高中数学之不等式及线性规划问题(含答案)

不等式及线性规划问题（讲义）
知识点睛
一、 不等式的基本性质
性质1：
a?b?b?a

性质2：
a?b，b?c?a?c

性质3：
a?b?a?c?b?c

性质4：
a?b
，c?0?ac?bc
；
a?b
，
c?0?ac?bc

性质5：
a?b，c?d?a?c?b?d

性质6：
a?b?0，c?d?0?ac?bd

n
≥
2)
性质7：
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N，
n
≥
2)

性质8：
a?b?0?a?b(n?N，
nn
二、 一元二次不等式及其解法
一般地，对于解一元二次不等式
ax
2
?bx?c?0(a?0)
， 通常步骤如下：
（1）解方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)

常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法.
（2）解不等式
考虑两种解法：
函数法：借助函数图象求解
①画出对应函数
y?ax
2
?bx?c
的图象；
②依据图象得出不等式的解集．
代数法：借助实数乘法法则，解不等式组.
三、 绝对值不等式的解法
1. 解绝对值不等式的核心：去绝对值
去绝对值方法：以
|x?a|
为例
（1）绝对值的几何意义：
①
|x?a|
表示数轴上
x?a
，
0
对应两点之间的距离
a
对应两点之间的距离 ②
|x?a|
表示数轴上
x ，
x?a
?
x?a ，
?
， x?a
（2）绝对值法则：
|x?a|?
?
0
?
?x?a， x?a
?

n
≥1
)

（3）偶次方：
|x?a|
2n
?(x?a)
2n
(n?N ，

2. 解绝对值不等式常见题型
（1）单个绝对值型不等式：如|ax?b|
≤
c
或
|ax?b|
≥
c

思路一：依据绝对值的几何意义
①
|ax?b|
≤
c
转化 为
?c
≤
ax?b
≤
c

1

②
|ax?b|
≥
c
转化为
ax ?b
≥c或
ax?b
≤
?
c

思路二：依据绝对值的“零点”，由绝对值法则去绝对值，再解不等式
思路三：由相应函数< br>f(x)?|ax?b|?c
，利用数形结合思想，依据图象处理．
（2）多个绝对值型不等式：如
|x?a|?|x?b|
≥
c

思路一：依据绝对值的几何意义
数轴上到a、b对应两点的距离之和不小于c的点的集合；
思路二：依据绝对值的“零点”
依据绝对值的“零点”分段，由绝对值法则去绝对值，再解不等式；
思路三：依据函数图象
由相应函数
f(x)?|x?a|?|x?b|?c
，利用数形结合思想，依据图象处 理．
（3）常见函数图象
①
f(x)?|x?1|

y
②
f(x)?|x?1|

y
O
1
x
③
f(x)?|x?1|?|x?2|

y


-1
O
x

④
f(x)?|x?1|?|x?2|

y
1
1
O1
2
x
O
-1
1
2
x

结论推广：①
|x?a|?|x?b|
≥
|a?b|
；


四、 二元一次不等式（组）及线性规划
1. 二元一次不等式与平面区域
若方程
Ax?By?C?0
表示直线l，则
②
?|a?b|
≤
|x?a|?|x?b|
≤
|a?b|
．

不等式
Ax?By?C?0
表示直线l某一侧所有点组成的平面区域，将该 侧任一点坐标
(x
0
，y
0
)
代入
Ax?By?C
，
Ax
0
?By
0
?C?0

恒成立．
同理，不等式
Ax?By?C?0
表示直线l的另一侧．
2. 由二元一次不等式组判断平面区域
（1）直线定界（注意虚线与实线）；
（2）特殊点定域（如：原点，
(0 ，
；
1)
，
(1 ， 0)
等）
2

