高中数学不等式及线性规划测试题

不等式及线性规划测试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题： < br>11ba
1．若
??0
，给出下列不等式：①
a?b?ab
； ②
a?b
；③
a?b
；④
??2
，
abab
其中正确的不等式有（ ）
Ａ．①②
Ｄ． ③④
Ｂ．②③ Ｃ．①④
2．下列命题中正确的是（ ）
ab
??2

ba
ab
Ｃ．若
a,b?R
且
a?b
，则
a
n
?b
n
(n?N
?)
Ｄ．若
a?b,c?d,
则
?

dc
x?2
?0
的解集是（ ） 3．不等式
x?3
22
Ａ．若
a,b,c?R
,且
a?b
,则
ac?bc
Ｂ．若
a,b?R
且
a?b?0
则< br>A．
?
?3,2
?
B．
?
2,??
?
C．
?
??,?3
?
?
?
2,??
?
D．
?
??,?2
?
?
?
3,??
?

4．不等式
x?3x?2?0
的解集是（ ）
A．
xx??2
或
x??1
B．
xx?1
或
x?2

C．
x?2?x??1
D．
x1?x?2
（ ）
5．已知实系数一元二次方程
x?(1?a )x?a?b?1?0
的两根分别为
2
2
????
????
x
1
,x
2
，且0?x
1
?1
，
x
2
?1，则
b
的取值范围是（ ）
a
1111
A．
(?2,?)
B．
(?2,?]
C．
(?1,?]
D．
(?1,?)

2222
?
x?y?0
?
6．在平 面直角坐标系中，不等式组
?
x?y?4?0
表示的平面区域面积是（ ）．
?
x?1
?
A．
3
B．
6
C．
9
D．
9

2

7．已知
xy?
1
，
0?x?y?1，
t?log
1
x?log
1
y
，则有（ ）
4
22
A．
0?t?1
B．
0?t?1
C．
t?1
D．
t?1

8．某学校拟建一块周长为
400m
的操场如图所示 ，操场的两头是半圆形，中间区域是矩
形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可 能大，则矩形的长应
为（ ）
A．
100

B．
90

C．
85

D．
63.5


??
9．若函数
f(x)?mi n
?
3?log
1
x,log
2
x
?
，其 中
min
?
p,q
?
表示
p,q
两者中的较小者，
3
??
则
f
?
x
?
?2
的解集为 （ ）
A.
?
0,4
?
B.
?
0,??
?
C.
?
0,4
?
?
?
4,??
?
D
?
?
1
?
,??
?

?
4?
10．已知关于
x
的不等式
?
a?b
?
x?
?
2a?3b
?
?0
的解集为
?
?3,??
?
，则
log
6b
a
2
的值
为（ ）
A．
2
B．
4
C．
6
D．
8

11．若
f(x)
是
R
上的减函数，且
f(x)
的图象经过点
A?
0,4
?
和
B
?
3,?2
?
，则当 不等式
|f(x?t)?1|?3
的解集为
?
?1,2
?
时 ，实数
t
的值为（ C ）
A．
?1
B．
0
C．
1
D．
2

12．函数
y?log
a
(x?3)?1(a?0 ,a?1)
的图象恒过定点
A
,若点
A
在直线
mx?ny? 1?0
上,其中
mn?0
，则
A．
4?
12
?的最小值为（ ）
mn
2
B．
4?2
C．
8
D．
6

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：

13．某人
10
点
10
分离家赶
11
点整的火车， 已知他家离车站
10
公里,他离家后先以
3
公里
小时的速度走了5
分钟，然后乘公共浩气去车站，设公共汽车每小时至少走
x
公里才能
不 误当次火车，则
x
所满足的条件是 (不用求解)．
2
14．若关于
x
的不等式
x?ax?a??3
的解集不是 空集，则实数
a
的取值范围
是 ．
?
? |x?1|
15．已知函数
f(x)?
?
2
?
x?1
16．给出下列四个命题：
① 函数
f(x)?x?
② 不等式
(x?0)
(x?0)
那么不等式
f(x)?0
的解集为 ．
9
的最小值为6；
x
2x
?1
的解集是
{x?1?x?1}
；
x?1
ab
?
③ 若
a?b??1
，则；
1?a1?b
④ 若
a?2,b?1
，则
a?b?1
.
A
C
所有正确命题的序号是 ．
三．解答题：
17．⑴已知
x?0
，求
f
?
x< br>?
?
12
?3x
的最小值；
x
4
?x
的最大值. ⑵已知
x?3
，求
f
?
x
?
?
x?3
D
B

