(完整版)高中数学题型归类总结

例5已知
x?
?
0,
?
?
，求函数
y?sinx?
题型九：三角函数中的求值问题
2
的最小值。（
y
min
?3
）
sinx
三角函数式的求值的类型一般可分为:
(1)“给角求值”：给 出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间
的关系，利用公式转化或消除非特 殊角
（2）“给值求值”：给出一些角得三角函数式的值，求另外一些角得三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解
（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角 的范围求出角。若角的范围较大，
应缩小角的范围，达到范围内只有一个满足条件的角。缩小范围的方法 ：1、利用三角函数
值得正负缩小。2、利用与特殊角的函数值的大小比较来缩小。
（4）“ 给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进
行化简，再求之
00
例题：1、计算
sin40(tan10?3)
的值。（-1）
2、 已知tan(45°+θ)=3,求sin2θ-2cosθ的值
?
?
2
?
4
?
?

5
??
3、已知sin(
?
524
cos2x
?
的值。（）
?< br>x)=，0?
41313
4
cos(?x)
471
11
?
,tan
?
??
，求α+2β。（）
3
4
50
10
?
,求2α+β的值（）
10
4
4、若
?
,
?
?(0,
?< br>)
，
cos
?
??
5、已知α，β为锐角，tanα=17 sinβ=
题型十：利用三角函数的性质解决问题
1、 已知函数
f(x )?2sin
xxx
cos?23sin
2
?3
．
444
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令g(x)?f
?
x?
?
?
π
?
?
，判 断函数
g(x)
的奇偶性，并说明理由．
3
?
2、已知函数
f(x)?cos(2x?
?
)?2sin(x?)sin(x?)

344
,]
上的值域
122
??
（Ⅰ）求函数
f(x)
的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数
f(x)
在区间
[?
??
3、设函数
f(x)?sin(2x?
?
) (?
?
?
?
?0),y ?f(x)
图像的一条对称轴是直线
x?
(Ⅰ)求
?
； (Ⅱ)求函数
y?f(x)
的单调增区间；
?
8
.

4、已知函数
f(x)?sin(
?
x?
?
)(
?
?0,0?
?
?
?
)是R
上的偶 函数，
3
?
其图象关于点
M(,0)
对称，且在区间
?< br>0,
?
?
上是单调函数求
?
和
?
的值 ?
4
?
2
?
?
题型十一：利用正余弦定理判断三角形形 状
对于三角形的形状主要是通过边与边、角与角的关系进行判断，所以判断三角形的关系主要方法有：1、通过求角或边的具体值。2、通过角与角的关系，把条件全部转
化成角。3、 通过边与边的关系，把条件全部转化成边。
例题：

1、在△ABC中，a
2
+b
2
=c
2
+ab，且sinAsinB=
3
，求证：△ABC为等边三角形.
4
tanAa
2
?
2
，试判断△ABC的形状（等腰或直角） 2、在△ABC中，若
tanB
b
3、在△ ABC中，已知sinB·sinC＝cos
2


题型十二：求数列的通项公式
数列的通项公式的实质是
a
n
与n
之间的函数关系式。求通向的常用方法有：
1、 观察法，根据数列的一部分项存在的规律，进而总结出通项公式
A
，试判断此三角形的类型（等腰三角形）
2
?
s
1
(n?1)
2、 公式法，就是利用
a< br>n
与s
n
的关系求通向的方法
a
n
?
?，此类问题有
s?s(n?2)
?
nn?1
两种题型1、
sn
?f(n)
，用公式法，注意验证首项。2、
s
n
?f(a< br>n
)
用公式法转化
成递推公式。
3、 递推公式法：有三种形式的递 推公式可以求通项：1、累加法：
a
n
?a
n?1
?f(n)

2、累积法：
a
n
?f(n)
。3、待定 系数法构造等比数列：
a
n
?pa
n?1
?q
构
a
n?1
n
n
造
a
n
?m?p(a
n?1< br>?m)
.4、通过变形构造等新等差或等比数列
a
n
?pa
n ?1
?q
同除
p

例题
例1 已知
a
1
=1,
a
n
+1
=
a
n
+2+
n
,
求
a
n

n

a
n
=2
n
-
n
(
n
-1)
-1

2
例2 已知
a
1
=1,
a
n
+1
a
n
=
n
+2
,
求
a
n
n
a
n
=
1
n
(
n+
1)

