高考数学题型分类

2020年10月7日发(作者：高家忠)

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考点一览
核心考点 考试说明
考点1
考点2
圆锥曲线的定义
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考 情 动 态
常考题型 难易程度 高考动态
填空题 简单
中等
2011(椭圆)
2011(椭圆) 2012(椭
圆，双曲线)2013(椭圆，
双曲线)
2011(椭圆) 2012(椭
圆，双曲线) 2013(椭圆，
双曲线)

2011(椭圆) 2012(椭圆)
2011(椭圆) 2012(椭圆)








圆锥曲线的标准方程 填空题
考点3 圆锥曲线的性质 填空题 中等
考点4
考点5
考点6
圆锥曲线的最值问题
直线与圆锥曲线的位置
关系
圆锥曲线的综合
解答题
解答题
解答题
较难
较难
较难


命题趋势
解析几何历来是高考数学的重点，也是学生心中的难点，在近几年高考中所占分值略为30分左右，
很多 学生对圆锥曲线都有畏惧心理，从近几年高考成绩分析来看，解析几何大题均分基本未超过八分，2012
年更是只有3.26分。从考试大纲来看，一般会重点考察学生对解析几何基本概念的掌握情况，考察学生对< br>解析几何基本方法的应用，适当考察对几何知识的综合应用能力，着力考察学生分析问题的能力，越来越< br>重视对数学思想方法的渗透，命题趋势由“知识立意”转向以“能力立意”为主。

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一、椭圆的定义
1、椭圆的第一定义
例1、下列说法中正确的有________．(填序号)
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椭圆题型分类 ①已知F
1
(－6，0)、F
2
(6，0)，到F
1
、 F
2
两点的距离之和等于12的点的轨迹是椭圆
②已知F
1
(－6 ，0)、F
2
(6，0)，到F
1
、F
2
两点的距离之和等 于8的点的轨迹是椭圆
③到点F
1
(－6，0)、F
2
(6，0) 两点的距离之和等于点M(10，0)到F
1
、F
2
的距离之和的点的轨迹是 椭圆
④到点F
1
(－6，0)、F
2
(6，0)距离相等的点的轨 迹是椭圆







例2、已知动 圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)
2
＋y
2
＝64的内 部与其相内切，判断动圆圆心M
的轨迹









习题：
1、平面内一动点
M
到 两定点
F
1
、
F
2
距离之和为常数
2a
， 则点
M
的轨迹为
2、已知动点
M(x,y)
，总满足关系式，点
M
的轨迹是
3、已知动点
M(x,y)
，总满足关系式，点
M
的轨迹是
x
2
y
2
4、椭圆＋＝1的焦点为F
1
，F
2
，AB是椭圆过焦点F
1
的弦，则△ABF
2
的周长是____ ____．
925
5、已知点A(0，3)和圆O
1
：x
2
＋(y＋3)
2
＝16，点M在圆O
1
上运动，点P在半径O
1< br>M上，且PM＝PA，
求动点P的轨迹是 ．
6、已知动圆与圆C：(x＋2)
2
＋y
2
＝25相内切，且过点A(2， 0)，则动圆圆心M的轨迹是 ．


2、椭圆的第二定义
例1、已知平面上一动点P(x,y)，P到平面内定点F(1，0)和 到定直线x=3的距离之比为，求点P的轨迹方
程

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xy
例2、
已知A
?
4,0
?
，B
?< br>2,2
?
是椭圆?＝1内的两个点，

259
M是椭圆上的动点．求：


?
1
?
MA＋MB的最大值和最小值；

5
2MB?MA的最小值．
??

4










习题：
1、如果椭圆上的一点P到左焦点的距离为2，则它到右准线的距离为
222
2、设动点P（x,y）的轨迹方程为m(x+y-4x+2y+5)=(3x+4y+ 33),若它表示椭圆，则m的取值范围为
3、已知椭圆上有一点P到其左右焦点的距离之比为1:3，求点P到两准线的距离及点P的坐标 4、已知定点A(-2，2)，点F为椭圆的左焦点，点M在椭圆上运动，求AM+2MF的最小值，并求出 此时M的
坐标





