高考数学线性规划题型总结

线性规划常见题型及解法

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系
最值问题

?
2x?y? 2
?
例1、设变量
x
、
y
满足约束条件
?
x?y??1
，则
z?2x?3y
的最大值为 。

?
x?y?1
?
解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点 A(3,4)处，目标函数
z最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线 性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大
值.，是一道较为简单的送分题。数形结合是数学思想 的重要手段之一。

?
x?2
?
习题1、若x、y满足约束条件?
y?2
，则z=x+2y的取值范围是 （ ）

?
x?y?2
?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线
l
：x+2y＝0，将

A
l
向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值

x + y =2
2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

?
x?1,
?
例2、已知
?
x?y?1?0,
则
x
2
?y2
的最小值是 .

?
2x?y?2?0
?
解析 ：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而
x
2
?y
2
域内一点 到原点的距离的平方。由图易知A（1，2）是满
最优解。
x
2
?y
2
的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘
表示可行
足条件的
目标关系

几何意义的前提下，作出可行域，寻求最 优解。

?
2x?y?2?0
?
习题2、已知x、y满足以下约束条 件
?
x?2y?4?0
，则z=x
2
+y
2
的最 大值和
?
3x?y?3?0
?
最小值分别是（ ）

A、13，1 B、13，2

y
C、13，
25
4
D、
13
，

5
5
解：如图，作出可行域,x
2
+y
2
是点（x，y）到 原点的
距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的
平方，即|AO|
2< br>=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为
选C

练习 2、已知
x
，y满足
?
?
y
x?2y?5?0
，则
?
x?1,y?0
x
?
x?2y?3?0
?
4，
5
的最大值为___________，最小值为____________．

2，0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

?
x?y?2?0
例3、在平面直角坐标系中，不等式组
?
?
x?y?2?0
表示
?
y?0
?
的平面区
域的面积是（）(A)
4 2
(B)4 (C)
22
(D)2

?
x?y? 2?0
解析：如图６，作出可行域，易知不等式组
?
?
x?y?2?0
表示的平面区域是一个三角形。容
?
y?0
?
易求三角形的三个顶点坐标为 Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：
S?
11
|B C|?|AO|??4?2?4.
从而选Ｂ。

22

点评：有 关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用
面积公式整体或部分求解 是关键。

?
2x?y?6?0
?
习题3、不等式组
?x?y?3?0
表示的平
?
y?2
?
面区域
的面积为

（ ） A、4 B、1 C、5 D、无
解：如图，作出可行域，△ABC的 面积
求，由梯形OMBC的面积减去梯形
面积即可，选B

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线
x
2< br>?y
2
?4
的两条渐近线与直线
x?3
围成一个三角形区域, 表示该区域的
不等式组是（）

?
x?y?0
?
x?y?0
?
x?y?0
?
x?y?0
????
(A)
?x?y?0
(B)
?
x?y?0
(C)
?
x?y?0
(D)
?
x?y?0

?0?x?3
?
0?x?3
?
0?x?3
?
0?x?3< br>????
穷大

即为所
OMAC的
解析：双曲线
x< br>2
?y
2
?4
的两条渐近线方程为
y??x
，与直< br>围成一个三角形区域（如图4所示）时有
?
?
x?y?0
。

?
x?y?0
?
0?x?3
?
线
x?3
点 评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。
或排除法是最效的方法。

习题4、如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是
验证法
（ ）

y??2
y??2
?
?
y??2
y??2?
?
?
?
A
?
3x?2y?6?0
B
?
3x?2y?6?0
C
?
3x?2y?6?0
D．
?
3x?2y?6?0
?
?
?
?
?
?
x?0
x?0
x?0< br>x?0
?
?
?
?

C

五、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。

例
?
x?0
5、在约束条件
?
下，当
3?s?5
时，目标函数
?
y?0
?
?
y?x?s
?
?
y?2x?4
C

z?3x?2y
的最大值的变化范围是（）

A.
[6,15]
B.
[7,15]
C.
[6,8]
D.
[7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当
3?s?4
时, 目标函数
z?3x?2y
在
B(4?s,2s?4)
处取得最大值, 即z
max
?3(4?s)?2(2s?4)?s?4?[7,8)
;当
4 ?s?5
时, 目标函数
z?3x?2y
在点
E(0,4)
处取得最 大值,即
z
max
?3?0?2?4?8
,故
z?[7,8]
,从
而选D;

点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为 目标函数Z关于S的
函数关系是求解的关键。

六、求约束条件中参数的取值范围

例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域 包含
点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是
（ ）

A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）

y
?
2x?y?m?3?0
解：|2x－y＋m|＜3等价于
?
2x?y?m?3?0
?
?
m?3?3
由右图可知
?
,故0＜m＜3，选C

m?3?0
?
习题6、不等式
|2x?y? m|?3
表示的平面区域包含点
(0,0)
和点
(?1,1),
则< br>m
的取值范围是
（ ）

A．
?2?m?3
B．
0?m?6
C．
?3?m?6
D．
0?m?3

A

七、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

?
1?x?y?4
例7、已知变量
x
，
y
满足约束条件
?
。若目?
?2?x?y?2
仅在点
(3,1)
处取得最大值，则
a的
z?ax?y
（其中
a?0
）
围为 。

解析：如图5作出可行域，由
z?ax?y?y??ax?z
其表
率为
?a
，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数
标函数
取值范
示为斜
z?ax?y
（其中
a?0
）仅在点
(3,1)
处 取得最大值。则直线
y??ax?z
过Ａ点且在直线
x?y?4,x?3
（不 含界线）之间。即
?a??1?a?1.
则
a
的取值范围为
(1,? ?)
。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘
?a与z
的几何意义的 条件下，借助用数形结合利用各直
线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的
a
的不等 式组即可求解。求解本题需要较强的
基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

?
x?y?5
?
习题7、已知x、y满足以下约束条件
?
x?y?5 ?0
，
?
x?3
?
使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有 无数个，
则a的值为

（ ） A、－3 B、3 C、－1 D、1

解：如图，作出可行域，作直线
l
：x+ay＝0 ，要使目标函数z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则将
l
向右上 方平移后与直线x+y＝5
重合，故a=1，选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题

例8、某公司招收男职员x
名，女职员
y
名，
x
和
y
须满足
?
5x?11y??22,
?
条件
?
2x?3y?9,
则z?10x?10y
的最大值是

?
2x?11.
?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95

约束
zz
，它表示为斜率为
?1
，纵截距为的
10
10
119
平行直线系,要使
z?10x?10y
最得 最大值。当直线
z?10x?10y
通过
A(,)
z
取得最大值。因
22
解析：如图７，作出可行域，由
z?10x?10y?y??x?
为x,y?N
，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，
Z
max
?90.

点评：在解 决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，
调整优解法，通过分类讨 论获得最优整数解。

九、求可行域中整点个数

例9、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）

A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

?
x?y?2
?
x?y?2
?
解：|x|＋|y|≤2等价于
?
?
?x ?y?2
?
?
?x?y?2
(x?0,y?0)
(x?0,y
p
0)
(x
p
0,y?0)
(x
p
0,y
p
0)

y
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容
易得到整点个数为13个，选C

习题9、不等式
x?y?3
表示的平面区域内的整点个数为 （ ）

A． 13个 B． 10个 C． 14个 D． 17个

A