高中数学题型解法归纳《函数的零点个数问题》

【知识要点】
一、方程的根与函数的零点
（1 ）定义：对于函数
y?f(x)
（
x?D
，把使
f(x)=0
成立的实数
x
叫做函数
y?f(x)
（
x?D
的
））
零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等.
（ 2）函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)=0
的实数 根，亦即函数
y?f(x)
的图像与
x
轴的交点的横坐标，即：方程
f(x)=0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图像与
x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有
零点.
（3）零 点存在性定理：如果函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图像是一条连续 不断的曲线，并且有
使得
f(c)?0
，这
f(a)?f(b)?0
，那么函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内至少有一个零点，即存在
c?(a,b）
个
c
也就是方程的根.
函数
y?f(x )
在区间
[a,b]
上的图像是一条连续不断的曲线，并且有
f(a)?f( b)?0
是函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
内至少有一个零点的 一个充分不必要条件.
零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零 点存在性定理确定，一般通过
数形结合解决.
二、二分法
（1）二分法及步骤 < br>对于在区间
[a,b]
上连续不断，且满足
f(a)?f(b)?0
的 函数
y?f(x)
，通过不断地把函数的零点所
在的区间一分为二，使区间的两个端点 逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法.
（2）给定精确度
?
，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：
第一步： 确定区间
[a,b]
，验证
f(a)?f(b)?0
，给定精确度
?
.
第二步：求区间
(a,b)
的中点
x
1
. < br>第三步：计算
f(x
1
)
：①若
f(x
1
)
=0，则
x
1
就是函数的零点；②若
f(a)f(x
1)?0
，则令
b?x
1
（此
时零点
x
0?(a,x
1
)
）③若
f(x
1
)f(b)?0
，则令
a?x
1
（此时零点
x
0
?(x
1
,b)
）

第四步：判断是否达到精确度
?
即若
a?b?
?
，则得到零点值
a
或
b
，否则重复第二 至第四步.
三、一元二次方程
f(x)?ax?bx?c?0(a?0)
的根的分布
讨论一元二次方程
f(x)?ax?bx?c?0(a?0)
的根的分布一般从以下个 方面考虑列不等式组：
（1）
a
的符号； （2）对称轴
x??
数值的符号.
四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小 于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零
点保留小数点后一位数字，要看小数点后 两位，四舍五入.
五、方法总结
函数零点问题的处理常用的方法有：(1) 方程法；（2）图像法；（3）方程+图像法.
【方法点评】
方法一
使用情景
解题步骤

【例1 】已知函数
f(x)=3x+2(1-a)x-a(a +2)
区间
(?1,1)
内有零点，求实数
a
的取值范围.
2
2
2
b
的位置； （3）判别式的符号； （4）根分布的区间端点的函
2a
方程法
方程可以直接解出来.
先解方程，再求解.

【点评】（1）本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就 比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.
（2）对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式 分解，再考虑其它方法.
【反馈检测
1
】函数
f(x)?(x?1)cos x
2
在区间
[0,4]
上的零点个数是（ ）

A．4

B．5

C．6

D． 7


方法二
使用情景
图像法
一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像.

解题步骤

先求函数的单调性，再画图分析. 学科@网
【例2】（20 17全国高考新课标I理科数学）已知函数
f(x)?ae
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求a的取值范围.
2x
?(a?2)e
x
?x
.

(2) ①若
a?0,
由（1）知
f(x)
至多有一个零点.
②若
a?0
，由（1）知当
x??lna
时，
f(x)
取得最小值，< br>f(?lna)?1?
（i）当
a?1
时，
f(?lna)
= 0，故
f(x)
只有一个零点.
（ii）当
a?(1,??)
时， 由于
1?
（iii）当
a?
时，
1?
（0,1）
1
?lna
.
a
1
?lna
>0，即
f(?lna )?0
，故
f(x)
没有零点.
a
1
?lna?0
，即
f(?lna)?0
.
a
f(?2)?ae
?4
?(a?2)e
?2
?2??2e
? 2
?2?0,
故
f(x)
在
(??,?lna)
只有一个零 点.
3
设正整数n
0
满足n
0
?ln(?1),则f(n
0
)?e
n
0
(ae
n
0
?a?2)?n
0
?e
n
0
?n
0
?2
n
0?n
0
?0
a
3
由于ln(?1)??lna,因此f(x)在 （-lna,+?)有一个零点.

a
综上所述，a的取值范围为（0,1）.
【点评】（1）本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法. 由于第1问已经求出了
函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当
a?
时，要先判断
(??,lna)（0,1）
的零点的个数，此时考查了函 数的零点定理，
f(?lna)?0
，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它
就是
f(?2)?ae
?4?2?2
?(a?2)e?2??2e?2?
要
0,
说明
f(?2)?0
，这里利用了放缩法，丢掉了
ae
?4< br>?ae
?2
.(3) 当
a?
时，要判断
(?lna,??)
上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该
（0,1）

< br>区间找一个函数值为正的值，它就是
n
0
?ln(?1)
，再放缩证明
f(n
0
)
>0. （4）由此题可以看出零点定
理在高考中的重要性.
【例3】已知
x?3
是函数
f
?
x
?
?aln
?
1?x
??x
2
?10x
的一个极值点.
（Ⅰ）求
a
；（Ⅱ） 求函数
f
?
x
?
的单调区间；
（Ⅲ）若直线
y? b
与函数
y?f
?
x
?
的图象有3个交点，求
b< br>的取值范围.
3
a

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
f
?x
?
在
?
?1,1
?
内单调增加，在
?
1,3
?
内单调减少，在
?
3,??
?
上单调增加，且当
x?1
或
x?3
时，
f
'
?
x
?
?0

所以
f
?
x
?
的极大值为
f
?
1
?
?16ln2?9
，极小值为
f
?
3
?
?32ln2?21

因此
f
?
16
?
?16
2
?10?16?16ln2?9?f
?
1
?< br>
f
?
e
?2
?1
?
??32?11??2 1?f
?
3
?