5、设椭圆的左焦点为 F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．





6、已知椭圆C的两个焦点为F
1
(1，0)、F< br>2
(－1，0)，抛物线y
2
＝－16x的准线是椭圆C的一条准线，且P(1 ，
－1)为椭圆内一定点．
(1)求椭圆C的方程；
22

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(2)在椭圆C上求一点M，使得MP＋2MF
1
最小．






二、椭圆的标准方程
例1、求满足下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点坐标分别为（-4,0）和（4,0），且椭圆经过点（5,0）

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（2）焦点在y轴上，且经过两个点（0,2）和（1,0）
（3）经过两点（3,1）和（-2,2）



例2、求与椭圆4 x
2
+9y
2
=36有相同的焦距，且过点（-3,2）的椭圆的标准方程







例3、已知表示椭圆，则k的取值范围为

x
2
y
2
例4、设
F
1
，F
2
分别为椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右两个焦点． ab
（1）若椭圆
C
上的点
A
?
1，
?
到
F
1
，F
2
两点的距离之和等于4，写出椭圆
C
的方程和焦点坐标；
（2）设点
K
是（1）中所得椭圆上的动点，求线段
F
1
K
的中点的轨迹方程．





练习：
1、求下列椭圆的标准方程
（1）以F
1
(－6，0)、 F
2
(6，0)为焦点，且过点P(5，2)
（2）经过两点和

2、对于常数m,n，“mn>0”是“方程mx
2
+ny
2
=1表示的曲 线是椭圆”的 条件。
3、已知方程表示椭圆，则的取值范围为_ ___
?< br>3
?
?
2
?
4、求过点P（5，0），且与椭圆具有相同焦距 的椭圆的方程




1
?
?
1
?
?
0
?
，B
是圆
F:
?
x?
?
?y
2
?4
(
F
为圆心)上一动点，线段
AB
的垂直平分线交
BF
于点5、已知
A
?
?，
2?
?
2
?
?
P
，则动点
P
的轨迹方程 为 ．
x
2
y
2
6、(1)求与椭圆＋＝1有相同的离心率，焦点在x轴，且经过点(2，－3)的椭圆方程．
43
2

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线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．


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(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到 两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直
x
2
y
2
7、已 知F
1
、F
2
是椭圆
2
＋
2
＝1(a>b >0)的左、右两个焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在
ab
2
→→< br>椭圆上，且满足OA＋OB＝0(O是坐标原点)，AF
2
⊥F
1
F< br>2
.若椭圆的离心率等于，△ABF
2
的面积等于42，
2
求 椭圆的方程．



三、椭圆的几何性质
x
2
y
2
例1、已知椭圆的方程为
2
?
2
?1(a?b?0)< br>，过椭圆的右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q
ab
两点，椭圆的右准线与x轴 交于点M，若
?PQM
为正三角形，则椭圆的离心率等于_______________。




x
2
y
2
例2、已知椭 圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左顶点为
A
，上顶 点为
B
，右焦点为
F
.设线段
AB
的中点为
M，
ab
若
2MA?MF?BF?0
，则该椭圆离心率的取值范围为 。



2
x
2
y
2
??1< br>|PF
1
?PF
2
|
FF
84
12
例3、已知、分别是椭圆的左、右焦点, 点
P
是椭圆上的任意一点, 则 的
PF
1
取值范围是 .



例4、已知椭圆的上焦点为F直线x+y+1=0和直线x+y-1=0与椭圆相交与A、B和C、D， 则AF+BF+CF+DF=

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x
2
y
2
例5、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为
2
?
2< br>?1(a?b?0)
，右焦点为F，右准线为
l
，短轴
ab
的 一个端点为B。设原点到直线BF的距离为
d
1
，F到
l
的距离为< br>d
2
。若
d
2
?6d
1
，则椭圆C的离心率
为 。



3
1
1，
?
. 例6、已知长轴在x轴上的椭圆的离心率e＝，且过 点
?
?
2
?
2
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上任意一点，F
1
、F
2
是椭圆的左、右焦点．
①求PF
1
·PF
2
的最大值；
→→
②求PF
1
·PF
2
的取值范围．

















习题：
1、已知椭圆m x
2
+5y
2
=5m的离心率，则m=
x
2
y
2
2、在平面直角坐标系
xOy
中，已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的右顶点为A，上顶点为B，M为线段AB
ab