18．解关于
x
的不等式
ax?
2
?2?a
．
x
地面

19．某建筑的金属支架如图所示，根据要求
AB
至少长
2.8m
，
C
为
AB
的中点，
B
到
D
的距离比
CD
的长小
0.5m
，
?BCD?60
0
，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎
样设计
AB,CD
的 长，可使建造这个支架的成本最低？
20．北京市某中学准备组织学生去国家体育场“鸟巢”参观．参 观期间，校车每天至少
要运送480名学生．该中学后勤集团有7辆小中巴、4辆大中巴，其中小中巴能 载16
人、大中巴能载32人． 已知每辆客车每天往返次数小中巴为5次、大中巴为3次，每
次运输成本小中巴为48元，大中巴为60元．请问每天应派出小中巴、大中巴各多少辆，
能使总费用最 少？
21．已知
f
?
x
?
?ax?bx?c,b?2a? 0
，试问在区间
?
?1,1
?
上是否存在一个
x
， 使得
2

f
?
x
?
?b
成立，请证明 你结论．
22．已知数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?a
n
?2
，
S
n
是其前
n项和，且
S
3
?9
，二次函数
f(x)?S
n
x
2
?a
n
x?2
的图象与
x
轴有两个交点
?
x
1
,0
?
和
?
x
2
,0< br>?
，且
?3?x
1
??1?x
2
?2
，试求
n
的值
．




不等式的基本性质及简单的线性规划答案解析
一．选择题
11
??0可知
b?a?0
，则有
b?a
，易得②③错，①④正确．
ab
ab
2．C 提示：当
c?0
时，A不成立；当
ab ?0
时，有
???2
，B不成立；由
a,b?R

ba且
a?b
知
a?b?0
，由不等式性质知
a
n
?b
n
(n?N
?
)
成立．
1．C 提示：由
3．C 提示：由分式不等式
2
x?2
?0?
?
x?3
??
x?2
?
?0
，解集为
?
??,?3< br>?
?
?
2,??
?
.
x?3
4．D 提示：由
x?3x?2?0?(x?1)(x?2)?0?1?x?2
．
?
f(0)?0
?
a?b?1?0
5．A 提示：由
0? x
1
?1
，
x
2
?1
可得
?
，在 坐标系中作
?
?
f(1)?02a?b?3?0
??
出满足条件的可 行域，
bb1
即表示可行域内的点与原点连线的斜率，即知
?(?2,?)
．
aa2
6．D 提示：作出满足条件的可行域为一个三角形，且三个顶点的坐标分别为
(?2,2),(1,?1),(1,5)
，易得其面积为
9
．
7．B 提示：由
0?x?y?1
得
t?(log
1
x)?(log
1
y)
>0，
22
log
1
x?log
1
y
又
t?(log
1
x)?(log
1
y)?(
22
22
log
1
xy
)
2
?(
2
22
)
2
?1
．
2
8．A 提示：设矩形的长为< br>xm
，半圆的直径是
d
，中间的矩形区域面积为
sm
．由题< br>s?dx
，知：且
2x?
?
d?400
，∴
s?11
?
d?2x
2
20000
?(
?
d)?( 2x)?()?
．当
2
?
2
?
2
?

