高中数学简单线性规划习题专项练习

一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1)
[答案] B
[解析] ∵点O(0,0)使x－2y ＋4>0成立，且点O在直线下方，故点(－2，t)在直线x－2y＋4
＝0的上方－2－2t＋4< 0，∴t>1.
2.)若2m＋2n<4，则点(m，n)必在( )
A．直线x＋y－2＝0的左下方
B．直线x＋y－2＝0的右上方
C．直线x＋2y－2＝0的右上方
D．直线x＋2y－2＝0的左下方
[答案] A
[解析] ∵2m＋2n≥22m＋n，由条件2m＋2n<4知，
22m＋n<4，∴m＋n<2，即m＋n－2<0，故选A.

x≥0
?
?
3．不等式组
?
x＋3y≥4
所表示的平面区域的面积等于( )
?
?
3x＋y≤4


B．(1，＋∞) C．(－1，＋∞) D．(0,1)

?
?
x＋3y＝4
?
4
?
[解析] 平面区域如图 ．解
?
得A(1,1)，易得B(0,4)，C
0，
3
，
??
?
3x＋y＝4
?

48
|BC|＝4－
3
＝
3
.
184
∴S△ABC＝
2
×
3
×1＝
3
.

x＋y≥2
?
?
4不等式组
?
2x－y≤4所围成的平面区域的面积为( )
?
?
x－y≥0
A．32
[答案] D
B．62 C．6 D．3

[解析] 不等式组表示的平面区域为图中Rt△ABC，易求B(4,4)，A(1,1)，C(2,0)
∴S△ABC＝S△OBC－S△AOC

11
＝
2
×2×4－
2
×2×1＝3.
y≤x< br>?
?
5设变量x，y满足约束条件
?
x＋y≥2
，则目标函数 z＝2x＋y的最小值为( )
?
?
y≥3x－6
A．2
[答案] B
y≤x
?
?
[解析] 在坐标系中画出约束条件?
x＋y≥2
所表示的可行域为图中△ABC，其中A(2,0)，
?
?
y≥3x－6
B(1,1)，C(3,3)，则目标函数z＝2x＋y在点B(1,1)处取得 最小值，最小值为3.

6.已知A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，点P(x ，y)在△ABC内部及边界运动，则z＝x－y的最大值
及最小值分别是( )
A．－1，－3
C．3，－1






B．1，－3
D．3,1
B．3 C．5 D．7


[解析] 当直线y＝x－z经过点C(1,0)时，zmax＝1，当 直线y＝x－z经
过点B(－1,2)时，zmin＝－3. [答案] B

7( 在直角坐标系xOy中，已知△AOB的三边所在直线的方程分别为x＝0，y＝0,2x＋3y＝30，
则△AOB内部和边上整点(即坐标均为整数的点)的总数为( )
A．95
C．88








B．91
D．75

[答案] B
[解析] 由2x＋3y＝30知，y＝0时，0≤x≤15，有16个；

y＝1时，0≤x≤13；y＝2时，0≤x≤12；
y＝3时，0≤x≤10；y＝4时，0≤x≤9；
y＝5时，0≤x≤7；y＝6时，0≤x≤6；
y＝7时，0≤x≤4；y＝8时，0≤x≤3；
y＝9时，0≤x≤1，y＝10时，x＝0.
∴共有16＋14＋13＋11＋10＋8＋7＋5＋4＋2＋1＝91个．
8．某企业生产 甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产
每吨乙产品要用A原料1吨， B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产
品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期 内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18
吨．那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元
C．25万元
[答案] D
[解析] 设生产甲、乙两种产品分别为x吨，y吨，
3x＋y≤13
?
?
2x＋3y ≤18
由题意得
?
x≥0
?
?
y≥0






B．20万元
D．27万元

，
获利润ω＝5x＋3y，画出可行域如图，

?
?
3x＋y＝13
由
?
，解得A(3,4)．
?
2x＋3y＝18
?

52
∵－3<－
3
<－
3
，∴当直线5x＋3y＝ω经过A点时，ωmax＝27.

x－ y＋6≥0
?
?
9．(文)(2010·山东省实验中学)已知实数x，y满足
?
x＋y≥0
，若z＝ax＋y的最大值为
?
?
x≤3
3 a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围为( )
A．a≥1





B．a≤－1
D．a≥1或a≤－1

C．－1≤a≤1
[答案] C
[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示， 则z在点A处取得最大值，在点C处取得最小值．又
kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即 －1≤a≤1.


x＋4y－13≥0
?
?
10.已知 变量x，y满足约束条件
?
2y－x＋1≥0
，且有无穷多个点(x，y)使目标函数 z＝x＋
?
?
x＋y－4≤0
my取得最小值，则m＝( )
A．－2
C．1
[答案] C
[解析] 由题意可知，不等 式组表示的可行域是由A(1,3)，B(3,1)，C(5,2)组成的三角形及其
内部部分．当z＝ x＋my与x＋y－4＝0重合时满足题意，故m＝1.