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的中点，若
?MOA?30
o
，则该椭圆的离心率的值为 。
uuuruuuur
x
2
y
2
3、已知椭圆
E :
2
?
2
?1(a?b?0)
过点P（3，1），其左、右焦点分别 为
F
1
,F
2
，且
F
1
P?F
2
P??6
，
ab
则椭圆E的离心率是 ．
x
2
y
2
4、椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左焦点为F,直线
x?m
与椭圆相交于A,B两点,若
?FAB
的周长最大
ab
时,
?FAB
的面积为
ab,则椭圆的离心率为________.
5、在平面直角坐标系
xOy
中,设椭 圆与双曲线
y
2
?3x
2
?3
共焦点,且经过点
_ ___.
?
2，2
,则该椭圆的离心率为
?
x
2
y
2
6、在平面直角坐标系xoy中，椭圆
2
?
2
?1(a ?b?0)
的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，
ab
L为左准线，PQ⊥L 垂足为Q，若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是 .
PF< br>1
x
2
y
2
?e
，7、已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左右焦点分别为F
1
，F
2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得
PF
ab
2
则该离心率e的取值 范围是 .


x
2
y
2
8、如 图所示，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P
1
、
2516
P
2
、…、P
7
七个点，F是椭圆的一个焦点 ，则P
1
F＋P
2
F＋…＋P
7
F＝________.


x
2
y
2
9、设椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
恒过定点
A(1,2)
,则椭圆的 中心到准线的距离的最小值
ab

x
2
y
2
10． 如图，在平面直角坐标系
xOy
中，
F
1
,F
2
分别为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点，B，C分别
ab
为椭圆的上、下顶点，直线BF
2
与椭圆的另一个交点为D，若
cos?F
1
BF
2
?
为 ．


7
，则直线CD的斜率
25

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x
2
y
2
3
11、已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0 )
的离心率
e?
,A、B是椭圆的左、右顶点,P是椭圆上不同于A、B
2< br>ab
的一点,直线PA、PB斜倾角分别为
?
、
?
,则
cos(
?
?
?
)
=____.
cos(
?
?
?
)
uuuruuuur
x
2
y
2??1
上的动点，
F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点，则< br>PF
1
?PF
2
的取值范围是12、已知P是椭圆
124___________________
3
x
2
y
2
1，
?
为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距． 13、设A，B分别为椭圆
2< br>＋
2
＝1(a>b>0)的左，右顶点，
?
?
2
?< br>ab
(1)求椭圆的方程；
(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别 与椭圆相交异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．







14、已知F
1
、F
2
是椭圆的 左、右焦点，P(x,y)是椭圆的一点．
（1）求PF
1
·PF
2
的最大值；
（2）求2x+3y的取值范围









四、直线与椭圆的综合问题
x
2
y
2
例1、设A
1
、A
2
与B分别是椭圆E：
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右顶点与上顶点，直线A
2
B与圆C： x
2
+y
2
=1
ab
相切．
（1）求证：
11
??1
；
a
2
b
2

1
（2）P是椭圆E上异于A
1
，A
2
的一点，直线PA
1
，PA
2
的斜率之积 为－，求椭圆E的方程；
3

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uuuuruuur
（3）直线l与椭圆E交于M，N两点，且
OM?ON?0
，试判断直线l与圆C的位 置关系，并说明理由。
x
2
y
2
例2、已知椭圆
2
?
2
?1

?
a?b?0
?
的右焦点为
F
1
(2，0)
，离心率为
e
.
ab
（1）若
e?
2
，求椭圆的方程；
2
（2） 设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，
AF
1
的中点为M，
BF
1
的中点为N，若原点
O
在以线段
MN
为
直径的圆上． ①证明点A在定圆上；②设直线AB的斜率为k，若
k≥3
，求
e
的取值 范围．












x
2
y
2
例3、在平面直角坐标系
xOy
中，过点A(-2,-1)椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点为F,短轴端点为
B
1
、
ab
uuuruuuur
B
2
，
FB
1
?FB
2
?2b
2
。
（1）求
a
、
b
的值；
（2）过点A的直线
l
与椭圆C的另一交点为Q，与
y
轴的交点为R．过原点 O且平行于
l
的直线与椭圆的

