高中数学最新-不等式与线性规划教案 精品

一 体验高考
1.(2012年高考福建卷,理9)若函数y =2
x
图象上存在点(x,y)满足约
?
x?y?3?0
?
束条件
?
x?2y?3?0
,则实数m的最大值为( B )
?
x?m
?
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:∵x+y-3=0和y=2
x
交点为(1,2),
∴只有m≤1时才能符合条件,故选B.

2.(2012年高考福建卷,理5)下列不等式一定成立的是( C )
(A)lg(x
2
+)>lg x(x>0)
(B)sin x+
1
≥2(x≠kπ,k∈Z)
sinx
1
4
1
2
3
2
(C)x
2
+1≥2|x|(x∈R)
1
>1(x∈R)
2
x?1
11
解析:当x>0时,x
2
+≥2·x·=x,
42
(D)
故lg(x
2
+错误!未找到引用源。)≥lg x(x>0), 当且仅当x=错误!未
找到引用源。时取等号,因此A不对,
B中由于x≠kπ,k∈Z时,sin x的正、负不确定,
因此sin x+
11
≥2或sin x+≤-2,故B不正确,
sinxsinx
C中,由基本不等式x+y≥2
xy
(x>0,y>0) 知x
2
+1≥2
x
2
=2|x|,故C
一定成立,
而D中,由于x
2
≥0,则x
2
+1≥1.因此0<
从而D不正确 ,因此选C.

1
≤1.
x
2
?1

3.(2011年高考湖南卷,理10 )设x,y∈R,且xy≠0,则(x
2
+
的最小值为 .
解析: (x
2
+
1
1
2
)(+4y)
2
2
y
x
11
222
)(错误!未找到引用源。+4y)=1+4xy++4
222
yxy
=5+(4x
2
y
2
+错误!未找到 引用源。)≥5+2
4x
2
y
2
?
1
2
1
=5+2×2=9.
22
xy
当且仅当4x
2
y
2
=错误!未找到引用源。即x
2
y
2
=时取得最小值9.
答案:9
二备考感悟
1.命题与备考
(1)不等式解法常与二次函数、 集合等知识交汇在一起命题;基本不等
式常与函数或代数式的最值问题、不等式恒成立问题、实际应用相 互
交汇命题.在备考中要熟练掌握各种不等式的解法,注意基本不等式
成立的条件.
(2)线性规划有时单独考查目标函数的最值问题,或求字母的取值范
围问题,有时也会与函数、平面向 量、解析几何等相互交汇考查,求解
此类问题时应准确作出不等式表示的平面区域.
2.小题 快做:线性规划问题中,若不等式组表示的平面区域具有边界
且目标函数是线性的,则目标函数的最值就 在其区域边界的顶点处取
得.

三热点考向突破
考向一 不等式的解法
解不等式的常见策略

1.解一元二次不等式的策略:先化为一般形式ax
2
+bx+c>0(a>0),再结
合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式 的解集.
2.解简单的分式不等式的策略:将不等式一边化为0,再将不等式等价
转化为整式 不等式(组)求解;
3.解含指、对数不等式的策略:利用指、对数函数的单调性将其转化
为整式不等式求解;

4.解含参数不等式的策略:根据题意确定参数分类的标准,依次讨论
求解.
【例1】 (1)(2012年高考重庆卷)不等式
(A)(-,1] (B)[- ,1]
(C)(-∞,-错误!未找到引用源。)∪[1,+∞) (D)(-∞,-错误!未找到
引用源。]∪[1,+∞)

?
?x
2
?6x?10(x?3)
2)若函数f(x)=
?
,则关于a的不等式f (6-a
2
)>f(a)
?
log
3
(x?2)?1(x? 3)
1
2
1
2
x?1
≤0的解集为( )
2x?1
的解集是 .
解析:(1)法一:原不等式等价于(x-1)(2x+1)<0或x-1=0,
即-选A. ?
x?1?0
?
x?1?0
法二:原不等式等价于
?
① 或
?
②
2x?1?02x?1?0
??
1
2
解① 得-?
.
故原不等式的解集为{x|-错误!未找到引用源。 未找到引用源。,1].
(2)f(x)=-x
2< br>+6x-10在(-∞,3]上单调递增,f(x)=log
3
(x-2)-1在(3, +
∞)上单调递增且f(x)在(3,+∞)上,f(x)>f(3),
∴f(x)在R上是增函数,
2
∴6-a>a,解得-3答案:(1)A
(2){a|-3