B．－1
D．4

11.当点M(x，y)在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数z＝ kx＋y取得
最大值的一个最优解为(1,2)，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
B．[－1,1]
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－1,1)
[答案] B
[解析] 由目标函数z＝kx＋y得y＝－kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优< br>解为(1,2)，则0≤－k≤kAC≤1或0≥－k≥kBC＝－1，∴k∈[－1,1]．

y≥x
?
?
12已知x、y满足不等式组
?
x＋y≤2，且z＝2x＋y的最大值是最小值的3倍，则a＝( )
?
?
x≥a
A．0









D．1
[答案] B
[解析] 依题意可知a<1.作出可行域如图所示，z＝2x＋y在A点和B点处分别取得最小值和
最大值．

?
?
x＝a
由
?
得A(a，a)，
?
y＝x
?
?
?
x＋y＝2
由
?
得B( 1,1)，
?
x＝y
?


1
∴zmax＝3，zmin＝3a.∴a＝
3
.
y≥0
?
?
13 (理)已知实数x，y满足
?
y≤2x－ 1
，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m
?
?
x＋y≤m等于( )
A．7
C．4
[答案] B
[解析] 画出x，y满足条件的可行域如图所示，可知在直线y＝2x－1与直线x＋y＝m的交
点A处，目标函 数z＝x－y取得最小值．








B．5
D．3


?
?
y＝2x－1
由
?
，
?
x＋y＝m
?

m＋1
x＝
?
?
3
解得
?
2m－1
y＝
?
?
3
即点A的 坐标为

，
?
m＋1
，
2m－1
?
.
3
??
3
m＋12m－1
将点A的坐标代入x－y＝－1，得
3
－
3
＝－1，即m＝5.故选B.
二、填空题
x－y≥0< br>?
?
14．设变量x，y满足约束条件
?
x＋y≤1
，则目标 函数z＝2x＋y的最大值为________．
?
?
x＋2y≥1
[答案] 2

[解析] 可行域为图中阴影部分△ABC，显然当直线2x＋y＝z经过可行域内的点 A(1,0)时，z
取最大值，zmax＝2.


15．毕业庆典活动中 ，某班团支部决定组织班里48名同学去水上公园坐船观赏风景，支部
先派一人去了解船只的租金情况， 看到的租金价格如下表，那么他们合理设计租船方案后，
所付租金最少为________元.
船型
大船
小船

[答案] 116
[解析] 设租大船x只，小船y只，则5x＋3y≥48，租金z＝12x＋8y，作出可行域
如图，
53
∵－
3
<－
2
，∴当直线z＝12x＋8y经过点,0)时，z 取最小值，但x，y∈N，
∴当x＝9，y＝1时，zmin＝116.

x≥1，y≥1
?
?
16已知M、N是不等式组
?
x－y＋1≥ 0
所表示的平面区域内的不同两点，则|MN|的最大
?
?
x＋y≤6
值是________．
[答案] 17
每只船限载人数
5
3
租金(元只)
12
8

[解析] 不等式组所表示的平面区域 如图中阴影部分(包括边界)所示，由图形易知，点D(5,1)

与点B(1,2)的距 离最大，所以|MN|的最大值为17.


17. (理)如果直线y＝kx＋1 与圆x2＋y2＋kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于
kx－y＋1≥0
?< br>?
b＋1
直线x＋y＝0对称，点P(a，b)为平面区域
?
kx－m y≤0
内任意一点，则的取值范围
a－1
?
?
y≥0
是__ ______．


1
??
[答案]
－1，－
2

??
[解析] ∵直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＋ kx＋my－4＝0相交于M、N两点，且M、N关于x
k
?
m
?
＋ y＝0对称，∴y＝kx＋1与x＋y＝0垂直，∴k＝1，而圆心在直线x＋y＝0上，∴－
2
＋
－
2
??
b＋1
＝0，∴m＝－1，∴作出可行域如图所示，而 表示点P(a，b)与点(1，－1)连线的斜率，
a－1
0＋1
1
∴kmax＝＝－
2
，kmin＝－1，
－1－1
1
??
∴所求取值范围为
－1，－
2
.
??