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一个交点为P．若AQ
?
AR=3 OP
2
，求直线
l
的方程。
2
y
2
x< br>例4、如图,在平面直角坐标系
xOy
中,椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的右焦点为
F(1， 0)
,离心率为
2
.分 别过
2
ab
O
,
F
的两条弦
AB
,
CD
相交于点
E
(异于
A
,
C
两点),且
OE?EF
.
(1)求椭圆的方程;(2)求证:直线
AC
,
B D
的斜率之和为定值.
y

C

A

E

O

F

D

x

B






x
2
y
2
??1
的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点例5、在平面直角坐标系
xoy
中，如图，已知椭圆
95
T（
t,m
）的直线TA、TB与 椭圆分别交于点M
(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
，其中m>0,
y
1
?0,y
2
?0
。
（1）设动点P满足
PF?PB?4
,求点P的轨迹；
（2）设
x
1
?2,x
2
?
22
1
，求点T的坐标；
3

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（3）设
t?9
,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
x
2
y
2
例6、如图,设
A
,
B
分别为 椭圆
E:
2
?
2
?1(a?b?0)
的右顶点和上顶点,过 原点
O
作直线交线段
AB
ab
于点
M
(异于点A
,
B
),交椭圆于
C
,
D
两点(点
C
在第一象限内),
?ABC
和
?ABD
的面积分别为
S< br>1
与
S
2
.
(1)若
M
是线段
A B
的中点,直线
OM
的方程为
y?
(2)当点
M
在 线段
AB
上运动时,求














习题：
1、已知长轴在
x
轴上的椭圆的离心率
e?
（1）求椭圆的方程；
（2）若点
A(x
0
,y
0
)
为圆
x?y ?1
上任一点，过点
A
作圆的切线交椭圆于
B
、
C
两点，求证：
CO?OB
（
O
为坐标原点）。

22
1
x
,求椭圆的离心率;
3
S
1
的最大值.
S
2
y

B
C
O
M
A
D
x

6
，且过点
P(1,1).

3

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x2
y
2
3
2、如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
a< br>2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
，以原点 为圆心，椭圆C
的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与 QN相交于点T，
求证：点T在椭圆C上．











2
2
3、在平面直 角坐标系
xOy
中，如图，已知椭圆
E
：
x
2
?< br>y
2
?1(a?b?0)
的左、右顶点分别为
A
1
、
A
2
，上、
y
N
Q

P

T
O
x
M
b
下顶点分别为
B
1< br>、
B
2
．设直线
A
1
B
1
的倾斜角 的正弦值为
1
，圆
C
与以线段
OA
2
为直径的圆关 于直线
A
1
B
1
对
3
a
称．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线
A
1
B
1与圆
C
的位置关系，并说明理由；
（3）若圆
C
的面积为
?
，求圆
C
的方程．
B
1

A
1

O
B
2




y
A
2

x

让我们一起为了孩子的进步而努力！













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x
2
y
2
??1
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于4、如图，在平面直角坐标系
xOy
中，M、N分别是椭圆
42
P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂 线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA
的斜率为k
（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；
（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB













x
2
y
2
3
5、如图,圆 O与离心率为的椭圆T:
2
?
2
?1
(
a?b?0
)相切于点M
(0,1)
.
2
ab
⑴求椭圆T与圆O的方程; < br>⑵过点M引两条互相垂直的两直线
l
1
、
l
2
与两曲 线分别交于点A、C与点B、D(均不重合).
①若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为
d
1
、
d
2
,求
d
1
?d
2
的最大值;
22

让我们一起为了孩子的进步而努力！

②若
3MA?MC ?4MB?MD
,求
l
1
与
l
2
的方程.
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x
2
y
2
3
6、如图,在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
E
:
2
?
2
?1(a?b? 0)
的离心率
e?
,
A
1
,A
2
分别是椭 圆
2
ab
E
的左、右两个顶点,圆
A
2
的半径为< br>a
,过点
A
1
作圆
A
2
的切线,切点为P
,在
x
轴的上方交椭圆
E
于点
Q
.
⑴求直线
OP
的方程;
PQ
⑵求的值;
QA
1
⑶设
a
为常数.过点
O
作两条互相垂直的直线,分别交椭圆
E
于点
B,C
,分别交圆
A
2
于点
M,N
,记
△OBC
和
△OMN
的面积分别为
S
1
,S
2
,求
S
1
?S
2
的最大值.
y

