高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题

简单的线性规划问题
【知识梳理】
线性规划的有关概念
名称
约束条件
线性约束条件
目标函数
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
线性规划问题
变量x，y满足的一组条件
由x，y的二元一次不等式(或方程)组成的不等式组
欲求最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式
目标函数是关于x，y的二元一次解析式
满足线性约束条件的解(x，y)
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题
意义
【常考题型】
题型一、求线性目标函数的最值
x＋2y≥2，
?
?
【例1】 设 变量x，y满足约束条件
?
2x＋y≤4，
?
?
4x－y≥－1，< br>( )
3
－，6
?
A.
?
?
2
?
C．[－1,6]
x＋2y≥2，
?
?
约束条件
?
2x＋y≤4，
?
?
4x－y≥ －1
3
－，－1
?
B.
?
?
2
?
3
－6，
?
D．
?
2
??

则目标函数z＝3x－y的取值范围是
[解析]

所表示的平面区域如图阴影部分，直线y＝3x－z斜率为
3.

< br>1
?
由图象知当直线y＝3x－z经过A(2,0)时，z取最大值6，当直线y＝3x －z经过B
?
?
2
，3
?
时，
3
z取最小 值－，
2
3
－，6
?
，故选A. ∴z＝3x－y的取值范围为
?
?
2
?
[答案] A
【类题通法】
解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z的几何意义，对一个封 闭图形而
言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．
【对点训练】
x－4y≤－3，
?
?
1．设z＝2x＋y，变量x 、y满足条件
?
3x＋5y≤25，
?
?
x≥1，

求z的最大值和最小值．
[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x＋y变形为y＝－2x
＋z，则得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，且随z变化的一组平行直 线．由图可以看出，当
直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小 ．

?
?
x－4y＋3＝0，
解方程组
?
得A点 坐标为(5,2)，
?
3x＋5y－25＝0，
?

?
?
x＝1，
解方程组
?
得B点坐标为(1,1)，
?
x－4y＋3＝0，
?
∴z
最大值
＝2×5＋2＝12，z
最小值
＝2×1＋1＝3.

题型二、求非线性目标函数的最值

x－y＋5≥0，
?
?
【例2】 设x，y满足条件
?
x＋ y≥0，
?
?
x≤3.
(1)求u＝x
2
＋y
2< br>的最大值与最小值；
y
(2)求v＝的最大值与最小值．
x－5
[解] 画出满足条件的可行域如图所示，



(1)x
2
＋y
2
＝u表示一组同心圆(圆心为原点O)，且对同一圆上的点 x
2
＋y
2
的值都相等，由图
可知：当(x，y)在可行域内取值时 ，当且仅当圆O过C点时，u最大，过(0,0)时，u最小．又
C(3,8)，所以u
最大值
＝73，u
最小值
＝0.
y
(2)v＝表示可行域内的点P(x， y)到定点D(5,0)的斜率，由图可知，k
BD
最大，k
CD
最小，x－5
又C(3,8)，B(3，－3)，
38
所以v
最大值
＝＝，v
最小值
＝＝－4.
3－5
2
3－5
【类题通法】
非线性目标函数最值问题的求解方法
(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离
( 或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到
事半功倍的 效果．
－3

(2)常见代数式的几何意义主要有：
① x
2
＋y
2
表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；
?x－a ?
2
＋?y－b?
2
表示点(x，y)与点(a，b)的距离．
y －b
y
②表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率；表示点(x，y)与点(a，b)连 线的斜率．这些代
x
x－a
数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的 关键．
【对点训练】
x－y＋2≤0，
?
?
2．已知变量x，y 满足约束条件
?
x≥1，
?
?
x＋y－7≤0.
_____ ___．
y
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z＝
表示坐< br>x
标(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C与O连线斜率最大；
59
B与O连线斜率最小，又B点坐标为(，)，C点坐标为(1,6)，所以k
OB
22
9
＝，k
OC
＝6.
5
y9
故的最大值为6，最小值为.
x5
9
[答案] 6

5

y
则的最大值是________，最小值是
x题型三、已知目标函数的最值求参数

x－2≤0，
?
?
【例3】 若实数x，y满足不等式组
?
y－1≤0，
?
?
x＋2y－a≥0，


目标函数t＝x－2y的最大值为2，则实数a的值是________．
[解析] 如右图，
?
?
x＝2，
由
?

?
x＋2y－a＝0.
?

