高中数学圆的方程典型例题71000

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2
高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点
A(1,4 )
、
B(3,2)
且圆心在直线
y?0
上的圆的标准方程并判断点< br>P(2,4)
与圆的关
系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的 半径的大小，而要判断点
P
与圆的位置关系，
只须看点
P
与圆心的距 离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，
则点在圆上；若距离小于半 径，则点在圆．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为
(x?a)?(y?b)?r
．
∵圆心在
y?0
上，故
b?0
．
∴圆的方程为
(x?a)?y?r
．
又∵该圆过
A(1,4)
、
B(3,2)
两点．
22
?
?
(1?a)?16?r
∴
?

2 2
?
?
(3?a)?4?r
222
222
解之得：
a??1
，
r?20
．
所以所求圆的方程为
(x?1)?y?20
．
解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过
A(1,4)
、
B (3,2)
两点，所以圆心
C
必在线段
AB
的垂直平分线
l
上，又因为
22
2
k
AB
?
4?2
??1
，故
l
的斜率为1，又
AB
的中点为
(2,3)
， 故
AB
的垂直平分线
l
的方程为：
1?3
y?3?x?2< br>即
x?y?1?0
．
又知圆心在直线
y?0
上，故圆心坐标为
C(?1,0)

∴半径
r?AC?(1?1)?4?
22
22
20
．
故所求圆的方程为
(x?1)?y?20
．
又点
P(2,4)
到圆心
C(?1,0)
的距离为
d?PC?(2?1)
2
?4
2
?25?r
．
∴点
P
在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的 圆心和半径这两个关键的量，然后
根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系 ，若将点换成直线又该如何
来判定直线与圆的位置关系呢？
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2

例2 求半径为4，与圆
x?y?4x?2y?4?0
相切，且和直线y?0
相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
22
(x?a)?(y?b)?r
． 解：则题意，设所求圆的方程为圆
C：
圆
C
与直线
y?0
相切，且半径为4，则圆心
C
的 坐标为
C
1
(a,4)
或
C
2
(a,?4)
．
又已知圆
x?y?4x?2y?4?0
的圆心
A
的坐标为(2,1)
，半径为3．
若两圆相切，则
CA?4?3?7
或
CA?4?3?1
．
(1)当
C
1
(a,4)
时，
(a?2)?(4?1)?7
，或
(a?2)?(4?1)?1
(无解)，故可得
222222
22
222
a?2?210
．
222222
∴所求圆方程为
(x?2 ?210)?(y?4)?4
，或
(x?2?210)?(y?4)?4
．
(2)当
C
2
(a,?4)
时，
(a?2)?(?4?1)?7，或
(a?2)?(?4?1)?1
(无解)，故
222222
a?2? 26
．
222222
∴所求圆的方程为
(x?2?26)?(y?4)?4
，或
(x?2?26)?(y?4)?4
．
说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线
y?0
相切且半径 为4，则圆心坐标为
C(a,4)
，且方程形如
(x?a)
2
?(y ?4)
2
?4
2
．又圆
x
2
?y
2
?4x?2y?4?0
，即
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3
2
，其圆心为
222
半径为3．若两圆相切，则
CA?4?3< br>．故
(a?2)?(4?1)?7
，解之得
a?2?210
．所
A(2,1)
，
222222
以欲求圆的方程为
(x?2?210)?(y ?4)?4
，或
(x?2?210)?(y?4)?4
．
上述误解只考虑了 圆心在直线
y?0
上方的情形，而疏漏了圆心在直线
y?0
下方的情形．另外 ，误
解中没有考虑两圆切的情况．也是不全面的．
例3 求经过点
A(0,5)，且与直线
x?2y?0
和
2x?y?0
都相切的圆的方程．
分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点
A
，故只需确定圆心坐标． 又
圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．
解：∵圆和直线
x?2y?0
与
2x?y?0
相切，
∴圆心
C
在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线
x?2y?0
和
2x?y?0
的距离相等．
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2
∴
x?2y
5
?
x?2y
5
．
∴两直线交角的平分线方程是
x?3y?0
或
3x?y?0
．
又∵圆过点
A(0,5)
，
∴圆心
C
只能在直线
3x?y?0
上．
设圆心
C(t,3t)