P

Q

A
1
B

A
2
C

N










x

M

O

x
2
y
2
2
7、在平面直角坐标系x Oy中，已知椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的离心率为，其焦点在 圆x
2
+y
2
=1上．
2
ab
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B，M是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使
uuuuruuu ruuur
OM?cos
?
OA?sin
?
OB
．
(i)求证：直线OA与OB的斜率之积为定值；

让我们一起为了孩子的进步而努力！

(ii)求OA
2
+OB
2
．












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x
2
y
2
??1
的上顶点为
A
，直线
y??4
交椭圆
E
于点
B
，
C
（点
B
在点
C的左8、如图，已知椭圆
E:
10025
侧），点
P
在椭圆E
上.
（3）若点
P
的坐标为
(6,4)
，求四边形
ABCP
的面积；
（4）若四边形
ABCP
为梯形，求点
P
的坐标；
（5） 若
BP?m?BA?n?BC
（
m
，
n
为实数），求
m?n
的最大值.
















x
2
y
2
222
9、如图,已知椭圆
E
1
方 程为
2
?
2
?1(a?b?0)
,圆
E
2
方程为
x?y?a
,过椭圆的左顶点A作斜率
ab
为
k
1< br>直线
l
1
与椭圆
E
1
和圆
E
2分别相交于B、C.
(Ⅰ)若
k
1
?1
时,
B恰好为线段AC的中点,试求椭圆
E
1
的离心率
e
;

让我们一起为了孩子的进步而努力！

(Ⅱ)若椭圆
E
1
的离心率
e
=
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1
,
F
2
为椭圆的 右焦点,当
|BA|?|BF
2
|?2a
时,求
k
1
的值;
2
k
1
b
2
(Ⅲ)设D为圆
E
2
上不同于A的一点,直线AD的斜率为
k
2
,当
?
2时,试问直线BD是否过定点?若
k
2
a
过定点,求出定点坐标;若不过 定点,请说明理由.
y
C
D
B
A
O
x















x
2
y
2
10、如图, 在平面直角坐标系xoy中,已知
F
1
,F
2
分别是椭圆
E
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点,
A< br>,
B
ab
uuuuruuuurr
分别是椭圆E的左、右顶点,且AF
2
?5BF
2
?0
.
(1)求椭圆
E
的离心率;
(2)已知点
D
?
1 ,0
?
为线段
OF
2
的中点,
M
为椭圆
E
上的动点(异于点
A
、
B
),连接
MF
1
并延长交椭圆

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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E
于点N
,连接
MD
、
ND
并分别延长交椭圆
E
于点
P
、
Q
,连接
PQ
,设直线
MN
、
PQ
的斜率存
在且分别为
k
1
、
k
2
, 试问是否存在常数
?
,使得
k
1
?
?
k
2
?0
恒成立?若存在,求出
?
的值;若不存在,说
明理由.
















专 题 复 习

离心率问题
1.直线
l:x?2y?2?0
过椭圆左焦点
F
1和一个顶点
B
，则该椭圆的离心率为__________
c25
答案：e＝＝
a5

让我们一起为了孩子的进步而努力！

答案：m的取值为1或16
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x
2
y
2
3
??1
的离心率等于2.若椭圆，则
m
＝____ ____
2
4m
x
2
y
2
o
3.过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点
F
1
作
x
轴的垂线交椭圆于点
P
，
F
2
为右焦点，若< br>?F
1
PF
2
?60
，
ab
则椭圆的离心率 为__________
答案：e＝
3