?
x＝2，得
?
a－2
?
y＝
2
，
[答案] 2
【类题通法】

代入x－2y＝2中，解得a＝2.
求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题
解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一 般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结
合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．
【对点训练】
x－y＋5≥0，
?
?
3．已知x，y满足
?
x≤3，
?
?
x＋y＋k≥0.
A．2
C．310

且z＝2x＋4y的最小值为－6，则常数k＝( )
B．9
D．0
[解析] 选D 由题意知，当直线z＝2x＋4y经过直线x＝3与x＋y＋k＝0的交点(3，－3
－k)时，z最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k)，解得k＝0.
题型四、简单的线性规划问题的实际应用
【例4】 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用
不超过9万元，甲、乙 电视台的广告收费标准分别为500元分钟和200元分钟，假定甲、乙
两个电视台为该公司所做的每分 钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该
公司如何分配在甲、乙两个电视台的 广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
?
?
500x＋200y≤90 000，
?
x≥0，
?< br>?
y≥0.
x＋y≤300，


目标函数为z＝3 000x＋2 000y.

?
?
5x＋2y≤900，
二元 一次不等式组等价于
?
x≥0，
?
?
y≥0.
x＋y≤30 0，


作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．

作直线l：
3 000x＋2 000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
?
?
x＋y＝300，
联立
?
解得x＝100，y＝200.
?
?
5x＋2y＝900，
∴点M的坐标为(100,200)．
∴z
最大值
＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
因此 ，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，
最大收益是7 0万元．
【类题通法】
利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时 ，可以列表格来分析数
据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解 ；⑤得出结论．
【对点训练】
4．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2
的排放量b及每万吨铁矿石的价

格c如下表：

A
B

某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO
2< br>的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的
最少费用为________(百万元)．
解析：可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，
a
50%
70%
b(万吨)
1
0.5
c(百万元)
3
6
?
?
y≥0，
则根据题意得到约束条件为：
?
0.5x＋0.7y ≥1.9，
?
?
x＋0.5y≤2，
3×1＋6×2＝15.
答案：15
x≥0，


目标函数为z＝3x＋6y，当目标函数 经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z
最小值
＝
【练习反馈】
2x－y＋1≥0，
?
?
1．z＝x－y在
?
x－2y－1≤0，
?
?
x＋y≤1
A．(0,1)
C．(1,0)

的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )
B．(－1，－1)
11
?
D．
?
?
2
，
2
?

解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x＝0，y＝1时，z＝－1；当x＝－1，y＝
11
－1时，z＝0；当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝，y＝时，z＝0.排除选项A，B，D ，故选C.
22
x＋y≤1，
?
?
2．已知变量x，y满足约束条 件
?
x－y≤1，
?
?
x＋1≥0，
A．3
C．－5

则z＝x＋2y的最小值为( )
B．1
D．－6

解析：选C 由约束条件作出可行域如图：
1zz
由z＝x＋2y得y＝－x＋，的几何意义为直线在y轴上的截距，
222
1z
当直 线y＝－x＋过直线x＝－1和x－y＝1的交点A(－1，－2)时，
22
z最小，最小值为 －5，故选C.
y≤2x，
?
?
3.已知实数x、y满足
?
y≥－2x，
?
?
x≤3，
值是________．
解析：不等 式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函
111
数可化为y＝x－z，作直线y＝x 及其平行线，知当此直线经过点A
222
1
时，－z的值最大，即z的值最小．又A点 坐标为(3,6)，所以z的最小值为3－2×6＝－9.
2
答案：－9
x＋y≤ 4，
?
?
4．已知点P(x，y)的坐标满足条件
?
y≥x，
?
?
x≥1，
________，最大值等于________．
解析： 点P(x，y)满足的可行域为△ABC区域，A(1,1)，C(1,3)．由图可得，|PO|
最小 值
＝|AO|
＝2；|PO|
最大值
＝|CO|＝10.

则目标函数z＝x－2y的最小

点O为坐标原点，那么|PO|的最小值等于

答案：2 10
?
x＋y≥3
?
5．已知x，y满足约束条件
?
，求z＝x＋2y的最小值．
?
2x－3y≤3
?

?
?
x＋y ≥3
解：作出不等式组
?
的可行域，如图所示．
?
2x－3y≤3
?
画出直线l
0
：x＋2y＝0，平移直线l
0
到直线l的 位置，使l过可行
域内某点，且可行域内其他点都在l的不包含直线l
0
的另外一侧， 该
点到直线l
0
的距离最小，则这一点使z＝x＋2y取最小值．
显然，点A满足上述条件，

?
?
x＋y＝3
123?
，
解
?
得点A
?
55
?
，
?
?
?
2x－3y＝3
∴z
最小值
＝

12318
＋2×＝.
555