线性规划求最值的归纳

与
2y?3?0
的交点，即A点．
3
?
3
?
∴
P
?
1，
?
．故答案为．
2
?
2?
注：解决本题的关键是理解目标函数
z?
几何意义，当然本题也可设
y y?0
?
的
xx?0
y
?t
，则
y?tx
，即为求
x
y?tx
的斜率的最大值．由图2可知，
y?tx
过点A时，
t最大．代入
y?tx
，求出
t?
3
即得到的最大值是．
2
3
，
2


三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
?
x?y?1?0
?
例3. 已 知实数x、y满足
?
x?y?1?0
，则
w?x
2
?y2
?4x?4y?8
的最值为___________.
?
y??1< br>?
解析：目标函数
w?x
2
?y
2
?4x?4y?8 ?(x?2)
2
?(y?2)
2
，其含义是点(2,2)与可行域
内 的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：
y
1
A
1
C
-1
x+y-1=0
（2，2）
?
-1
B
O x

可行域为图中
?ABC
内部（包括边 界），易求B（-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B的距
离为其到可行域内点的最大值，< br>w
max
?(?2?2)?(?1?2)?25
；点(2,2)到直线x+y- 1=0
的距离为其到可行域内点的最小值，
w
min
?
四 点到直线的距离型
例4.已知实数x、y满足
2x?y?1,求u?x?y?4x?2y
的最小值。 < br>解析：目标函数
u?x?y?4x?2y?(x?2)?(y?1)?5
，其含义是点( -2,1)与可行域
2222
22
22
|2?2?1|32
。 ?
2
2

内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等 式组作可行域如图所示（直线右
上方）：
y
?
(-2,1) 1
O
1

2
2x+y=1
x

点(- 2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求
得d?
169
|2?(?2)?1?1|45
2
?5??
，故< br>d?5?
?
55
5
5
?
x?y?2≥0，
?
已知
?
x?y?4≥0，
，求
z?x
2
?y
2
?10y?25
的最小值．
?
2x?y?5≤0，
?
解析：作出可行域如图3，并求出顶点的坐标A（1，3）、B（3，1）、C（7，9）．而
z?x< br>2
?(y?5)
2
表示可行域内任一点（x，y）到定点M（0，5）的距离的 平方，
9
．
2
注：充分理解目标函数的几何意义，如两点间的距离（或平方 ）、点到直线的距
离等．
过M作直线AC的垂线，易知垂足
Ｎ
在线段
AC
上，故z的最小值是
MN?
2

五 变换问题研究目标函数
?
y?x
?
例5.（山东潍坊08届高三）已知
?
x?y? 2
，且
z?2x?y
的最大值是最小值的3倍，则
?
x?a
?
a等于（ ）
A．
11
22
或3 B． C．或2 D．
33
55
解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，
准确画图找到可行域是关键.如图所示，
z
点和B点分别取得最小值和最大值. 由
?2x?y在A

?
x?a
?
x?y?2
得A(a
?
,a
?
)
，由得
??
?
y?x
?
x?y

B(1，1). ∴
z
max
得
a
?3
?
,
?
zmin
?3a
. 由题意
1
?
?
.
故答案B。
3
六 综合导数、函数知识类
例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数
f(x )的定义域为[?2,??)
，部分对
应值如下表，
f
?
(x)为f (x)
的导函数，函数
y?f
?
(x)
的图象如右图所示. 若两正数a，b
满足
f(2a?b)?1，则
b?3
的取值范围是
a?3
（ ）

x

f(x)



－2
1
0
－1
4
1

64
73
26
C．
(,)

35
A．
(,)

37
53
1
D．
(?,3)

3
B．
(,)

分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找 到原函数的基本性质，将其与所给的函
数性质联系起来。由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2, 0]为单调递减函数，在区间（0，
??
）为单调递增函数。结合题中提供的函数的数据可得< br>?2?2a?b?4
，另外注意到
b?3
的几何意义，转化为线性规划问题可求 解。
a?3
解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区 间（0，
??
）为
单调递增函数，又
f(?2)?1,f(0)??1,f( 4)?1
，故
?2?2a?b?4
，而
a,b
均为正数，
y
4
O 2
x
?
(-3,-3)
可得可行域如图，

b?3
的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故 最大为点（0，4），
a?3
4?370?33
?
，最小为点（2，0）?
，所以答案B. 此时为，此时为
0?332?35
在日常应用中解决最值问题

例．(2009山东卷文)某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B
类产品20件.已 知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,
现该公司至少要生产A类产品50 件,B类产品140件,所需租赁费最少为
__________元. 答案 2300
解析 设甲种设备需要生产天, 乙种设备需要生产天, 该公司所需租赁费为Z元,则Z=200X+300Y，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:
产品 A类产品 B类产品 租赁费
设备
甲设备
乙设备
(件)(≥50)
5
6
(件)(≥140)
10
20
(元)
200
300
则满足的关系为5x+6y>50,10x+20y>140，x>0,y>0 作出不等式表示的平 面区
域,当Z=200X+300Y对应的直线过两直线5x+6y=50与10x+20y=140的 交点(4,5)
时，目标函数取得最低为2300元. 【命题立意】:本题是线性规划的 实际应
用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性
约束 条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题..