（3）不等式组找公共区域.
3. 线性规划相关概念
约束条件：
目标函数：
可行解：
可行域：
最优解：



关于x，y的不等式（或方程）
要求的关于变量x，y的函数
满足约束条件的解(x，y)
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性约束条件：关于x，y的一次不等式（或方程）
线性目标函数：目标函数为关于变量x，y的一次函数
线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
4. 求目标函数z=ax+by的最值
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
（1）根据约束条件画出可行域；
（2）考虑目标函数的几何意义，令z=0，画出直线l
0
；
（3）在可行域内平行移动直线l
0
，从而确定最优解；
（4）将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．









精讲精练
1. 下列命题中正确的是（ ）
A．
a?b ， c?d?a?c?b?d

ab
?

cc
C．
ac?bc?a?b

B．
a?b?
D．
ac
2
?bc
2
?a?b



2. 若
0?a?b?1
，则（ ）
11
A．
?

ba
C．
a
n
?b
n


3


11
B．
()
a
?()
b

22
11
?
D．
lgalgb

3. 当
a?0?b
，
c?d?0
时，给出以下结论：
①
ad?bc
； ②
a?c
2
?b?d
2
；
③
b?c?a?d
； ④
c
3
?d
3
?0?a
3
．
其中正确结论的序号是______________．




4. 设方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两根为
x
1
， x
2
，且
x
1
?x
2
．
（1）若
a?0
，则
ax
2
?bx?c?0
的解集为__________ __；
（2）若
a?0
，则
ax
2
?bx?c
≥
0
的解集为____________．









5. 已知不等式
x
2
?3x?t?0
的解集为
?
x|1?x?m ， x?R
?
．
（1）
t
=_________，
m
=_________；
（2）若函数
f(x)??x
2
?ax?4
在区间
(?? ， 1]
上递增，
log
a
(?mx
2
?3x?2?t) ?0
的解集．













4
求关于
x
的不等式

6. 解下列不等式．
（1）
|2x?1|?|2x?1|
≤
6







（2）
|2x?1|?|x?4|?2






7. 已知函数
f(x)?|x?4|?|x?3|
．
（1）若
f(x)?a
有解，则实数a的取值范围为_________．




（2）若
f(x)?a
无解，则实数a的取值范围为___________．




（3）若
f(x)?a
对一切实数
x
均成立，则实数a的取值范
围为_______________．
（4）若
f(x)?2|x?3|
≥a
有解，则实数a的取值范围为
_______________．



8. 写出下列平面区域表示的二元一次不等式组．

（1）_____ _______________；（2）___________________．
5

y
1
(3，3)
y
2
x
Ox
-6
-2
O
(4，-1)


（1） （2）



9.
(x?2y?1)(x?y?4)
≤
0
表示的平面区域为下图中的（ ）
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x

A． B． C． D．




?
x
≥
10. 不等式组
?
0
?
x?3y
≥
4
所表示的平面区域的面积等于（ ）
?
?
3x?y
≤
4
A．
3

2
2
B．
3
C．
4

3
3
D．
4








?
11. 设变量x，y满足约束条件
?
5 x?3y
≤
15
?
x?y?1
≥
0
，则目标函数z =3x+5y
?
?
x?5y
≤
3
的最大值为_______ ___，最小值为_________．


6

?
3x?y?6
≥
0
12. 设变量x，y满足约束条件
?
?
x?y?2
≤
0
，则目标函数z=2x-y
?
?
y?3
≤
0
的最小值为（ ）
A．7 B．-4 C．-1 D．4







?
x?y?3
≥
0
13. 设变量x，y满足
?
?
x?y?1
≥
0
，设
k?
y
?
?
3x?y?5
≤
0
x
，则k的取值范围是
（ ）
A．
[
1
2
，
4
3
]
B．
[
4
3
，2]

C．
[
1
2
，2]
D．
[
1
2
，??)







