高考数学中的线性规划问题的总结分析

线性规划问题的专题研究
新教材试验修订本中简单的线性规划是新增的内容，在线性约 束
条件下研究目标函数的最值问题是一类常见的问题，在近几年高考试
题中均有出现，而且灵活 多变。本文结合08年高考出现的几个线性
规划问题，对常见的线型规划问题作以专题总结研究。
一、08年高考中的线性规划问题的总结分析
1.基本问题
?
x?y?1 ?0
?
（1）（08年安徽理）如果实数
x、y
满足条件
?
y?1?0
，那么
2x?y
?
x?y?1?0
?
的最大值为（ ）
A．
2
B．
1
C．
?2
D．
?3

解：本题为较基本的线性规划问题，解决方式应该是：
画定可行域；做目标函数对应平行线束；找到最
大值，如图所示显然是平行线过A点时取
最大值，将A点坐标代入有
Z
max
?1
，故选择B
（2）（08年福建文）
?
?
y?1,
已知实数
x
、
y
满足
?
则
x?2y
的最大值是＿＿＿＿
y?x?1,
?
?
解：本题也是一个基本题型，但从给定的约束条件来看，难度加大 了，
解法如图所示
当平行线过点
B
?
2,1
?
时，
x?2y

区的最大值为4

（3）（08年山东理）某公司招收男职员x名， 女职员y名，x和y须
?
5x?11y??22,
?
满足约束条件
?
2x?3y?9,
则z=10x+10y的最大值是
?
2x?11.
?
(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
解：本题是一个应用性的线性规划问题，经转化实质上是一个整点问
题，实际的约束条件应为
?
5x?11y??22,
?
2x?3y?9,
?
，画出区 域如右图
?
?
2x?11,
?
?
x?N,y?N
过A点时
z
值最大，但由于A点不是整点
故不能取到，所以应该是图中过整点（5，4）的直线使
z
取最大值90
整 点问题是线性规划部分的一个难点，但本题由于只是求最大值，唯
有涉及到取整点是什么，所以难度降低 了，但鉴于它是个应用题，还
是比较灵活的。
（4）（08年辽宁理）双曲线
x2
?y
2
?4
的两条渐近线与直线
x?3
围成
一个三角形区域,表示该区域的不等式组是
?
x?y?0
?
x?y?0??
(A)
?
x?y?0
(B)
?
x?y?0
(C)
?
0?x?3
?
0?x?3
??
?
x?y?0
?
?
x?y?0
(D)
?
0?x?3
?
?
x?y?0
?
?
x?y?0

?
0?x?3
?
解：本题是一个综合性问题，既考查 了线性规划又考查了双曲线的渐
近线问题，但从难度上来说不大，但从此题可以看出，线性规划题型的灵活性，此题结果如下：双曲线
x
2
?y
2
?4
的两 条渐近线方程为

?
x?y?0
?
y??x
，与直线< br>x?3
围成一个三角形区域时有
?
x?y?0

?
0?x?3
?
?
x?y?2?0,
?
（5）（08年浙江理）在平 面直角坐标系中，不等式组
?
x?y?2?0,
表
?
x?2
?
示的平面区域的面积是
(A) (B) (C) (D)
解：本题考查简单的线性规划的可行域、三角形的面积 由题知可行
域为
?ABC
，
1
2
3
2
1
8
9
8

S
?ABC
?

4?0?2
2
?4
，故选择B

（6）（08年四川 理）某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分
别为
a
1
、b
1< br>千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为
a
2
、b
2
千
克 甲、乙产品每千克可获利润分别为
d
1
、d
2
元 月初一次性购进本
月用原料A、B各
c
1
、c
2
千克 要计划本月生产甲、乙两种产品各多少
千克才能使月利润总额达到最大 在这个问题中，设全月生产甲 、乙
两种产品分别为ｘ千克、ｙ千克，月利润总额为ｚ元，那么，用于求
使总利润
z? d
1
x?d
2
y
最大的数学模型中，约束条件为
?
a
1
x?a
2
y?c
1
,
?
a
1
x?a
2
y?c
1
,
?
a
1
x ?b
1
y?c
1
,
?
a
1
x?a
2
y?c
1
,
?
bx?by?c,
?
bx?by? c,
?
ax?by?c,
?
bx?by?c,
?
?
?
122
122
?
1
222
22
（A）（B） （C） （D）
?
?
?
?
?
x?0,
?
x ?0,
?
x?0,
?
x?0,
?
?
?
?< br>?
y?0
?
y?0
?
y?0
?
y?0
解：在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为
x
千克，
y
千
克，月利润总额为
z
元，那么，用于求使总利润
z?d
1
x?d< br>2
y
最大的数
?
a
1
x?a
2
y? c
1
?
bx?by?c
122
，选学模型中，约束条件为
?
?
x?0
?
?
y?0
?
C. 本题应该说是一个基本的
线性规划应用题，而且只需要列出约束条件，所以难度不大