1
2

关注细节：1)求解分式不等式时通常将其转化为整 式不等式求解,但
一定要注意分母不等于零这一条件;(2)不等式的解与解集是不同的,
填空 题中若是求不等式的解集则答案一定要写成集合或区间的形式,
本题(2)中若写为-3热点训练1:(1)(2012年山东威海一模)已知f(x)=
?
式x+x f(x)≤2的解集是 .
(2)(2012年安徽省知名省级示范高中期末)已知不等式a x
2
+bx+c<0的
解集为{x|-22
+bx+a>c(2x-1)+b的解集
为 .
解析:(1)当x≥0时,原不等式可化为x
2
+x-2≤0.
解之得-2≤x≤1,即不等式的解集为{x|0≤x≤1}.
当x<0时,原不等式可化为x
2
-x+2≥0, 即(x-)
2
+≥0恒成立,即不
等式的解集为{x|x<0}.
综上可知原不等式的解集为
{x|0≤x≤1}∪{x|x<0}={x|x≤1}. ?
b
???1
?
2
a
(2)由题意可知a>0,且-2 ,1是方程ax+bx+c=0的两个根,则
?
,
?
?
c
? ?2
?
?
a
1
2
7
4
?
xx?0
,则不等
?
?xx?0
解得
?
?
b?a
, 所以不等式
?
c??2a
cx
2
+bx+a>c(2x-1)+b 可化为-2ax
2
+ax+a>-2a(2x-1)+a,整理得
2x
2-5x+2<0,解得答案:(1){x|x≤1} (2){x|1
2
1
2
1
2
考向二 基本不等式及其应用
利用基本不等式求最值

要特别注意“折(添)、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中一正
二定三相等的条件.
【例2】 (1)(2012年山东青岛一模)已知a>0,b>0,且2a+b=4,则
最小值是( )
(A) (B)4 (C) (D)2
(2)(2012年福州第一中学月考试题 )设x,y∈R,a>1,b>1,若
1
y
3
1
(A)2 (B) (C)1 (D)
2
2
1
的
ab
1
4
1
2
a
x
=b
y
=3,a+b=2
3
,则 +的最大值为( )
1
x
解析:(1)法一:∵2a+b=4,a>0,b>0,
∴4=2a+b≥2
2ab
.
∴ab≤2.
∴
11
≥.
ab2
当且仅当2a=b,即b=2,a=1时取等号,
故选C.

法二:∵2a+b=4,∴+=1.又∵a>0,b>0,
∴
2
∴
C.
(2)因为
1
x
1a11< br>=(+错误!未找到引用源。)×错误!未找到引用源。=+≥
ab22b4a
a
2
b
4
1
.
8ab
11
11
≥即≥ (当且仅当2a=b,即b=2,a=1时取等号).故选
ab2
ab
2
a> 1,b>1,a
x
=b
y
=3,a+b=2
1
y
3
,所以
x=log
a
3,y=log
b
3.+=
1 1
?
=log
3
a+log
3
b
log
a
3log
b
3

< br>=log
3
ab≤log
3
(
23
2
a?b
2
)=log
3
()=1,
2
2
热点训练2:( 1)(2012年山东泰安模拟)函数y=log
a
(x+3)-1(a>0,且a
≠ 1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上(其中m,n>0),则
12
+的 最小值等于( )
mn
(A)16 (B)12 (C)9 (D)8
(2)(2011年高考北京卷)某车间分批生产某种产品,每批的生产准备
费用为800元,若每批生 产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品
每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用 与仓储
费用之和最小,每批应生产产品( )
(A)60件 (B)80件 (C)100件 (D)120件

x
8
解析:(1)∵y=log
a
(x+3)-1恒过定点A(-2,-1),
∴2m+n=1.∴
=4+
1212
+=(+)(2m+n)
mnmn
n4m
n
4m
+≥4+2
?
m
n
mn
1
4
1
2
=8.(当且仅当m=,n=时取等号)故 选D.
(2)设每批生产x件时,平均到每件产品的费用之和为y,
x
800?? x
8
=
800
+
x
≥2
800
?
x
则y=
x8
x
x8
=20(元),
当且仅当
800x
=,即x=80件时费用之和最小,故选B.
x8
考向三 平面区域与线性规划问题
求解线性规划问题的解题思路:线性规划的基 本思想是数形结合,
求解时首先要准确作出可行域,根据目标函数所表示的几何意义和平