14. 给出平面区域如图中的阴影部分所示，若使目标函数z=ax+y
(a>0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则a的值为
__________________．
7

y
C(1,
22
5
)
A(5,2)
B(1,1)
O
x


15. 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件产品销售收入分别为
3 000元、2 000元.甲、乙产品 都需要在A、B两种设备上进行加工．在每台A、B设备上加工1
件甲，设备所需工时分别为1 h、2 h；加工1件乙，设备所需工
时分别为2 h、1 h，
A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h和500 h．
问：如何安排生产可使收入最高？























8

回顾与思考
___________________ _____________________________________
________ ________________________________________________ < br>_______________________________________________ _________

【参考答案】
1. D
2. D
3. ①②④
x
1
)U(x
2
， ??)
； 4. （1）
(?? ，
x
1
]U[x
2
， ??)
（2）
(?? ，
13
5. （1）
t?2；m?2
；（2）
(0
，
)
U
(1
，
)

22
335
6. （1）
[? ，
（2）
(?? ， ]
；
?7)U( ， ??)

223
7. （1）
(1 ，
（2）
(?? ，
（3）
(?? ，
（4）
(?? ， ??)
；
1]
；
1)
；
1]

?
x?y?0
?
y
≥
0
??
8. （1）
?
4x?y?15?0
；（2）
?
x?3y?6
≥
0

?
x?2y?2
≥
0
?
x?y?2?0
??
9. B
10. C
11. 17 -11
12. C
13. C
3
14.
5
15. 每月生产甲产品200件，乙产品100件，可使收入最高.

不等式及线性规划问题（随堂测试）
1. 解不等式：
|2x?1|?x?1
．








9

2. 已知不等式
|x?2|?|x|
≤a
的解集不是空集，则实数
a
的取值范
围是__________ ______．







?
x?y?2
≥
0
?
3. 已知变量
x ，
，则
z?2x?y
的最大
y
满足约束条件
?
y
≤
2
?
x?y
≤
0
?
值为______ _．








【参考答案】
1.
?
x|0?x?2
?




提示：
a≥(
|x?2|?|x|
)
min
?2
．
提示：
z?2x?y
在点(2，2)处取得最大值．
2.
[2 ， ??)

3. 2
不等式及线性规划问题(作业)
例1： 解不等式
2|x?2|?|x?1|
≥
1
．


【思路分析】
由绝对值的零点，可得三段：
x??1
，
?1
≤
x?2
，
x
≥
2
，由此解不等式组即可．
【过程示范】
原不等式转化为
10

?
x??1
（1）
?
，解得
x??1
．
?
2(?x?2)?(?x?1)
≥
1
?
?1
≤
x ?2
2
（2）
?
，解得
?1
≤
x
≤
．
3
?
2(?x?2)?(x?1)
≥
1
?
x
≥
2
（3）
?
，解得
x
≥6
．
2(x?2)?(x?1)
≥
1
?
2
综上，不等式的解集为
{x|x
≤
或x
≥6
}
．
3


?
3x?y
≤3
?
例2： 若实数
x ， y
满 足不等式组
?
x?y≥1
，则
z?2x?3y
的最大值为_____ ___．
?
x?y
≥?1
?
【思路分析】
本题属于线性规划问题．
?
3x?y?3
≤
0
?
由题意得
?
x?y?1≥
0
，如图，阴影部分即为可行域．
?x?y?1
≥
0
?
y
3x?y?3=0
x?y+1=0
x+y?1=0
2x+3y=0
O
x
A
令z=0，画出直线
2x?3y?0
，
2z
在可行域内平行移动直线
2x?3y?0< br>，当直线
y??x?
经过点
33
A(2 ， 3)
时，纵截距最大，
则
z?2x?3y
的最大值为
2?2?3?3?13
．
11

1. 如果
a?b?0
，
m?0
，那么下列不等式中一定成立的是（ ）
bb?maa?m
A．
?
B．
?

aa?mbb?m
bb?maa?m
C．
?
D．
?

aa?mbb?m





2. 设
a?b?1
，
c?0
，给出下列四个结论：
cc
①
?
；②
a
c
?b
c
；③
log
b
(a?c)?log
a
(b?c)
；
ab
n
≥2
)
． ④
a
n
?b
n
(n?N ，
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②④
C．②③④




3. 不等式
?2x
2
?x?3?0
的解集是（ ）
A．
?
x|x??1
?