2
1
a
+3,
求
a
n

2
n
例3已知
a
1
=1,
a
n
+1
=1

a
n
=6-5?()
n
-1

2
例4
a
1
?
511
n?1
,
a
n?1
?a
n
?()
，求
a
n
。 632
b
1
n
1
n
a
n
?
n
?3()?2()

n
23
2
n
例5已知数列?
a
n
?
的前n项和s
n
?2?1求a
n
a
n
?2
n?1

例6已知数列
?
a
n
?
满足s
n
?3a
n
?4求a
n
?
3
?
a
n
??2
??
?
2
?
n?1

题型十三：证明数列的类型并求通项
在数列 的解答题中，这是重要的一个类型。通过证明数列的类型，指明了构造新数列
的方向，所以必须将已知条 件变形，构造出新数列中相邻的两项。进而由新数列的通
项公式写出原数列的通项公式。
例题 ：1、设数列
?
a
n
?
的前n项和为
?
s
n
?
，已知
a
1
?1,s
n?1
?4a
n
?2

（1） 设
b
n
?a
n?1
?2a
n
，证明数列
?
b
n
?
是等比数列
n?2
（2） 求数列
?
a
n
?
的通项公式（a
n
?(3n?1)g2

2、已知数列
?a
n
?
满足
a
1
?1,a
2
?2,a
n?2
?
（1）证明数列
?
a
n?1
?a
n
?
是等比数列
a
n
?a
n?1
,n?N
*

2

（2）求数列
?
a
n
?
的通项公式
3、若数列
?
a
n
?
满足：
a
1
?
等差数列
提醒十四：数列求和的方法
对于数列求和是数列中一个重要题型，常用的求和方法有：1、公 式法：直接利用等
差等比的求和公式。2、分组求和：适合于通项公式为等差或等比或可求和的数列的代 数和
组成的。3、裂项相消：通项公式可以分拆成两项的差，求和时中间的部分可以抵消4、错
位相减：数列的通项为等差和等比的对应项的积构成的。5、倒序相加：数列只要满足，距
离首位两项距 离相等的两项和相等。
例题讲解：
1、 求
1+4+7+????+（3n?1)
的值。
2
,a
2
?2,3(a
n?1
?2a
n
?a
n?1
)?2
。 证明数列
?
a
n?1
?a
n
?
是
3
3n
2
5n
??1
） （
s
n
?
22
1
8
1111
3、
求数列
2
，
2
，
2
，
的前n项和。
????，
2
1+22+43+6n?2n
311
（
s
n
??
）
?
42n?22n?4
1114、求数列已知
?
a
n
?
:1,
求它的前n项和 ,,
gggg
,
1?21?2?31?2?3?
gggg
?n< br>2a
n
2
,n?1,2,3
LL

5.已知数列?
a
n
?
的首项
a
1
?,a
n?1< br>?
3a
n
?1
2、 求数列
1,2,3,
ggggg
的前n项和
（1） 证明：数列
?
1
2
1
4
?
1
?
?1
?
是等比数列
?
a
n
?
?
n
?
（2）求数 列
??
的前n项和s
n

?
a
n
?
4
x
122007
,
求和s=f(
)?f()?
gggg
?f()

6、 设
f(x)?
x
4?22
题型十五：数型结合问题
数型结合是重要 的一种解决问题的方法，主要是解决方程根的个数问题，以及通过图
像找出满足条件的结论。四种等价转 化的说法一定要注意：函数
y?f(x)?g(x)
的零
点
?
f(x )?g(x)?0
的根
?
函数
y?f(x)?g(x)
的图像与x轴 交点的横坐标值

?
f(x)与g(x)交点的横坐标值
。所 以根的个数，就等于交点个数。此类问题常用
对数和指数函数结合运用。所以作函数图像必须掌握好。
例题讲解：
1、
已知0?a?1，则方程a
|x|
?|loga
x|的实根个数为(2)