?
x≤my＋n
?
18．若由不等式组
?< br>x－3y≥0(n>0)确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆
?
?
y≥0
心在x轴上，则实数m＝________.

3
[答案] －
3

[解析] 根据题意，三角形的外接圆圆心在x轴上，
∴OA为外接圆的直径，
∴直线x＝my＋n与x－3y＝0垂直，
113
∴
m
×＝－1，即m＝－
3
.
3
?
x?2
?
19. 若x、y满足约束条件
?
y?2
，则z=x+2y的取值范围是 （ ）
?
x?y?2
?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将
l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A




y
2
O
2
B
y =2
x
x + y =2
A
x=2
?
2x?y?6?0
?
20. 不等式组
?
x?y?3?0
表示的平面区域的面积为
?
y?2
?
y
（ ）
x＋y – 3 = 0
A、4 B、1 C、5 D、无穷大
B
y =2
解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯
M
A
形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B
O
C
x

2x + y – 6= 0 =

5


21. 、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

?
x?y?2
?< br>x?y?2
?
解：|x|＋|y|≤2等价于
?
?
?x?y? 2
?
?
?x?y?2
(x?0,y?0)
(x?0,y
p< br>0)
(x
p
0,y?0)
(x
p
0,y
p< br>0)

y
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到
整点个数为13个，选D

O
x
?
x?y?5
?
22. 已知x、y满足以下约束 条件
?
x?y?5?0
，使z=x+ay(a>0)取
?
x?3?
得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （ ）
A、－3 B、3 C、－1 D、1
解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a >0)取
得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重
合，故a=1 ，选D
23已知x、y满足以下约束条件
?
2x?y?2?0
?
?
x?2y?4?0
，则z=x
2
+y
2
的最大值和
?
3x?y?3?0
?
最小值分别是（ ）
A、13，1 B、13，2
C、13，
y
A
25
4
D、
13
，
5

5
O
x – 2y + 4 = 0
3x – y – 3 = 0
4
，选C
5
jie：如图， 作出可行域,x
2
+y
2
是点（x，y）
到原点的距离的平方，故最 大值为点A（2,3）
到原点的距离的平方，即|AO|
2
=13，最小值
为 原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为
x
2x + y - 2= 0 =
5

24.已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1, 1），则m
的取值范围是 （ ）
A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）
y
?
2x?y?m?3?0
解：|2x－y＋m|＜3等价于
?
?
2x?y?m?3?0
?
m?3?3
由右图可知
?
,故0＜m＜3，选C
m?3?0
?

2x – y + 3 = 0
2x – y = 0
O

?
2x?y?3?0
?
25.已知
x,y
满足不等式组
?
2x?3y?6?0
，求 使
x?y
取最
?
3x?5y?15?0
?
大值的整数
x,y
．
解：不等式组的解集为三直线
l
1
：
2x?y ?3?0
，
l
2
：

y
A

O

l
1

l
3

l
3
：（不
2x?3y?6?0
，
3x?5y?15?0
所围成的三角形 内部
含边界），设
l
1
与
l
2
，
l
1
与
l
3
，
l
2
与
l
3
交点分别为
A,B,C
，则
C

l
2

x

B

1537512
A,B,C
坐标分别为< br>A(,)
，
B(0,?3)
，
C(,?)
，
841 919
作一组平行线
l
：
x?y?t
平行于
l
0< br>：
x?y?0
，当
l
往
l
0
右上方移动时，
t
随之增大，
∴当
l
过
C
点时
x?y< br>最大为
6375
，但不是整数解，又由
0?x?
知
x
可取
1,2,3
，
1919
当
x?1
时，代入原不等式组得
y??2
， ∴< br>x?y??1
；当
x?2
时，得
y?0
或
?1
，
∴
x?y?2
或
1
；
当
x?3
时，
y??1
， ∴
x?y?2
，故
x?y
的最大整数解为
?


?
x?2
?
x?3
或
?
．
?
y ?0
?
y??1
?
2x?y?2
?
26.设变量x、y满足 约束条件
?
x?y??1
，则
z?2x?3y
的
?
x?y?1
?
最大值为 。
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y= 2与直线x-y=-1
的交点A(3,4)处，目标函数z最大值为18


?
x?1,
?
22
27、已知
?
x?y?1?0,
则
x?y
的最小值是 .
?
2x?y?2?0
?
解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而
x?y
表示
可行域内一点到原点的 距离的平方。由图易知A（1，2）是满足
条件的最优解。
x?y
的最小值是为5。




22
22
图1
图2