3
B．
{x|x?}

2








B．①②③
D．①②③④
3
C．
{x|?1?x?}

2
3
D．
{x|x??1或x?}

2




4. 若关于
x
的不等式
|x?a|
≤b的解集为
{x|2
≤
x
≤
4}
，则
a?
______，
b?
______．






5. 若不等式
|x?2|?1
与不等式
x
2
? ax?b?0
的解集相同，则
a?
______，
b?
______ ．



12

6. 解下列不等式．
（1）
(a?x)(x?1)?0















（3）
|2x?1|?|x?3|
≤
5













7. 已知
f(x)?|x?3|?|x?1|
．
（1）若
f(x )
≥a
对一切实数
x
均成立，则实数
a
的取值范围是___ ________；
（2）若存在实数
x
使
f(x)?
a
成立，则实数
a
的取值范围是
___________；
（3）若不存在实 数
x
使
f(x)?2|x?1|?a
成立，则实数
a
的取值
范围是__________．

13

（2）
|x?2|?|2x?1|
≥
0

（4）
2|x?1|?|x?3|
≥
5

8. 设
x ， y满足约束条件
?
?
1
≤
x
≤3
0
，则
z?2x?y
的最大值为
?
?1≤x?y≤
________．










?
2x?y?6
≥
9. 设变量x，y满足约束条件
?
0< br>?
x?2y?6
≤
0
，则目标函数z=x+2y
?
?
y
≥
0
的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8






14

?
y?x
≤1
x
?
10. 设
x ，
的取值范围为
y
满足约束条件
?
y?x≤1
，则y?1
?
y≥0
?
________．








?
2x?y?1
≥
0
?
11. 设D是不等式组
?
y?1≥
0
表示的平面区域，则区域D中
?
2x?y?1≤
0
?
的点
P(x ， y)
到直线
x?y?1?0
的距离的最小值是______．








12. 甲、乙两校计划周末组织学 生参加敬老活动，甲校每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人
服务；乙校每位同学往返车费是3元 ，每人可为5位老人服务．两校都有学生参加，甲校参加活
动的学生比乙校至少多1人，且两校同学往返 总车费不超过45
元．问：如何安排甲、乙两校参加活动的人数，才能使受到服
务的老人最多？ 受到服务的老人最多是多少？










15

【参考答案】
1. C
2. D
提示：③
log
b< br>(a?c)?log
a
(a?c)?log
a
(b?c)
．
3. D
4. 3 1
提示：
|x?a|?
b
的解即为
2， 4
，∴将
x?2， 4
代入方程中求解即可．
5. -4 3
6. （1）当
a
≥
1
时，解集为
?
x|x?a或 x?1
?
；
当
a?1
时，解集为
?
x|x?1或x?a
?
．
（2）
{x|?1
≤
x
≤1
}

（3）
{x|?
1
3
≤
x
≤3
}

（4）
{x|x
≤?10
或x
≥
2}

7. （1）
(?? ， 4]
；（2）
R
；（3）
(?? ， ?4]

8. 3
9. C
10.
[?1 ， 1]


提示：目 标函数
z?
x
1
y?1
可以转化为
y?1
z
?
x
?
y?(?1)
x?0
，
y?(?1)
x?0
即可行域中的点与点
(0 ， ?1)
的连线的斜率的取值范围，再求其倒数即可．
11.
32
4

12. 甲校参加6人，乙校参加5人，受到服务的老人最多，为43人．
?
提示：设甲校参加活动的 人数为x，乙校参加活动的人数为y，则x，y满足
?
x?y
≥
1
?
5x?3y≤
45
，目标函
?
?
x，y?N
*数为
z?3x?5y
，求目标函数的最大值．


16