且仅当
2x?
?
d?200
，即
x?100
时等号 成立．即设计矩形的长为
100m
宽约为
63.7m
时，矩形面积最大．
?
log
2
x (0?x?4)
?
9．C 提 示：
f(x)?min{3?log
1
x,log
2
x}?
?
，
1
3?log
2
x (x?4)
3
?< br>?2
分别解
f(x)?2
可得
0?x?4
或
x?4< br>．
3b?2a
)
，若
a?b?0
时，其解集为10．A 提示：当
a?b?0
时，其解集为
(??,
a?b
?
a?b ?0
?
?
3b?2a
?
(?3,??)
，由不等式的解集为 知，
,??
?a??6b
，
?
3b?2a
??
? ?3
?
a?b
?
?
?
a?b
2
∴
log
6b
a?log
6b
?
?6b
?
?2
．
2
11．C 提示：
f(x)
的图象经过点
A(0,4)< br>和
B(3,?2)
，即有
f(0)?4,f(3)??2
，
|f(x?t)?1|?3
可得
?2?f(x?t)?4
，
)?f(xt)? f(?)
即
f(30?x0?t??3
，
?
3?t?2
?? t?x?3?t
因其解集为
(?1,2)
，所以有
?
?t?1
．
?
?1??t
12．C 提示：令
x??2
可得
y ?log
2
(?2?3)?1??1
，即得函数
y?log
a
(x?3)?1
恒
过定点A(
?2,?1
)∴
?2m?n?1?0
，即
2m?n?1
，
∴
121212n4mn4m
??( ?)?1?(?)(2m?n)?4?(?)?4?2??8
,
mnmnmnmnmn
?
n4m
1
?
?
m
?
n
,
m?
?
?
12
?
4
当且仅当
?
2m?n?1, ?
?
时不等式取等号．故
?
的最小值为
8
．
mn
?
mn?0,
?
n?
1
?
?
?2
?
二．填空题
13．答案：
3?
545
?x?10
． < br>6060
提示：由题意中的条件，找出速度与时间、路程的关系,抓住关键术语“至少”可以列出
545
?x?10
．
6060
14．答案：
a??6
或
a?2
．
不等式，由题意得
3?

提示：设
f
?
x
?< br>?x
2
?ax?a
.则关于
x
的不等式
x?ax?a ??3
的解集不是空集
2
4a?a
2
??3
，
?f
?
x
?
??3
在
?
??,??
?
上能成立
?f
min
?
x
?
??3
，即
f
min
?
x
?
??
4
解得
a??6
或
a?2
．
15．答案：
(??,?1)?(?1,1)

提示： 当
?|x?1|?0?|x?1|?0?x??1
，又
x?0
，∴
x?0
且
x??1
．
2
当
x?1?0?? 1?x?1
，又
x?0
，∴
0?x?1
，∴解集为
(??, ?1)?(?1,1)
．
16．答案：②③．
提示：当
x?0
，函数
f(x)?x?
92x
?1
知其解集的最小值为6，∴①错；解不等 式
xx?1
0
，∴
?
为
{x?1?x?1}
，∴② 正确；由
a?b??1
可得
a?1?b?1
a?b?a?ab?b?ab?a(1?a)?b(1?b)
?
ab
?
，③正确；
1?a1? b
a?b?a?b?2?1?1
，∴④错．
三．解答题
17．解析：⑴由 题意知，∵
x?0
，∴
f
?
x
?
?
当且仅当
1212
?3x?2?3x?12
，
xx
1212
?3x
，即
x?2
时等号成立，所以
f
?
x
?< br>??3x
的最小值为12.
xx
⑵由题意知，
x?3
，∴
x?3?0
，
44
?x??
?
x?3
?
?3
∴
f
?
x
?
?
x?3x?3
??
?
当且仅当
4
?
4
?
?
?
3?x
?
?
?3??2?
?
3?x
?
?3??1
，
3?x3?x
??
4
?3?x
，即
x?1时等号，∴
f
?
x
?
的最大值为
?1
.
3?x
?
x?1)(ax?2
?
?0
． 18．解：原不等 式等价于
x
当
a?0
时，解集为
[?1,0)
；