面区域的关系,数形结合找到目标函数取到最值时的最优解.
【例3】 (1)(2012年高考四川卷)某公司生产甲、乙两种桶装产品.
已知生产甲产品 1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1
桶需耗A原料2千克,B原料1千克.每桶甲产品 的利润是300元,每
桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每
天 消耗A、B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生
产的甲、乙两种产品中,公司共可 获得的最大利润是( )
(A)1800元 (B)2400元 (C)2800元 (D)3100元
?
y?x,
?
(2)(2011年高考湖南卷)设m>1 ,在约束条件
?
y?mx,
下,目标函数
?
x?y?1
?< br>z=x+my的最大值小于2,则m的取值范围为( )
(A)(1,1+
2
)(B)(1+
2
,+∞)(C)(1,3) (D)(3,+
解析:(1)设生产甲产品x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则
?x?2y?12
?
2x?y?12
?
,z=300x+400y. ?
x?0
?
?
?
y?0
作出可行域,如图阴
向 右上方平移,过点
?
x?2y?12
?
x?4
由
?
,得
?
.∴A(4,4),
y?4
2x?y?12
?
?< br>影部分所示.作直线300x+400y=0,
时,z=300x+400y取最大值,
∴z
max
=300×4+400×4=2800.故选C.
故当直线z= x+my平移至经过可行域中的M点时,z取最大值.由
1
?
x?
?
?
y?mx
1m
?
1?m
解得,则M(,).
?
?
1?m1?m
m
x?y?1
?
?
y?
?
1?m
?
m
2
1?m
2
1
所以z=x+my的最大 值为+=,
1?m
1?m
1?m
依题意知错误!未找到引用源。<2,解得 1-
2
2
,
又m>1,则12
.故选A.

注意：涉及线性规划有关的应用题应根据题意准确列出变量满足的约
束条件及目标函数,并准确 画图确定最优解.
热点训练3:(1)(2011年高考福建卷)已知O是坐标原点,点A(-1,1 ),
?
x?y?2
?
若点M(x,y)为平面区域
?
x?1
上的一个动点,则
OA
·
OM
的值是
?
y?2?
( )
(A)[-1,0] (B)[0,1] (C)[0,2] (D)[-1,2]
?
x?y?0
?
(2)若
?
x?y? 0
,且z=x+2y的最大值是3,则实数a的取值范围
?
y?a
?
是 .
解析:(1)由
OA
·
OM
=(-1,1)·(x ,y)=-x+y.
令z=-x+y即y=x+z.
画出可行域和直

可知当直线经过
当直线经过B(0,2)时,z
max
=2,
故选C.
(2)依题意作出不等式组表示的可行域如图所示.
C(1,1)时,z
min
=0
线y=x,如图,平移y=x,

则当直线x+2y-z=0过点A(a,a)时,z=x+2y取得最大值3.故a+2a=3,
所以a=1.
答案:(1)C (2)1

?
x?1
?
3 (2012年福州市高中毕业班质检)在约束条件
?
y?2
下,目标函
?
x?y?1?0
?
数z=ax+by( a>0,b>0)的最大值为1,则ab的最大值为 .
解析:不等式组错误!未找到引用源 。所表示的可行域如图所示,当目
标函数z=ax+by(a>0,b>0)所表示的平行直线系过点A (1,2)时,目标
函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值,此时有a+2b=1,
由1=a+2b≥2
2ab
,
可得ab≤,当且仅
答案:

1
8
当a=,b=时,ab取最大值.
1
2
1
4
1
8
1
8




第3讲 不等式与线性规划


知识点、方法 题号
不等式的性质与解法 1、4、11、14
基本不等式及应用 3、5、8、13
平面区域问题 6、7、9
线性规划问题 2、10、12

一、选择题
1.若a=
ln2
ln3
ln5
,b=,c=,则( C )
3
25
(A)a(C)c

解析:∵a=
∴=
a< br>b
ln2
ln3
>0,b=>0,
3
2
3ln2
ln8
=.
2ln3
ln9
∵y=ln x在R上为增函数,∴0∴错误!未找到引用源。<1.
∴a?
y?2
?
2.(2012年高考广东卷)已知变量x,y满足约束条件?
x?y?1
,则
?
x?y?1
?
z=3x+y的最大 值为( B )
(A)12 (B)11 (C)3 (D)-1
解析:画出不等式组所表示的平面区域如图所示.

