l:160x?252y?0
，即
y??
作直线
l
的平行线
l'
：
y??
40x
，
63
40
x?b

63
当直线
l'
经过可行域内A点时，
l'
纵截距最小，
2
可得A点坐标为
(7,)
。
5
40zz
x?< br>∵z=160x+252y，∴
y??
，式中代表该直线的纵截距b，
632 52
252
而直线
l'
的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，

2
5
2
但此时
y??N
，
5即
l'
过
A(7,)
时，
z
min
?160x ?252y?160?7?252?
2
?1220.8
，
5
∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，
当x=5，y= 2时，点
A'(5,2)
在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。
∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，
即z
min
=160×5+2×252=1304（元）.