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线性规划求最值问题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 01:17
tags:高中数学线性规划

安徽省高中数学竞赛分数线-高中数学的德育教学目标

2020年10月7日发(作者:魏万呈)


线性规划求最值问题
山东
一、与直线的截距有关的最值问题
王中华 王彦秋
?
x?2≤0,
?
例1 已知点
P(x, y)
在不等式组
?
y?1≤0,
表示的平面区域上运动,则
z?x? y

?
x?2y?2≥0
?
取值范围是( ).
(A)[-2,-1] (B)[-2,1]
(C)[-1,2] (D)[1,2]
解析:由线性约束条件画出可行域如图1,考虑
z?x?y

把它变形为
y?x?z
,这是斜率为1且随z变化的一族平行
直线.
?z
是直线在y轴上的截距.当直线满足约束条件且
经过点(2,0)时,目标函数
z?x?y
取得最大值为2;
直线经过点(0,1)时,目标函数
z?x?y
取得最小值为-1.故选(C). < br>注:本题用“交点法”求出三个交点坐标分别为(0,1),(2,1),(2,0),然后再一一代入目标函数求出z=x-y的取值范围为[
?
1,2]更为简单.这需要有最值在边界点取 得的特
殊值意识.
二、与直线的斜率有关的最值问题

?
x?y?2≤0,
y
?
例2 设实数
x,y
满足
?
xc?2y?4≥0,
,则
z?
的最大值是__________ .
x
?
2y?3≤0,
?
解析:画出不等式组所确定的三角形区域 ABC(如图2),
z?
yy?0
?
表示两点
xx?0
O( 0,,0)P(x,y)
确定的直线的斜率,要求z的最大值,即求可行域内的点与原点连线的斜
率的最大值.由图2可以看出直线OP的斜率最大,故P为
x?2y?4?0

2y ?3?0

交点,即A点.

P
?
1,
?< br>.故答案为
?
3
?
?
2
?
3

2
yy?0
?

xx?0
注:解决本题的关键是理解目标 函数
z?
几何意义,当然本题也可设
y
?t
,则
y?tx< br>,即为求
x
y?tx
的斜率的最大值.由图2可知,
y?tx
过点A时,
3
t最大.代入
y?tx
,求出
t?

2
3
即得到的最大值是.
2
三、与距离有关的最值问题


?
x?y?2≥0,
?
例3 已知
?
x?y ?4≥0,
,求
z?x
2
?y
2
?10y?25
的 最小值.
?
2x?y?5≤0,
?
解析:作出可行域如图3,并求出顶点的 坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9).而
z?x
2
?(y?5)
2
表示可行域内任一点(x,y)到定点M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,
易知垂足

在线段
AC
上,故z的最小值是
MN
2
?
9

2
注:充分理解目标函数的几何意义,如两点间的距离(或平方)、点到直线的距离等.
四、与实际应用有关的最值问题
例4 预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的 椅子,希望使桌椅的总数尽可能的
多,但椅子不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌、椅各买 多少才行?
分析:先设出桌、椅的变数后,目标函数即为这两个变数
之和,再由此在可行域内求出最优解.解题中应当注意到问
题中的桌、椅数都应是自然数这个隐含条件,若从图形直观上
得出的最优解不满足题设条件时,应作出调整,直至满足题设.
解:设应买x张桌子,y把椅子,把所给的条件表示成
?
50x?20y≤2000 ,
?
y≥x,
?
不等式组,即约束条件为
?

y≤ 1.5x,
?
?
?
?
x,y?N,
200
?
x?,
?
50x?20y?2000,
?
?
7

?
解得
?

200
y?x,
?
?y?.
?
7
?
∴ A点的坐标为
?

?
200200
?

?

7
??
7
?
x?25,
?
50x?20y?2000,
?

?
解得
?
75

y?1.5x,
y?.
?
?
?2
∴ B点的坐标为
?
25,
?

?
?
75
?
2
?
所以满足约束条件的可行域是以
A
?
75
??
200200
??

?
,B
?
25,
?< br>,O(0,0)
为顶点的三角形区
772
????
域(如图4).由图 形可知,目标函数
z?x?y
在可行域内的最优解为25,,但注意到
x,y?N?
,故取
y?37


答:应买桌子25张,椅子37把.

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