平移y=-3x,易知y=-3x+z过点B(3,2)时,z有最大值11,故选B.
3. (2012年河南郑州第二次质检)若向量a=(x-1,2),b=(4,y)相互垂
直,则9
x
+3
y
的最小值为( D )
(A)12 (B)
23
(C)
32
(D)6
解析:∵a,b互相垂直,
∴a·b=0.
∴4(x-1)+2y=0.
∴2x+y=2.
又9< br>x
+3
y
≥
29
x
?3
y
=
23
2x?y
=6.

(当且仅当9
x
=3
y
,即2x=y=1时取等号).
?
x
,(x?0)
4.(2012年东北三省四市第一次联考)已知函数f(x)=?
,则
2
?
?
x
2
,(x?0)
?< br>f[f(x)]≥1的充要条件是( D )
(A)x∈(-∞,-
2
]
(B)x∈[
42
,+∞)
(C)x∈(-∞,-1]∪[
42
,+∞)
(D)x∈(-∞,-
2
]∪[4,+∞)
解析:当x≥0时,f[f(x)]=≥1,
所以x≥4;
x
2
当x<0时,f[f(x)]=≥1,
2

x
4
所以x
2
≥2,即x≥
2
(舍)或x≤-
2
.
所以x∈(-∞,-错误!未找到引用源。)∪[4,+∞),故选D.
5.(2012年福 建省高中毕业班质检)设a>0,若关于x的不等式x+
≥5在x∈(1,+∞)上恒成立,则a的最小 值为( C )
(A)16 (B)9 (C)4 (D)2
解析:当x>1,a>0时,x+错误!未找到引用源。=(x-1)+
2(x?1)?a
+1=
2a
+1(当且仅当(x-1)
2
=a时取等号),
x?1
a
+1≥
x?1
a
x?1
即此时x+错误! 未找到引用源。的最小值是
2a
+1.
由
2a
+1≥5得a≥4,
即a的最小值为4,故选C.

?
x?0,
?
6.不等式组
?
y?2x,
表示的是一个直角三角形围成的平面区 域,则
?
kx?y?1?0
?
k的取值集合是( B )
(A){0} (B){-,0}
(C)(-错误!未找到引用源。,0) (D)(-错误!未找到引用源。,+∞)
1
2

解析:如图,在平面直角 坐标系中分别画出三条直线所对应的平面区
域,要使不等式组表示的区域是一个直角三角形,应使其中的 两条边
界直线垂直,当直线y=kx+1与直线x=0垂直,即在图中l
1
的位置时,
围成的区域是直角三角形AOB,这时k=0;当直线y=kx+1与直线y=2x
垂直时,即 在图中l
2
位置时,围成的区域是直角三角形AOC,此时k=-,
故k的值等于0或 -.
7.(2012年福建漳州市质检试题)在平面直角坐标系中,若不等式组
?
x ?y?1?0
?
,(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2,则a的值为
?
x?1?0
?
ax?y?1?0
?
1
2
1
2( D )
(A)-5 (B)1 (C)2 (D)3

解析:不等式组错误!未找到引用源。,
所围成的区域如图所示.
∵其面积为2,∴|AC|=4,
∴C的坐标为(1,4),

代入ax-y+1=0,得a=3.故选D.
8.(2012年 衡阳六校联考)已知M是△ABC内一点,且
AB
·
AC
=
23,
∠BAC=30°.若△MBC、△MCA、
△MAB的面积分别为,x,y,则+的最小值为( D )
(A)20 (B)19 (C)16 (D)18
解析:依题意错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=|错误!未< br>找到引用源。||错误!未找到引用源。|cos 30°=
23
,
则|错误!未找到引用源。||错误!未找到引用源。|=4,
故S
△ABC
=|
AB
||错误!未找到引用源。|sin 30°=1.
所以+x+y=1,
即x+y=错误!未找到引用源。.
因此+=2(x+y)( +)
=2[5+(+
=18.
(当且仅当=
故选D.
9.(2012年深圳第一次调研考试)已知变量x,y满足 约束条件
?
x?2y?3?0
?
?
x?3y?3?0,
若目 标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取到最大值,则实数
?
y?1?0
?
y
x
4x
1
,即y=2x=时,等号成立),
y
31
2
1
x
4
y
1
2
1
21
x
4
y
1
x
4
y
y
xy4x
4x
)]≥2(5+
2?
)
y
xy
a的取值范围是( B )