∵
C
到直线
2x?y?0
的距离等于
AC
， ∴
2t?3t
5
?t
2
?(3t?5)
2
．
2
化简整理得
t?6t?5?0
．
解得：
t?1
或
t?5

∴圆心是
(1,3)，半径为
5
或圆心是
(5,15)
，半径为
55
． < br>∴所求圆的方程为
(x?1)?(y?3)?5
或
(x?5)?(y?15)? 125
．
说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心 坐标得到
圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．

例4、 设圆满足：(1)截
y
轴所得弦长为2；(2)被
x
轴分成 两段弧，其弧长的比为
3:1
，在满足条
件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线< br>l：x?2y?0
的距离最小的圆的方程．
分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆 心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个
条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹， 若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线
的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐 标，进而确定圆的半径，求出圆的方
程．
解法一：设圆心为
P(a,b)
，半径为
r
．
则
P
到
x
轴、
y
轴的距离分别为
b
和
a．
由题设知：圆截
x
轴所得劣弧所对的圆心角为
90?
，故圆 截
x
轴所得弦长为
2r
．
∴
r?2b

又圆截
y
轴所得弦长为2．
∴
r?a?1
．
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■
2222
22
22

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2
又∵
P(a,b)
到直线
x?2y?0
的距离为
d?
a?2b
5

2
∴
5d
2
?a?2b

?a
2
?4b
2
?4ab

?a
2
?4b
2
?2(a
2
?b
2
)

?2b
2
?a
2
?1

当且仅当
a?b< br>时取“=”号，此时
d
min
?
5
．
5
?
a?b
这时有
?
2

2
?< br>2b?a?1
?
a?1
?
a??1
∴
?
或< br>?

b?1b??1
??
又
r?2b?2

故所求圆的方程为
(x?1)?(y?1)?2
或
(x?1)?(y?1)?2

解法二：同解法一，得
2222
22
d?
a?2b
5
．
∴
a?2b??5d
．
∴
a?4b?45bd?5d
．
将
a?2b?1
代入上式得：
22
222
2b
2
?45bd?5d
2
?1?0
．
上述方程有实根，故
??8(5d
2
?1)?0
，
∴
d?
5
．
5
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2
将
d?
2
5
代入方程得
b??1
．
5
2
又
2b?a?1
∴
a??1
．
由
a?2b?1
知
a
、
b
同号．
故所求 圆的方程为
(x?1)?(y?1)?2
或
(x?1)?(y?1)?2
．
说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程
2222
4
?
与圆
O
相切的切线． 例5 已知圆
O：x?y?4
，求过点
P
?
2，
22
4
?
不在圆
O
上， 解：∵点
P
?
2，
∴切线
PT< br>的直线方程可设为
y?k
?
x?2
?
?4

根据
d?r

∴
?2k?4
1?k
2
?2

3

4
3
所以
y?
?
x?2
?
?4

4
解得
k?
即
3x?4y?10?0

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜 率不存在．易求另一条切线为
x?2
．
说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．
本题还有其他解法， 例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏
2
解）．还可以运用x
0
x?y
0
y?r
，求出切点坐标
x
0、
y
0
的值来解决，此时没有漏解．
例6 两圆
C
1
：x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与
C
2
：x?y?D
2
x?E
2
y?F
2< br>?0
相交于
A
、
B
两
点，求它们的公共弦
A B
所在直线的方程．
分析：首先求
A
、
B
两点的坐标，再 用两点式求直线
AB
的方程，但是求两圆交点坐标的过程
太繁．为了避免求交点，可以 采用“设而不求”的技巧．
解：设两圆
C
1
、
C
2
的任一交点坐标为
(x
0
,y
0
)
，则有：
2 222
x
0
?y
0
?D
1
x
0
? E
1
y
0
?F
1
?0
①
x
0
?y
0
?D
2
x
0
?E
2
y
0
?F
2
?0
②
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■
22
22