所以在
f
?
x
?
的三个单调区间
?
?1,1
?
,
?
1,3
?
,
?
3,??
?
直线
y?b
有
y?f< br>?
x
?
的图象各有一个交点，当且
仅当
f
?
3
?
?b?f
?
1
?
，因此，
b
的取值范 围为
?
32ln2?21,16ln2?9
?

【点评】本题第(3 )问，由于函数
f(x)
中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.
ex
【反馈检测2】已知函数
f(x)?
，其中
a
为实数，常数< br>e?2.718
1?ax
2
(1) 若
x?
.
1
是函数
f(x)
的一个极值点，求
a
的值；
3
(2) 当
a??4
时，求函数
f(x)
的单调区间；

(3) 当
a
取正实数时，若存在实数
m
，使得关于
x
的方程
f(x)?m
有三个实数根，求
a
的取 值范围.

方法三
使用情景
方程
?
图像法
函数比较复杂，不容易求函数的单调性.
先令
f(x)?0
,重新构造方程
g(x)?h(x)
,再画函数
y?g(x),y?h(x)
的图像分析解题步骤
解答.
【例
4
】函数
f
?
x?
?lgx?cosx
的零点有 （ ）
A
．
4
个
B
．
3
个
C
．
2
个
D
．
1
个






【点评】（
1
）本题主要考察 零点的个数，但是方程
f(x)?lgx?cosx?0
也不好解，直接研究函数的单
调性不是很方便，所以先令
f
?
x
?
?lgx?cosx?0
,可化为
lgx?cosx
,再在同一直角坐标系下画出
y?lgx
和< br>y?cosx
的图像分析解答.（2）方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和 灵活
应用.

【反馈检测3】设函数
f
?
x
?< br>?
1
2
x?mlnx,g
?
x
?
?x
2
?
?
m?1
?
x,m?0
．
2
（1）求函数
f
?
x
?
的单调区间；
（2）当
m?1
时，讨论函数
f
?
x
?
与
g
?
x
?
图象的交点个数．
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：
函数零点个数问题的求解方法参考答案

【反馈检测1答案】
C

【 反馈检测2答案】（1）
a?
9
5115
；（2）
f(x)
的单调增区间是
(1?,)
，
(,1?)
；
5
2222< br>1
15
5
（3）
a
的取值范围是
(1,??)
.
f(x)
的单调减区间是
(??,?)
，
(?,1?)
，
(1?,??)
；
2
22
2
(ax
2
?2ax?1)e
x
【反馈检测2详细解析】(1)
f
?
(x)?< br>
22
(1?ax)
1
1是函数
f(x)
的一个极值点，所以
f
?
()?0
，
3
3
129
即
a?a?1?0,a?
.
935< br>95915
9
而当
a?
时，
ax
2
?2ax ?1?(x
2
?2x?)?(x?)(x?)
，
5
595331
9
可验证：
x?
是函数
f(x)
的一个极值点.因此
a?
.
3
5
因为
x?
(?4 x
2
?8x?1)e
x
(2) 当
a??4
时，
f
?
(x)?

(1?4x
2
)
2
令
f
?
(x)?0
得
?4x2
?8x?1?0
，解得
x?1?
所以当
x
变化时，< br>f
?
(x)
、
f(x)
的变化是
1
5
，而
x??
.
2
2
x

f
?
(x)

1
(??,?)

2
?

15

(?,1?)
22
1?
5

2
(1?
51

,)
22
15

(,1?)
22
1?
5

2
(1?
5
,??)

2
?

0

极小值
?


?


0

极大值
?

f(x)

因此
f(x)
的单调增区间是
(1?
1
15
5115< br>)
，
,)
，
(,1?)
；
f(x)
的单调减 区间是
(??,?)
，
(?,1?
2
22
2222
(1?
5
,??)
；
2

??x?m
??
x?m
??
【反馈检测3详细解析】（1）函数
f< br>?
x
?
的定义域为
?
0,??
?
,f'?
x
?
?
．
【反馈检测3答案】（1）单调递增区间是
?
m,??
, 单调递减区间是
0,m
；（2）
1
．学科@网
?
x
当
0?x?
当
x?
m
时，
f'
?
x?
?0
,函数
f
?
x
?
单调递减，
m
时，
f'
?
x
?
?0
函数
f
?
x
?
单调递增，
综上，函数
f
?
x
?< br>的单调递增区间是
（2）令
F
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
??
?
m,??
, 单调递减区间是
0,m
．
???
1
2
x?< br>?
m?1
?
x?mlnx,x?0
,问题等价于求函数
F?
x
?
的零点个数，
2
F'
?
x
?< br>??
?
x?1
??
x?m
?
x
,当
m?1
时，
F'
?
x
?
?0
，函数
F?
x
?
为减函数，

综上，函数< br>F
?
x
?
有唯一零点，即两函数图象总有一个交点．