3
4.已知焦点在
x
轴上的椭圆的离心率为
标准方程是_________________
xy
答案：＋＝1
43
22
1
22
，它的长轴 长等于圆
C:x?y?2x?15?0
的半径，则椭圆的
2
x
2y
2
3
5.已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0 )
的焦点分别为
F
1
,F
2
，
b?4
，离 心率为，过
F
的直线交椭圆于
A,B
ab
5
两点，则
?ABF
2
的周长为________
答案：△ABF
2
的周长为20
x
2
y
2
??1
的左、右焦点，弦
AB
过
F
1
，若
?AB F
2
的周长为8，则椭圆的离心率6.已知
F
1
,F
2是椭圆
k?2k?1
为________
c1
答案：e＝＝
a2
7.已知正方形
ABCD
，则以
A,B
为焦点，且过
C ,D
两点的椭圆的离心率为________
答案：2－1
8.设椭圆的两个焦点 分别为
F
1
,F
2
，过
F
2
作椭圆长轴的 垂线交椭圆于点
P
，若
?F
1
PF
2
为等腰直角三 角形，
则椭圆的离心率是_______________
答案：
e?2?1

x
2
y
2
9.已知椭 圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，过
F
1
作倾斜角为30°的直线，与椭圆的一
ab
个交点为
P
，且
PF
2
?x
轴，则此 椭圆的离心率
e
为________
答案：e＝
3

3

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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x
2
y
2
10.已知如图，椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)< br>的左焦点为
F
，右顶点为
A
，点
B
在椭圆上，且BF?x
轴，
ab
uuuruuur
直线
AB
交
y
轴于点
P
，若
AP?2PB
，则椭圆的离心率是______

1
答案：
2
xy
→→
2
11.已知F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)为椭圆
2
＋
2< br>＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且PF
1
·PF
2
＝ c，则此
ab
椭圆离心率的取值范围是________
→→
解析 设P(x，y)，则PF
1
·PF
2
＝(－c－x，－y)
(c－x，－y)＝x－c＋y＝c①
b
2
3c－a
2
将 y＝b－
2
x代入①式解得x＝
2
ac
22
222
2222
22
a
2
c
?
32
?
22222
，又x∈[0，a]∴2c≤a≤3c，∴e＝∈
?
，
?

a
?
32
?
答案
?
2
??
3
，
?

2
??
3
x
2
y
2
12.如图，在平面直角坐标系
xOy
中，
A
1
,A
2
,B
1
,B
2
为椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的四个顶点，
F
为其右
ab
焦点，直线
A
1
B
2
与直线
B
1
F
相交于点
T
，线段
OT
与椭圆的交点
M
恰为线段
OT
的中点，则该椭圆的离
心率为________

答案：e＝27－5
x
2
y
2
13.以椭圆
2< br>?
2
?1(a?b?0)
的左焦点
F(?c,0)
为圆心，< br>c
为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两
ab
点，则该椭圆的离心率的取值范 围是________

让我们一起为了孩子的进步而努力！

答案：e∈(
2
，1)
2
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14.若椭圆的两准线之间的距离不大于长轴长的3倍 ，则它的离心率
e
的范围是_____________
答案：
[
1
,1)
错解：
[
1
,??)
错因：只注重对显性已知条件的翻译，不注意隐性条件椭圆离心率033
而导致错误。
x
2
y
2
15.已知
F
1
,F
2
分别为椭圆
C
：
2
?
2
?1(a?b?0)
的左，右焦点，过
F
1
且垂直于
x
轴的直线交椭圆
C于
ab
A,B
两点，若
?ABF
2
为钝角三角形，则椭 圆
C
的离心率
e
的取值范围为__________
答案：0＜e＜2－1
xy
16.点M是椭圆
2
＋
2＝1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，
a b
Q，若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________
b
解析 由条件MF⊥x轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R＝，圆心到y轴距离为c，若∠ PMQ为钝角，
a
πc2
22222
则其一半应超过，从而
2
<，则2ac<2b，即2ac<2(a－c)，两边同时除以a，则2e＋2e－2<0，
4b2< br>a
又0答案
?
0，
6－2

2
2
22
?
?
6－2
?
?
2
?
x
2
y
2
17.已知椭圆
2
?< br>2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
(?c,0) ,F
2
(c,0)
，若椭圆上存在一点
P
使
ab
a c
?
，则该椭圆的离心率的取值范围为__________________
si nPF
1
F
2
sinPF
2
F
1
答案：< br>e?(2?1,1)

uuuuruuuur
18.已知
F
1
、
F
2
是椭圆的两个焦点，满足
MF
1
?MF2
?0
的点
M
总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围
是___ _______
答案：
(0,
2
)