(A)(3,5) (B)(,+∞)
(C)(-1,2) (D)(,1)
1
3
1
2

解析:如图所示,在坐标平面内画出不等式组表 示的平面区域及直线
y-ax=0,要使目标函数z=y-ax仅在点(-3,0)处取到最大值(即直 线
z=y-ax仅当经过该平面区域内的点(-3,0)时,相应直线在y轴上的截
距达到最大 ),结合图形可知a>,故选B.
10.已知点A(a,b)与点B(1,0)在直线3x-4y+1 0=0的两侧,给出下列
说法:
①3a-4b+10>0;
②当a>0时,a+b有最小值,无最大值;
③
a
2
?b
2
>2;
④当a>0且a≠1,b>0时,
b53
的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).
a?124
1
2
其中正确的个数是( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为点A(a,b),B(1,0)在直线3x-4y+10=0的两侧,
所以(3a-4b+10)(3-0+10)<0,

即3a-4b+10<0,故①错误;
因为a>0时,点(a,b)对应的平面区域如图(不含边界),

所以a+b既没有最小值,也没有最大值,故②错误;
因为原点到直线3x-4y+10=0的距离为|
10
|=2,
5
而点(a,b)在直线3x-4y+10=0的左上方,
所以错误!未找到引用源。>2,故③正确;
b
的几何意义是点(a,b)与(1,0)的连线的斜率,
a?1
53
由图可知,取值范围是(-∞,-)∪(,+∞),故④正确.
24
二、填空题
11.(2012年北京市西城区二模)已知函数f(x)=x2
+bx+1是R上的偶函
数,则实数b=
2
;不等式f(x-1)<|x|的解集为 .
解析:∵f(x)=x+bx+1是R上的偶函数,
∴b=0.
2
∴f(x)=x+1.
∴f(x-1)=x
2
-2x+2. < br>∴x
2
-2x+2<|x|等价于
?
?
x?0
或?
2
.
?
x?x?2?0
?
x?0
?
x?3x?2?0
2
,
解之得1答案:0 {x|1?
x?y??1,
?
x?y?3,
?
12.(2012年高考新课标全国卷)设x,y满足约束条件
?
则
x?0,
?
?
?
y?0,
z=x-2y的取值范围为 .

解析:作出不等式组所表示的区域如图,
由z=x-2y得平移直线y=x,
由图象可知当直线经过点
A(3,0)时,直 线y=错误!未找到引用源。x-错误!未找到引用源。z在
y轴上的截距最小,
此时z最大为x-2y=3,当直线经过B点时,直线在y轴上的截距最大,
此时z最小,
由
?
?
x?y??1
,
?
x?y?3
?
x?1
,
y?2
?
1< br>2
解得
?
即B(1,2),此时z=x-2y=1-4=-3,
所以-3≤z≤3,
即z的取值范围是[-3,3].
答案:[-3,3] 13.(2012年济南高三模拟)在△ABC中,角A、B、C所对的边为a,b,c,
若a,b ,c成等差数列,则角B的最大值是 .
解析:由余弦定理知
a
2
?c
2
?b
2
cos B=.
2ac
又∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c.
(a?c)
2
a?c?
4
∴cos B=
2ac
22
3a
2
?3c
2
?2ac
=
8ac
2?3a
2
?3c
2
1
≥-
4
8ac

= (当且仅当a=c时取等号)
又∵B∈(0,π),
∴B∈(0,].
∴角B有最大值.
答案:
14.(2012年福建宁德市质检试题)在R上定义运算☉:x☉y=x(2-y),
若不等 式(x+m)☉x<1对一切实数x恒成立,则实数m的取值范围
是 .
解析:由题意得不等式(x+m)(2-x)<1,
2
即x+(m-2)x+(1-2m)>0对任意x∈R恒成立,
2
因此Δ=(m-2)-4(1-2m)<0,
2
即m+4m<0,解得-4答案:(-4,0)


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1
2
π
3
π< br>3
π
3
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