一道经典高中数学题详解

已知函数f（x）=ln（e
x
+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函 数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，
1]上的减函数

（I）求a的值；

（II）求λ的取值范围；

（III）若g（ x）≤t
2
+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围．

解 ：（1）∵函数f（x）=ln（e
x
+a）
是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0 所以a=0．…（3分）

（2）g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减 函数g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立∴λ≤-cosx．…
（5分）

又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）< br>
（3）∵g（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（x）
max
=g（ -1）=-λ-sin1．

只需-λ- sin1≤t
2
+λt+1．∴
(t+1)λ+t+sin1+1≥0.

2
&其中λ≤-1

恒成立．…（10分）

令h（λ）=（t+1）λ+t+sin1+1，

2
t+1≤0

则

∴

-t-1+t+sin1+1≥0.
2
t≤-1

t-t+sin1≥0.
2

而t
2
-t+sin1≥0恒成立，∴t≤-1．…（13分）