高中数学简单的线性规划问题检测试题(带答案)

高中数学简单的线性规划问题检测试题（带答
案）
1．目标函数z＝4x＋y，将其看成直线方程时，z的几
何意义是()
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的横截距
D．该直线的纵截距的相反数
解析：选B.把z＝4x＋y变形为y＝－4x＋z，则此方程为直
线方程的斜截式，所以z为该直线的 纵截距．
2．若x0，y0，且x＋y1，则z＝x－y的最大值为()
A．－1 B．1
C．2 D．－2
答案：B
3．若实数x、y满足x＋y－20，x4， y5，则s＝x＋y的最大
值为________．
解析：可行域如图所示，
作直线y＝－x，当平移直线y＝－x
至点A处时，s＝x＋y取得最大值，即smax＝4＋5＝9.
答案：9
4．已知实数x、y满足y－2x.x3
(1)求不等式组表示的平面区域的面积；
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(2)若目标函数为z＝x－2y，求z的最小值．
解：画出满足不等式组的可行域如图所示：
(1)易求点A、B的坐标为：A(3,6)，B(3，－6)，
所以三角形OAB的面积为：
S△OAB＝12123＝18.
(2)目标函数化 为：y＝12x－z2，画直线y＝12x及其平行线，
当此直线经过A时，－z2的值最大，z的值最 小，易求A 点
坐标为(3,6)，所以，z的最小值为3－26＝－9.
一、选择题
1．z＝x－y在2x－y＋10x－2y－10 x＋y1的线性约束条件
下，取得最大值的可行解为()
A．(0,1) B．(－1，－1)
C．(1,0) D．(12，12)
解析：选C.可以验证这四个点 均是可行解，当x＝0，y＝1
时，z＝－1；当x＝－1，y＝－1时，z＝0；当x＝1，y＝0< br>时，z＝1；当x＝12，y＝12时，z＝0.排除A，B，D.
2．(2019年高考浙江 卷)若实数x，y满足不等式组x＋3y－
30，2x－y－30，x－y＋10，则x＋y的最大值为 ()
A．9 B.157
C．1 D.715
解析：选A.画出可行域如图：
令z＝x＋y，可变为y＝－x＋z，
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作出目标函数线，平移目标函数线，显然过点A时z最大．
由2x－y－3＝0，x－y＋1＝0，得A(4,5)，zmax＝4＋5＝9.
3．在△ ABC中，三顶点分别为A(2,4)，B(－1,2)，C(1,0)，
点P(x，y)在△ABC内 部及其边界上运动，则m＝y－x的取
值范围为()
A．[1,3] B．[－3,1]
C．[－1,3] D．[－3，－1]
解析：选C.直线m＝y－x的斜率k1＝1kAB＝23，且k1＝1
＜kAC＝4，
直线经过C时m最小，为－1，
经过B时m最大，为3.
4．已知点P(x，y) 在不等式组x－20y－10x＋2y－20表示的
平面区域内运动，则z＝x－y的取值范围是()
A．[－2，－1] B．[－2,1]
C．[－1,2] D．[1,2]
解析：选C.先画出满足约束条件的可行域，如图阴影部分，
∵z＝x－y，y＝x－z.
由图知截距－z的范围为[－2，1]，z的范围为[－1,2]．
5．设动点坐标(x，y )满足x－y＋1x＋y－40，x3，y1.则x2
＋y2的最小值为()
A.5 B.10
C.172 D．10
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解析：选D.画出不 等式组所对应的平面区域，由图可知当x
＝3，y＝1时，x2＋y2的最小值为10.
6． (2009年高考四川卷)某企业生产甲、乙两种产品，已知
生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2 吨；生产每吨乙
产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得
利润5万元、每吨乙 产品可获得利润3万元，该企业在一个
生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是() w w w .x k b 1.c o m
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
解析：选D.设生产甲产品x吨、乙产品y吨，则获得的利润
为z＝5x＋3y.
由题意得
x0，y0，3x＋y13，2x＋3y18，可行域如图阴影所示．
由 图可知当x、y在A点取值时，z取得最大值，此时x＝3，
y＝4，z＝53＋34＝27(万元)．
二、填空题
7．点P(x，y)满足条件0101，y－x12则P点坐标为_______ _
时，z＝4－2x＋y取最大值________．
解析：可行域如图所示，新课标第一网
当y－2x最大时，z最大，此时直线y－2x＝z1，过点A(0,1)，
(z1)max＝ 1，故当点P的坐标为(0,1)时z＝4－2x＋y取得
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最大值5.
