高中数学新课标课程标准2018-课本人教a版高中数学必修四
学 海 无 涯
?
?
?
1.(本小题满分12分)已
知函数
f(x)?2msin
2
x?23msinx?cosx?n
的定义域
为
?
0,
?
,
?
2
?
值域为
?<
br>?5,4
?
.试求函数
g(x)?msinx?2ncosx
(
x?R
)的最小正周期和最值.
2.(本小题满分12分)
11
两个人
射击,甲射击一次中靶概率是p
1
,乙射击一次中靶概率是p
2
,已知 ,
是方程
p
1
p
2
x
2
-5x + 6
= 0
5
的根,若两人各射击5次,甲的方差是 .
4
?1? 求
p
1
、p
2
的值;
?2?
两人各射击2次,中靶至少3次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?
?3?
两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目的,则完成目的的概率是多少?
3.(本小题满分12分)
22
P是以
F
1
、F
2
为焦点的双曲线C:
x
2
?
y
2
?1
(a>0,b>0)上的一点,已知PF
1
?PF
2
=0,
ab
|PF
1
|?2|PF
2
|
.
(1)试求双曲线的离心率
e
; <
br>(2)过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P
1
、P
2
两点,当
OP
1
?OP
2
??
0,求双曲线的方程.
4.(本小题满分14分)
设
f(x)
是定义在[-1,1]上的偶函数,
g(x)
的图象与
f(x)
的图象关于直线
x?1
对称,且
当
x∈[ 2,3 ]
时,
g(x)?2a(x?2)?4(x?2)
3
.
(1)求
f(x)
的解析式;
(2)若
f(x)
在
(0,1]
上为增函数,求
a
的取值范围;
(3)是否存在正整数
a
,使
f(x)
的图象的最高点落在直线
y?12
上?若存在,求
出
a
的值;若
不存在,请说明理由.
27
,
2PP
1
?PP
2
=
4
数学擂台高考题答案
1.解析:
f(x)??3msin2x?mcos
2x?m?n??2msin(2x?)
?m?n
6
1
?
学 海 无 涯
?
?
?
7
?
?
?
?
1
??
?
?
x?
?<
br>0,
?
?2x??
?
,
?
?sin(2x?)??
?,1
?
…………………………4’
6
?
2
?
6
?
66
??
2
?
1
当
m<
br>>0时,
f(x)
max
?
?2m(?)?m?n?4
,f(x)
min
??m?n??5
2
解得
m?3,n
??2
,………………………………………………………………6’
从而,
g(x)?3sinx?4cosx?5sin(x?
?
)
(x?R)
,
T=
2
?
,最大值为5,最小值为-5;…
……………………………………………8’
当m<0时,
解得
m??3,n?1
,………………………………………………10’
从而,g(x)??3sinx?2cosx?13sin(x?
?
)
,T=
2
?
,最大值为
13
,
最小值为
?13
.……………………………………………………………………12’
2.解析:?1? 由题意可知 ?
甲
~ B(5, p
1
),
51111
∴ D?
甲
= 5p
1
?1-p
1
? = ? p
1
2
-p
1
+
= 0 ? p
1
= .2分;又 · = 6,∴ p
2
=
442p
1
p
2
1
. 3分
3
?2? 两类情况:共击中3次概率
111211111
2112
C
2
? ?
2
? ?
0
×C
2
? ?
1
? ?
1
+ C
2
? ?
1
? ?
1
×C
2
? ?
2
? ?
0
= ;
223322336
11121
22
共击中4次概率C
2
? ?
2
? ?
0
×C
2
? ?
2
? ?
0
= . 6分
223336
117
所求概率为 + = . 8分
63636
?3? 设事件A, B分别表示甲、乙能击中.∵ A,
B互相独立(9分),∴ P??A·?B ? = P??A ?
121
P??B ? =
?1-P?A? ??1-P?B? ? = ?1-p
1
??1-p
2
?
= × = (11分),∴ 1-P??A·?B ? =
233
2
为所求概率. 12分
3
3.解(1)∵
|PF
1
|?2|PF<
br>2
|
,
|PF
1
|?|PF
2
|?2a,∴
|PF
1
|?4a
,
|PF
2
|?2a<
br>.
∵
PF
1
PF
2
=0
,∴(4a)
2
+(2a)
2
=(2c)
2
,∴
e
?
c
a
?5
.……………………4分
1
学 海 无 涯
x
2
y
2
(2)由(1)知,双曲线的方程可设为
2
?
2
?1
,渐近线方程为
y??2x
.…5
a4a
分
设P
1
(x
1
,2x
1
),P
2
(x
2
,-2x
2
),P(x,y).
∵
OP
1
OP
2
??3x
1
x
2
??
27
,∴
x
1
x
2
?
9
4
4
∵点P在双曲线上,∴
(2x
化简得,
xx
12
2x
1
?x
2
?
x?,
?
3
. ∵
2PP
1
?PP
2?0
,∴
?
………8
?
?
y?
2(2x
1
?x
2
)
.
?
3
?
分
1
?x
2
)
2
(2x
1
?x<
br>2
)
2
??1
.
9a
2
9a
2<
br>9
4
?
9a
2
8
.∴
9a
8
2
?
.∴
a
2
?2
.∴双曲线的方程为
x2
2
?
y
2
?1
…12
8
分
4.解:(1)当x∈[-1,0]时,2-x∈[2,3],f(x)=g(2-x)= -2ax+
4x
3
;当x∈
(0,1]
时,
f(x)=f(-x)=2ax-4
x
3
,
?
?2ax?4x
3
,?1
≤x≤0,
?
∴
f(x)?
?
………………………………………4分
3
?
?
2ax?4x,0?x≤1.
(2)由题设知,
f<
br>?
(x)
>0对x∈
(0,1]
恒成立,即2a-12x
2<
br>>0对x∈
(0,1]
恒成立,于是,
a>6x
2
,从而a>
(6x
2
)
max
=6.………………………8分
(3)因f(x)为偶函数,故只需研究函数f
(x)=2ax-4x
3
在x∈
(0,1]
的最大值.
令
f
?
(x)
=2a-12x
2
=0,得
x?
a.…10分 若
a
∈
(0,1]
,即0<a≤6,则
6
6
[f(x)]
max
?f(
a
)?2a?
6
a
?4(
6
a
3
)?2a?
6
a
≤12,
6
故此时不存在符合题意的
a
;
若
a
>
1,即a>6,则
f(x)
在
(0,1]
上为增函数,于是
[f(x
)]
max
?f(1)?2a?4
.
6
令2a-4=12,故a=8. 综上,存在a = 8满足题设.………………13分
1
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