人教A版高中数学必修五线性规划.doc

高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作


线性规划
一、基本概念
1.约束条件：关于变量
x,y
的不等式（或方程）组。
2.线性约束条件：关于变量
x,y
的一次不等式（或方程）组。
3.目标函数：求最值的关于变量
x,y
的函数解析式。
4.线性目标函数：求最值的关于变量
x,y
的一次解析式。
5.线性规划：
一般的，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问
题。
6.可行解、可行域、最优解
满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解；由所有可行解组 成的集合叫做可行域；使目标
函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。
二、基本题型
类型一、求线性目标函数的最值
方法总结：
在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：
（1）根据约束条件作出可行域；
（2）将目标函数
z?ax?by(b?0)变形为
y??
az
x?
将求
z
的最值问题转化为求直线
bb
azz
x?
在
y
轴上的截距的最值问题；
b bb
a
（3）画出直线
y??x
并平行移动，一般地，平移过程中最先或最后 经过的点为最优解；
b
y??
（4）求出最优解并代入目标函数，求出目标函数的最值.
注意： 最优解一般在可行域顶点或边界取得.把目标函数转化为某一直线,其斜率与可行
域边界所在直线斜率的 大小关系一定要弄清楚。
马鸣风萧萧

?
x?4y??3
?
例1、设 z＝2x＋y，式中变量x、 y满足下列条件：
?
3x?5y?25
，求z的最大值和最小值。
?
x?1
?



?
2x?y?3,?
x?2y?3,
?
例2、求满足线性约束条件
?
的目标函数< br>z?x?y
的最大值。
?
x?0,
?
?
y?0,







例3、已知
?1?x?y?4
且
2?x?y ?3
，求
z?2x?3y
的取值范围。







练习：
x＋y≤5
?
?
2x＋y ≤6
1．图中阴影部分的点满足不等式组
?
x≥0
?
?
y≥ 0
得最大值的点的坐标是( )
A．(1,4) B．(0,5) C．(5,0) D．(3,0)

，在这些点中，使目标函数z＝6x＋8y取
马鸣风萧萧

?
?
2x?y?4,
2.设
x,y
满足
?
x?y?1,
?
则
z?x?y
( )
?
x?2y?2,
A.有最小值2，最大值3 B.有最小值2，无最大值
C.有最大值3，无最小值 D.既无最小值，也无最大值


x
?
y?x
3．设变量、
y
满足约束条件
?
?
x?y?2
，则目标函数
z?2x?y
的最小值为（
?
?
y?3x?6
A．
2
B．
3
C．
4
D．
9


?
y?2x
4. 已知实数x、y满足
?
?
y??2x
则目标函数z=x-2y的最小值是______。
?
?
x?3

?
x
＋3
y
5．若实数
x
，
y
满足不等式 组
?
－3≥0，
?
2
x
－
y
－3≤0，< br>?
?
x
－
y
＋1≥0，

则
x
＋
y
的最大值为( )
A．9 B.
15
7
C．1 D.
7
15


?
x??1
6．若变量
x,y
满足约束条件
?< br>?
y?x
，求
z?2x?y
的最大值。
?
?
3x?2y?5


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）

类型二、实际应用问题
例4．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用
A
原料3吨、
B
原料2吨；生
产每吨乙产品要用
A
原料1吨、
B
原料3吨．销售每 吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产
品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗
A< br>原料不超过13吨、
B
原料不超过18
吨，那么该企业可获得最大利润是多少？








练习：
1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B 原料2吨；生产每
吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可
获得利润3万 元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，
那么该企业可获得最大利 润是 （ ( )
A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元

2．某 加工厂用某原料由甲车间加工出
A
产品，由乙车间加工出
B
产品.甲车间加工 一箱原料
需耗费工时10小时可加工出7千克
A
产品，每千克
A
产品 获利40元，乙车间加工一箱原料
需耗费工时6小时可加工出4千克
B
产品，每千克< br>B
产品获利50元.甲、乙两车间每天共能
完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车 间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两
车间每天总获利最大的生产计划为 （ ）
（
A
）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
（
B
）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
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（
C
）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
（
D
）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱





类型三、非线性目标函数的最值
方法总结：
（1 ）对于形如
z?(x?a)?(y?b)
型的目标函数均可化为求可行域内的点
(x, y)
与
22
(a,b)
间的距离的平方的最值问题；
b
y ?(?)
a
ay?b
a
(ac?0)
的（2）对于形如
z?
可先变形为
z??
(ac?0)
型的目标函数，
d
c
cx?d
x?(?)
c
形式，将问题转化为可行域内的点
(x,y)
与
(?
dba
,?)
连线斜率的倍的最值问题；
cac
（一）距离型

?
x?y?3?0
?
例5． 已知实数对
?
x,y
?
满足不等式组
?
x?2
，求
z?x
2
?y
2
的最大值。
?
x?y?1?0
?





?
x?y?0
?
22
例6．已知
x,y
满足不等式组
?
x?y?2?0
，求
(x?2)?(y?3)
的最大值。
?
2x?y?2?0
?






马鸣风萧萧

?
x?0
?
22
例7. 已知
x,y
满足约束条件 ,
?
3x?4y?4
则
x?y?2x
的最小值是（ ）
?
y?0
?
A．

练习：
224
B．
2?1
C． D．
1

525?
x?y?4
?
22
1、已知点
P(x,y)
的坐标满 足条件
?
y?x
，则
x?y
的最大值为 （ ）
?
x?1
?
（A）
10
（B）8 （C）16 （D）10
?
2x?y?2?0
?
22
2．已知
x,y
满足以下约束条件
?
x?2y?4?0
，则
z?x?y
的最大值和最小值分别是
?
3x?y?3?0
?
（ ）
（A）13，1 （B）13，2 （C）13，
25
4
（D）
13
，
5
5
?
x?y?2?0,
?
4.已知点
M(x,y)
在不等式组
?
x?2y?1?0,
所表示的平面区域内，则
?
y?0
?
z?(x?1)
2
?(y?2)
2
的值域为 。
[8, 17]


（二）斜率型：
?
x?2
y
?
例8、若
x,y
满足约束条件
?
y?2
，求< br>z?
的取值范围.
x
?
x?y?2
?




马鸣风萧萧

?
2x?y?6?0
?< br>x?y?3?0
y?2
?
例9、若
x,y
满足约束条件
?
，求
z?
的范围.
x?3
?
y?2
?
?
x?0





练习：
?
x?y?2?0
?
1.已知
?
x?y?4?0
，求（1）
z?x?2y?4
的最大值
?2x?y?5?0
?
（2）
z?x?y?10y?25
的最小值（3）< br>z?










x－2y＋7≥0，
?
?
2．已知x、y满足约束条件
?
4x－3y－12≤0，
?
?
x＋2y－3≥0
22
2y? 1
的范围
x?1

求： (1)z＝3x＋2y的最值；
(2)z＝3x－2y的最值；(3)t＝x
2
＋y
2
的最值．

马鸣风萧萧