< br>总结：以上6个题，从考查的知识点及题目形式上看，都考查了线性
规划的基本问题，但每个题的 侧重点又有所不同，而且（3），（4），
（5）又有一定的综合性，可见在学习线性规划时，要加强对 学生基
础知识的同时，还要适度培养学生的综合能力。
2.变形题
（1）（08年重庆理）
已知变量
x,y
满足约束条件
1?x?y ?4,?2?x?y?2.
若目标函数
z?ax?y
（其中
a?0
） 仅在点
?
3,1
?
处取得最大值，则
a
的取值范围为
解：本题是一个逆向思维问题，已知变量
x,y
满足约束条件
1?x?y?4,?2?x?y?2.
在坐标系中画出可行域，
如图为四边形AB CD，其中
A
?
3,1
?
,k
AD
?1,k
AB
??1
，
目标函数
z?ax?y
（其中
a?0）中的z表示斜率为
?a

的直线系中的截距的大小，若仅在点
?
3,1
?
处取得最大值， < br>则斜率应小于
k
AB
??1
，即
?a??1
，所以< br>a
的取值范围
为(1，+∞) 由解决问题的过程可见，本题的难度加大了，学生需 要
要良好逆向思维能力，问题转化能力和几何直观能力。
?
x?0
?
y?0
年广东）在约束条件
?
下，当
3?s?5
时，目标函数?
y?x?s
?
?
?
y?2x?4
（2）（08
z?3x?2y
的最大值的变化范围是
A
[6,15]
B
[7,15]
C
[6,8]
D
[7,8]

解：本题的约束条件中出现了变量
s
，由此使问题的 难度一下子加大
了，具体解决方法如下

由
?
?
x?y?s
?
x?4?s

?
?
?
y?2x?4
?
y?2s?4
交点为
A(2,0),B(4?s,2s?4),C(0,s),C
?
(0,4)
，
（1） 当
3?s?4
时可行域是
四边形OABC内部包括边界，此
时，
7?z?8
，如图1，可知
s?3
时，
z
值最大，最大值为
图1
直线过点B时的值，
z
值最大为7；如图2
图2
可知，
s?4
时，
z
值最大，最大值为直线过点C’(此时B与C’重合)
时的值，
z
值最大为8
（2） 当
4?s?5
时，如右图，可行域
是△OA
C
?
此时，
z
max
?8
，故选D
综上所得，
z?3x?2y
的最大值的变化范围是
[7,8]
。
本题从题干上来讲，好像是基本的线性规划，但实际上
由于变量
s
的引入，使此题的查考的范围就不仅仅是基
本的线性规划问题了，还要用到分类讨论的思想，最后
实现问题的解决还要很好的做到形与数的统一。
总结：以上两题在问题设置上摆脱了线性规划 问题的常规模式，比较
新颖，且很灵活，尤其（2），要想正确解答，很困难，可见培养学生
的 综合运用知识能力很关键，尤其是对于高三的学生来说。
3.扩展题

?
x?y?4
?
（1）（08北京理）已知点 P（x，y） 的坐标满足条件
?
y?x,
点O
?
y?1,
?
为坐 标原点，
那么
z?x
2
?y
2
的最小值等于
__ ______
,最大值等于
________
.
解：画出可行域，如图所示：
易得A（2，2），OA＝
22

B（1，3），OB＝
10

C（1，1），OC＝
2

故|OP|的最大值为
10
，
最小值为
2
.
本 题约束条件是线性的，但目标函数却是非线性的，问题的解决关键
是能够很好的利用目标函数的几何特点 ，将求
z?x
2
?y
2
的最值问题
转化为区域内的点到原点 的距离问题，从而实现问题的解决
类似的选取05年高考江西卷的一道题
?
x?y?2?0
y
?
设实数x, y满足
?
x?2y?4?0,则的最大值是
. x
?
2y?3?0
?
解：求的最大值问题可转化为区域内的点和原点的连 线的斜率的最
3
?
大值，画出可行域，如图所示，当原点和
C
?1,
??
连线时，斜率最大，
?
2
?
y
x为，
由此说明的最大值为


y
x
3
2< br>3
2

总结：以上两题说明，在给定约束条件情况下，要利用好目标函数的
几何意义，可以使我们能够站在系统的高度，把握问题的规律，有效
地实现问题解决，而且有助 于加深学生对数学知识的理解和深化。
二、从08年高考题中得到的反思
1．在线性规划问 题的教学中夯实基础，不能存在任何侥幸心理，对
约束条件的建立，目标函数把握上要做到灵活。 2．在线性规划问题的教学中要注意知识的综合运用能力的培养，注
意线性规划问题与函数，解析几 何中其他问题的联系。
3．在线性规划问题的教学中还要注意理论联系实际，尤其是在应用
性 问题的教学中更要注意把握应用问题的实质。