高中数学线性规划经典题型说课讲解

高数学线性规划
典题型
中经

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高考线性规划归类解析


一、平面区域和约束条件对应关系。
例1、已知双曲线
x
2
?y< br>2
?4
的两条渐近线与直线
x?3
围成一个
三角形区域,表示 该区域的不等式组是（）
?
x?y?0
?
x?y?0
?
x ?y?0
?
x?y?0
????
(A)
?
x?y?0
(B)
?
x?y?0
(C)
?
x?y?0
(D)
?
x?y?0

?
0?x?3
?
0?x? 3
?
0?x?3
?
0?x?3
????
解析：双曲线
x
2
?y
2
?4
的两条渐近线方程为
y??x
， 与直线
x?3
围成一个三角形区域（如图4所示）时有
?
?
x?y? 0
。
?
x?y?0
?
0?x?3
?
点评：本题考 查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最
效的方法。

?x?y?2?0
例2：在平面直角坐标系中，不等式组
?
?
x?y?2? 0
表示的平面区域的面积是
?
y?0
?
（）
(A)
42
(B)4 (C)
22
(D)2
?
x?y?2?0
解析 ：如图６，作出可行域，易知不等式组
?
?
x?y?2?0
表示的平面区域是 一个
?
y?0
?
三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B( 2,0),C(-2,0).于是三
角形的面积为：
S?|BC|?|AO|??4?2?4.
从而选Ｂ。
点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性
质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。


二、已知线性约束条件， 探求线性截距——加减的
形式(非线性距离——平方的形式，斜率——商的
形式)目标关系最值 问题（重点）
?
2x?y?2
?
例3、设变量x、y满足约束条件
?
x?y??1
，则
?
x?y?1
?
1
2
1
2
①
2x?3y
的最大值为 。（截距）
解析：如图1 ，画出可行域，得在直线2x-y=2与直
线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z最大值< br>为18
点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件
图
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画出可行域,然后求出目标函数的最大 值.，是一道较为简单的送分题。数形结合
是数学思想的重要手段之一。
②则
x
2
?y
2
的最小值是 .
y
?
x?1
③
的取值范围是 .



三、含参问题：（较难）
①约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。
例
?
x?0
4、 在约束条件
?
下，当
3?s?5
时，目标函数
?
y?0?
?
y?x?s
?
?
y?2x?4
C
z?3x?2y
的最大值的变化范围是（）
A.
[6,15]
B.
[7,15]
C.
[6,8]
D.
[7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当
3?s?4
时, 目标函数
z?3x?2y
在
B(4?s,2s?4)
处取得最大值, 即z
max
?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8)
;当
4 ?s?5
时, 目标函数
z?3x?2y
在点
E(0,4)
处取得最 大值,即
z
max
?3?0?2?4?8
,故
z?[7,8]
,从而选D;
点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数
Z关于S的函数关系是求解的关键。
②已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。
?
1?x?y?4
例5已知变量
x
，
y
满足约束条 件
?
。若目
?
?2?x?y?2
标函数
z?ax?y
（其中
a?0
）仅在点
(3,1)
处取得最大
值，则
a< br>的取值范围为 。
解析：如图5作出可行域，由
z?a x?y?y??ax?z
其
表示为斜率为
?a
，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函
数
z?ax?y
（其中
a?0
）仅在点
(3,1 )
处取得最大值。则
直线
y??ax?z
过Ａ点且在直线
x?y?4 ,x?3
（不含界
线）之间。即
?a??1?a?1.
则
a
的取值范围为
(1,??)
。
点评：本题通过作出可行域，在挖掘
?a与z
的几何意义的条件下，借助用数形结
合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a
的不等式组即可求
解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高 。
四、线性规划中的整点最优解问题（附近的点只的是上下左右）
．．．．．．．．．．．
例6、某公司招收男职员
x
名，女职员
y
名，
x
和
y
须满足约束条件
?
5x?11y??22,
?
则
z?10x?10y
的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
?
2x?3y?9,
?
2x?11.
?
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解析：如图７，作出可行域，由
z?10
x?
10
y?y??x?
纵截距为
A(
z
，它表示为斜率为
?1
，
10
z
的平行直线系,要使
z?1 0x?10y
最得最大值。当直线
z?10x?10y
通过
10
11 9
,)
z
取得最大值。因为
x,y?N
，故Ａ点不是最优整数解。于 是考虑可行域
22
内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，．．
Z
max
?90.

点评：在解决简单线性规划中的最优整 数解时，可在去掉限制条件求得的最优
解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。
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