2、若
a
x
?1?a有两个根，求a的取值范围。（
0?a?1
）
?
1
?
3、函数
f(x)?x?
??
的零点个数有几个？（1）
?
2?
4、已知函数
y?f(x)
的周期为2，当
x?
?
? 1,1
?
时，
f(x)?x
。那么
y?f(x)
与
2
1
2
x
y?lgx
图像的交点个数为几个？（10）
e
2
(x?0)
5、已知函数
f(x)??x?2ex?m?1,g(x)?x?
x
2
（1）若
y?g(x)?m
有零点，求m的取值范围。（
?
2e,??
?
）
（2）确定m的取值范围，使得
g(x)?f(x)?0有两个相异 实根。
（
?e?2e?1,??
）
题型十六：平面向量的综合运用
在解答题中，常以平面向量为背景，与其他知识结合运用，特别是和三角函数及
平面几 何的结合。在这些问题中，都是通过向量的坐标运算，进而转化整式，进而解决问题。
所以向量中平行、 垂直及内积的坐标运算公式必须掌握。
例题讲解：
1．已知坐标原点为
?
2
?
O，抛物线y
2
＝2x与过焦点的直线交
→→
于A、B两 点，则OA·OB等于________．
3
答案 －
4

C2．已知向量m＝(0，－1)，n＝(cosA,2cos
2
2
)，其中A、B 、C是
△ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求|m＋n|的取值范围．
25
答案 [
2
，
2
)

3．(2012·烟台调研)已知向量m＝(a＋c，b)，n＝(a－c，b－a)，
且m·n＝0 ，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，
C的对边．
π
(1)求角C的大小；C＝
3
.
3
(2)求sin A＋sin B的取值范围．
2
题型十七：抽象函数的应用
抽象函数的应用是函数中的一个重要题型。利用抽象函数常 解决一下问题。1、求
函数解析式。1、求特殊自变量的函数值。3、判断函数的奇偶性和单调性。4、 解抽象函数
不等式。解决的方法分别有：1、换元法、配凑法。2、赋值法。3、只能用定义法。4、只 能
用函数的单调性。
例题讲解：

例1：已知
f(
例2：已知
例3 已知
证
x2?x
）
)?2x?1
,求
f(x)
.（
f(x)?
x?11?x
11
f(x? )?x
3
?
3
，求
f(x)
（
f(x)?x(x< br>2
?3)?x
3
?3x
，(|
x
|≥1)）
xx
f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)
,对一切实数
x
、
y
都成立，且
f(0)?0
,求
f(x)
为偶函数。

例4奇函数
f(x)
在定义域（-1，1）内递减，求满足
f(1 ?m)?f(1?m
2
)?0
的实数
m
的取
值范围。 5设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x、y，有f(x+y)=f( x)f(y)，
求证：f(x)在R上为增函数。
6、已知偶函数f(x)的定义域是x≠ 0的一切实数，对定义域内的任意x
1
,x
2
都有
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
，且 当
x?1
时
f(x)?0,f(2)?1
，
（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数； （2）解不等式
f(2x?1)?2

题型十八：线性规划求最值
利用线性规划可以解决生活中的最优问题，实质是求目标 函数的最值：目标函数
有线性的和非线性的。对于线性的目标函数的解决过程是：写出约束条件、作可行 域、在可
行域内找出最优解（注意将目标函数化成斜截式，发现目标函数Z和纵截距的变化关系）、2

代入目标函数求出最值。对于非线性的：转化成求斜率和两点间距离的最值问题。
例题讲解：
?
y??x?2,
?
1．已知不等式组
?
y?kx?1,< br>所表示的平面区域为面积等于1的三角形，则实数k的值为 B
?
x?0
?
A．－1 B．
?
1
1
C． D．1
2
2
?
x?1
?
2．设
x,y?
R且满足
?
x?2y?3?0
，则
z?x?2y
的最小值等于 ( B )
?
y?x
?
A.
2


B.
3
C.
5
D.
9

?
x?0,
y?3
?
3．若实数x，y 满足
?
y?0,
则
z?
的取值范围是（ D ）
x?1
?
4x?3y?12,
?
3
A．
(,7)

4
B．
?
,5
?

3
?
2
?
??
C．
?
,7
?
D．
?
,7
?
< br>34
?
2
?
??
?
3
?
??
?
2x?y?0
?
4．实数
x,y
满足不等式组
?
x?y?2?0
，且
z?ax?y
?
a?0
?
取最小值的最优解有无穷
?
6x?3y?18
?
多个, 则实数a的取值是 （ B ）
A．
?
4
B．1
5
C．2 D．无法确定
5．已知方程：
x
2
?ax?2b?0

(a?R,b?R )
，其一根在区间
(0,1)
内,另一根在区间
(1,2)
内，则
z?(a?3)
2
?b
2
的取值范围为 B
A.
(

2
1
,2)
B.
(,4)
C.
(1,2)
D.
(1,4)

2
2