答案：(0,1) 5
8．已知点P(x，y)满足条 件xx2x＋y＋k0(k为常数)，若x
＋3y的最大值为8，则k＝________.
解析：作出可行域如图所示：
作直线l0∶x＋3y＝0，平移l0知当l0过点A时，x＋ 3y最
大，由于A点坐标为(－k3，－k3)．－k3－k＝8，从而k＝
－6.
答案：－6
9．(2019年高考陕西卷)铁矿石A和B的含铁率a，，冶炼每
万吨 铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下
表：
a b万吨 c百万元
A 50% 1 3
B 70% 0.5 6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨) 铁，若要求CO2的排放量不
超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．
解析：设购买A、B两种铁矿石分别为x万吨、y万吨，购买
铁矿石的费用为z百 万元，则z＝3x＋6y.
由题意可得约束条件为12x＋710y1.9，x＋12y2，x0，y0.
作出可行域如图所示：
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由图可知，目标函数z＝3x＋ 6y在点A(1,2)处取得最小值，
zmin＝31＋62＝15
答案：15
三、解答题
10．设z＝2y－2x＋4，式中x，y满足条件01022y－x1，求z的最大值和最小值．
解：作出不等式组01022y－x1的可行域(如图所示)．
令t＝2y－2x则z＝t＋4.
将t＝2y－2x变形得直线l∶y＝x＋t2.
则其与y＝x平行，平移直线l时t的值随直线l的上移而
增大，故当直线l经过可行域上的点A时， t最大，z最大；
当直线l经过可行域上的点B时，t最小，z最小．
zmax＝22－20＋4＝8，
zmin＝21－21＋4＝4.
11．已知实 数x、y满足约束条件x－ay－102x＋y1(aR)，目
标函数z＝x＋3y只有当x＝1y＝0 时取得最大值，求a的取
值范围．
解：直线x－ay－1＝0过定点(1,0)，画出区域2 x＋y0，x1，
让直线x－ay－1＝0绕着(1, 0)旋转得到不等式所表示的平
面区域 ．平移直线x＋3y＝0，观察图象知必须使直线x－ay
－1＝0的斜率1a＞0才满足要求，故a＞ 0.
12．某家具厂有方木料90 m3 ，五合板600 m2，准备加工
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成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需要方木料0.1 m3，
五合板2 m2；生产每个书橱需要方木料0.2 m3，五合板1 m2，
出售一张方桌可获利润80元；出售一个书橱可获利润120
元．
(1)如果只安排生产方桌，可获利润多少？
(2)如果只安排生产书橱，可获利润多少？
(3)怎样安排生产可使所获利润最大？
解：由题意可画表格如下：
方木料(m3) 五合板(m2) 利润(元)
书桌(个) 0.1 2 80
书橱(个) 0.2 1 120
(1)设只生产书桌x张，可获利润z元，
则0.1x600xN*900x300xN*300，xN*.
目标函数为z＝80x.
所以当x＝300时，zmax＝80300＝24000(元)，
即如果只安排生产书桌，最多可生产300张书桌，获得利润
24000元．
(2)设只生产书橱y个，可获利润z元，则
0.2y901600yN*450y600yN*450，yN*.
目标函数为z＝120y.
所以当y＝450时，zmax＝120450＝54000(元)，
即如果只安排生产书橱，最多可生产450个书橱，获得利润
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54000元．
(3)设生产书桌x张，书橱y个，利润总额为z元，则 < br>0.1x＋0.2y902x＋y0，x0，xNx＋2y900，2x＋y600，x0，y0，
且xN，yN.
目标函数为z＝ 80x＋120y.
在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域 ，
即可行域(图略)．
作直线l∶80x＋120y＝0，即直线l∶2x＋3y＝0(图略)．
把直线l向右上方 平移，当直线经过可行域上的直线x＋2y
＝900,2x＋y＝600的交点时，此时z＝80x＋1 20y取得最大
值．
由x＋2y＝9002x＋y＝600解得交点的坐标为(100,400)．
所以当x＝100，y＝400时，
zmax＝80100＋120400＝56000(元)．


因此，生产书桌100张，书橱400个，可使所获利润最大．
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