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2
①－②得：
(D
1
?D
2
)x
0
?(E< br>1
?E
2
)y
0
?F
1
?F
2?0
．
∵
A
、
B
的坐标满足方程
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0
．
∴方程
(D
1
?D2
)x?(E
1
?E
2
)y?F
1
?F
2
?0
是过
A
、
B
两点的直线方程．
又过
A
、
B
两点的直线是唯一的．
∴两圆
C1
、
C
2
的公共弦
AB
所在直线的方程为
(D
1
?D
2
)x?(E
1
?E
2
)y?F< br>1
?F
2
?0
．
说明：上述解法中，巧妙地避开了求
A
、
B
两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去
求它，而是利用曲 线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，
从知识容的角度上说， 还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质
认识．它的应用很广泛．

例7、过圆
x?y?1
外一点
M(2,3)
，作这个圆的 两条切线
MA
、
MB
，切点分别是
A
、
B
，求
直线
AB
的方程。





练习：
1．求过点
M(3,1)
，且与圆
(x?1)?y?4相切的直线
l
的方程．
解：设切线方程为
y?1?k(x?3)
，即
kx?y?3k?1?0
，
∵圆心
(1,0)
到切线
l
的距离等于半径
2
，
∴
22
22
|k?3k?1|
k?
?
?1
?
2
2
3
?2
，解得
k??
，
4

3
(x?3)
，即
3x?4y?13?0
，
4
当过点
M
的直线的斜率不存在时，其方程为
x?3
，圆心
(1,0)
到此直线的距离等于半径
2
，
故直线
x?3
也适合题意。
所以，所求的直线
l
的方程是
3x?4y?13?0
或
x?3
．
5
22
2、过 坐标原点且与圆
x?y?4x?2y??0
相切的直线的方程为
25
22
解：设直线方程为
y?kx
，即
kx?y?0
. ∵圆方程可化为
(x?2)?(y?1)?
，∴圆心为（2，
2
∴切线方程为
y?1??
2k?1
10
1
10
?
-1），半径为 .依题意有，解得
k??3
或
k?
，∴直线方程为
y??3x
或
3
2
2
k
2
?1
y?
1
x< br>.
3
22
3、已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x?2x?y?0
相切，则
a
的值为 .
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■

高中新课程 交流中心：longlingwu123456@
数学
必修2
解：∵圆
(x?1)
2
?y
2
?1
的圆心为（1， 0），半径为1，∴


类型三：弦长、弧问题
5?a
5?12< br>22
?1
，解得
a?8
或
a??18
.
例 8、求直线
l:3x?y?6?0
被圆
C:x?y?2x?4y?0
截得的弦
AB
的长.


22
例9、直线
3x?y?23 ?0
截圆
x?y?4
得的劣弧所对的圆心角为
22
解：依 题意得，弦心距
d?3
，故弦长
AB?2r?d
的劣弧所对的圆心角为
?AOB?
22
22
?2
，从而△OAB是等边三角形，故截得
?
3
.
22
例10、求两圆
x?y?x?y?2?0
和x?y?5
的公共弦长

类型四：直线与圆的位置关系
22
例11、已知直线
3x?y?23?0
和圆
x?y?4
，判断此直线与已知圆 的位置关系.



例12、若直线
y?x?m
与曲线< br>y?
解：∵曲线
y?
4?x
2
有且只有一个公共点，数
m
的取值围.
4?x
2
表示半圆
x
2
?y2
?4(y?0)
，∴利用数形结合法，可得实数
m
的取值围
是
?2?m?2
或
m?22
.
例13 圆
(x?3)?(y ?3)?9
上到直线
3x?4y?11?0
的距离为1的点有几个？
分析： 借助图形直观求解．或先求出直线
l
1
、
l
2
的方程，从代 数计算中寻找解答．
解法一：圆
(x?3)?(y?3)?9
的圆心为
O< br>1
(3,3)
，半径
r?3
．
设圆心
O
1
到直线
3x?4y?11?0
的距离为
d
，则
d?
22
22
3?3?4?3?11
3?4
22
?2?3
． < br>如图，在圆心
O
1
同侧，与直线
3x?4y?11?0
平行且 距离为1的直线
l
1
与圆有两个交点，这两
个交点符合题意．
■■■ 第 1 页 共 2 页 ■■■