高中线性规划

一、 线性规划：
在高中阶段，所要学习的线性规划是比较简单的。在这个阶段，线性规划的定义为
求一个函数，在一定区域内的最大或最小值。
用数学语言描述为
目标函数
：
minax?by
或
maxax?by

约束条件
：第一象限内的两条直线,将这两条直线记为

m
1
x?n
1
y?b
1
（这是第一条直线）

m
2
x?n
2
y?b
2
（这是第二条直线）

x?0,y?0
（第一象限内
x,y
都是正的）
以上的各个字母为 已知的数。上面的数学语言也许很难，不过，我们可以先通过一个例子来
认识线性规划
求
max2x?4y

约束条件：
x?y?1


2x?y?2

x?0,y?0

这个线性规划的意义是：求函数< br>2x?4y
在由第一象限内的两条直线
x?2y?0
与
3x?y?0< br>围成的区域内的最大值。
在高中阶段解决线性规划用的是图解法。意为先把区域图出来，再令目 标函数=0，得
到一条直线，用这条直线沿区域自左向右移动（或从下往上移），看求最大值还是最小值 ，
如果求最小值则是直线与区域交的第一点。如果求最大值，则是直线与区域交的最后一点。
下面先看两个例子。
例1.
min2x?4y

约束条件：
x?y?1

2x?y?2

x?0,y?0

解：先画出图形：
y

2x?y?2

直线与区域交的第后一点
（

0，2）
2x?4y?0

直线与区域交的第一个点 （1，0）
x

o

x?y?1


所求的区域为上图阴影部分。令目标函 数
2x?4y?0
，因为求的是最小值，我们找到直线
与区域交的第一个点（1，0） ，于是将这个点代入到目标函数的最小值
2?1?4?0?2

例2.
max2x?3y

约束条件：
x?y?1


2x?y?3


x?0,y?0

解：画出图形得

2x?y?3

直线与区域交的最后一点 （2，1）
2x?3y?0

x

o

x?y?1

直线与区域交的第一个点 （0，0）

令目标函数
2x?3y?0
，因为求的是最大值，我们找到直线与区域交的最后一点（ 2，1），
于是将这个点代入到目标函数的最大值
2?2?3?1?7

总 结
：上面的解题过程，显示了区域的重要性，试想，如果区域画错，则所选取第一
个点与最后一 个点出错，则整个题出错。因此
如何画出正确区域
，是解题的关键。
画出正确区域< br>：1，画出直线。我们可以用两点确定一条直线，找到直线上两个点，
然后连接这两个点就得到这 条直线。2，找区域。主要是确定区域在直线的左边还是右边，
我们可以代入一些特殊的点。比如（0， 0）。如果代入的点不满足不等式，则含（0，0）侧
的区域不满足不等式，排除之。
心得：
我们发现，一般情况下，直线所围成的区域是一个多边形；不管是求最大值，
还是求最小值，最 终选取的那个点一定是区域的顶点；有时候，所有约束所围成的区域不是
封闭的，这时候，线性规划无解 ；当目标函数的直线与线束条件的直线平行时，此时，目标
函数将有无穷多个解。
线性规划的深入：
下面先看第一个例子
例3．
max2x?3y?5

约束条件：
x?y?1


2x?y?3

x?0,y?0

分析这个例子，它与例2区别只有一个，就是目标函数多了“
?5
”，试想下，如果例2
能求到最大值，则例3的最大值也就是例2的最大值+5，因为例 2的最大值为7，所以例3
的最大值为7+5=12.（如果例3的目标函数是
max2x?3 y?6
，那么你现在会做了吗）
例4.
max2x?3y

约束条件：
x?y?1


2x?y?3


x?1,y?1

分析这个例子，他与例2的区别是
x?1,y?1
。我们回过头去看线性规划，它的要求是
x?0,y?0
，那么这个题怎么做呢我们可以令< br>m?x?1,n?y?1
，那么
x?m?1,y?n?1
代入到上面，就得到下 面的问题




max2(m?1)?3(n?1)

约束条件：
(m?1)?(n?1)?1


2(m?1)?(n?1)?3


m?1?1,n?1?1

化简得到下面的问题：

max2m?3n?5

约束条件：
m?n?1


2m?n?4

m?0,n?0

而这个问题，可以使用例3的想法。