高中文科数学线性规划部分常见题型整理

高中文科数学线性规划部分常见题型整理
1．图中的平面区域（阴影部分包括边界）可用不等式组表示为 （ C ）
y
A．
0?x?2

C．
?
?
x?2y?2?0

?
?
?
x?y


0?x?2
B．
?
?
?
0?y?1
x?2y?2?0
D．
?
?
?
x?0
?
y?0
?
1
0
-1
2
x
3．已知点P（
x
0
，
y
0
）和点A（1，2）在直线
l:3x?2y?8?0
的异侧，则 （ D ）
A．
3x
0
?2y
0
?0

C．
3x
0
?2y
0
?8

B．
3x
0
?2y
0
?
0
D．
3x
0
?2y
0
?8



一、求线性目标函数的取值范围

?
x?2
?
4.若x、y满足约束条件
?
y?2
，则z=x+2y的取值范围是 （ ）
?
x?y?2
?
A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线
l
：x+2y＝0，将
y
2
O
B
y =2
x
x + y
x=2
=2
2
A
l
向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值
2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A

?
x?y?2?0
y
?
5.已知变量x、y满足约束条件
?
x?1
，则的取值范围是 （ A ）
x
?
x?y?7?0
?
A.
?
,6
?
B.
?
3,6
?
C.
?
??,
?
?
?
6,??
?
D.
?
??,3
?
?
?
6,??
?
5
?
?
5
?
?
?
9
?
?9
?
二、求可行域的面积
?
2x?y?6?0
?
7. 不等式组
?
x?y?3?0
表示的平面区域的面积为
?
y?2
?
（ ）A、4 B、1 C、5 D、无穷大
解：如图作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯
y
x＋y – 3 =
M
A
O
B
y =2
C
x
2x + y – 6= 0

1

形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B
?
y?|x?1|
5
?
8.已知
x,y?R
，则不等式组
?
y??|x|?2< br> 表示的平面区域的面积是________.
4
?
x?0
?
?
x?0
?
9.不等式组
?
y?0
表示的平面区域的面积 是____，平面区域内的整点坐标 .
?
4x?3y?12
?

三、求可行域中整点个数
10.满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个
y
?
x?y?2
?x?y?2
?
解：|x|＋|y|≤2等价于
?
?
?x?y?2
?
?
?x?y?2
(x?0,y?0)
(x?0,y
?0)
(x
?
0,y?0)
(x
?
0,y
?0)

O
x
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容
易得到整点个数为13个，选D

四、求线性目标函数中参数的取值范围
?
x?y?5
?
11.已知 x、y满足以下约束条件
?
x?y?5?0
，使z=x+ay(a>0)
?
x?3
?
取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（ ）
A、－3 B、3 C、－1 D、1
解：如图，作出可行域，作直线
l
：x+ay＝0，要使 目标函数
z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将
l
向右
上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D
y
x + y = 5
x – y + 5 = 0
O
y
x=3
x

五、求非线性目标函数的最值
?
2x?y?2?0
?
12.已知x 、y满足以下约束条件
?
x?2y?4?0
，则
?
3x?y?3?0
?

2
A
O
x – 2y + 4 = 0
3x – y – 3 = 0
x
2x + y - 2= 0

z=x+y的最大值和最小值分别是 （ ）
A、13，1 B、13，2
C、13，
22
4
5
D、
13
，
25
5

解：如图，作出可行域,x
2
+y
2
是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|
2
=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方， 即为

4
5
，选C
?
x?2
?
13.若 变量
x、y
满足约束条件
?
y?2
，则
z?x?2y
的最小值为 （A）
?
x?y?2
?
A.2 B.3 C.5 D.6


?
x ?y?1
?
14.设
x,y
满足约束条件
?
y?x
,则
z?3x?y
的最大值为（ C ）
?
y??2
?
A． 5 B. 3 C. 7 D. -8


六、求约束条件中参数的取值范围
19.已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值
范围是（ ）
A、（-3,6） B、（0,6） C、（0,3） D、（-3,3）
解：|2x－y＋m|＜3等价于
?
y
2x – y + 3 = 0
2x – y = 0
?
2x?y?m?3?0
?
2x?y?m?3?0

由右图可知
?

?
m?3?3
?
m?3?0
,故0＜m＜3，选C
O
七、线性规划的实际应用
20.某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72
m
，第二种有56
m
，假设生
产每种产品都需要用两种木料，生 产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌
33

3

可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和 衣柜各生产多少,才使获得
利润最多?

木料(单位
m
)
第 二 种
0.08
0.28
3
产 品
第 一 种
圆 桌
衣 柜

0.18
0.09
?
0. 18x?0.09y?72
?
?
0.08x?0.28y?56
解：设生产圆 桌
x
只,生产衣柜
y
个,利润总额为
z
元,那么
?
而
x?0
?
?
?
y?0
z
=6
x
+10
y
.

如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.
作直线
l
: 6
x
+10
y
=0,即
l
:3
x
+5y
=0,把直线
l
向右上方平移至
l
1
的位置时,直线 经过可行域上点M,且
与原点距离最大,此时
z
=6
x
+10
y
取最大值解方程组
?
?
0.18x?0.09y?72
?
0.08x?0.28y?56
,得M点坐标(350,100).答:
应生产圆桌350只 ,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.

18．某厂生产甲、乙两种产品，产量分别 为45个、50个，所用原料为A、B两种规格的金属板，每
张面积分别为2m、3 m，用A种金属板 可造甲产品3个，乙产品5个，用B种金属板可造甲、
乙产品各6个，则A、B两种金属板各取多少张时 ，能完成计划并能使总用料面积最省？

A．A用3张，B用6张
C．A用2张，B用6张




4
22
（ A ）
B．A用4张，B用5张
D．A用3张，B用5张

5