2
x< br>2
y
2
19.设
F
1
，F
2
分别是 椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
）的左、右焦点，< br>P
是其右准线上纵坐标为
3c
（
c
为
ab

让我们一起为了孩子的进步而努力！

答案：
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半焦距 ）的点，且
|F
1
F
2
|?|F
2
P|
， 则椭圆的离心率是_______________
2

2
x
2< br>y
2
20.椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦点为
F
1
，
F
2
，两条准线与
x
轴的 交点分别为
M，N
，若
ab
MN≤?F
1
F
2，则该椭圆离心率的取值范围是_________________
?
2
?
答案：
?
，1
?
?
2
??
x
2
y
2
21.椭圆
2
?2
?1(a?b??)
的右焦点
F
，其右准线与
x
轴的 交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP
ab
的垂直平分线过点
F
，则椭圆 离心率的取值范围是____________
解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点
F
，
即F点到P点与A点的距离相等
a
2
b
2
b
2
?c?
， |PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c] 而|FA|＝
ccc
即ac－c≤b≤ac＋c
222
?
c
?1
?
?
?
ac?c?a?c
?
a
?
1
?
,1
?
∴
?
2
? 又e∈(0,1)故e∈< br>?
?
22
?2?
?
?
a?c?ac?c
?< br>c
??1或
c
?
1
?
a2
?
a222

让我们一起为了孩子的进步而努力！


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定点、定值问题
在几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题，解决这类问题常通过取参 数和特殊值来确定
“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式是恒定 的。
x
2
y
2
1.经过原点的直线
l
与椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
相交于
M,N
两点，
P
是椭圆上的动点，直线
PM,PN
ab
的斜率都存在，则
kPM
?k
PN
为定值

证明：设
P(x
0,y
0
)
，
M(x
1
,y
1
)
，
N(?x
1
,?y
1
)
，则
k
PM< br>?k
PN
2
y
0
?y
1
y
0
?y
1
y
0
?y
1
2
（*），而点
?? ?
2
x
0
?x
1
x
0
?x
1x
0
?x
1
2
2
x
0
x
1< br>2
x
2
y
2
b
2
2222
y
1
?b(1?
2
)
，P、M均在椭圆
2
?
2?1
上，故
y
0
?b(1?
2
)
，代入（*） 便可得到
k
PM
?k
PN
??
2
.
a< br>abaa
x
2
y
2
??1
的左右两个顶点，P是椭圆 上异于A、B的任意一点，则练习：已知A、B分别是椭圆
169
k
PA
?k
PB
?
_______
答案：
?
9

1 6
x
2
y
2
2.设A、B、C是椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上的三个不同点，B、C关于
x
轴对称，直线AB、A C分别与
x
ab
轴交于M、N两点，则
OM?ON
为定值
证明：设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2< br>,y
2
)
，
C(x
2
,?y
2
)< br>，则直线AB的方程
为
y?y
1
?
y
1
?y
2
(x?x
1
)
，令
y?0
得M点的横坐标
x
1
?x
2
x
1
?x
2
xy?x
2
y
1
?x
1
?
12
，同理可得N点的横坐标< br>y
1
?y
2
y
2
?y
1
x
M
??y
1
?
222
x
1
2
y
2
?x
2
y
1
x
1
y
2
?x
2
y
1
，于是
OM?ON?x
M
?x
N
?
，
x
N
?
22
y
2
?y
1y
2
?y
1

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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22
?
x
1
2y
1
2
?
x
1
2
y
2
y1
2
y
2
2
??1??y
222
2
? ?
2
x
1
2
y
2
?x
2
y
1
?
a
2
b
2
?
a
2
b
22
由于
?

???y?y
?
21
2
2 22222
a
?
x
2
?
y
2
?1
?
x
2
y
1
?
y
2
y
1
?y
2
1
??
b
2
?
a
2
b2
?
a
2
因此有
OM?ON?x
M
?x
N
222
x
1
2
y
2
?x
2
y
1
??a
2
.
22
y
2
?y
1
x
2
y
2
??1
的上下两个顶点，P是椭圆上异于
B
1
，B
2
的动点，直线练习：设
B
1
，B
2
分别是椭圆
2516
PB
1
，PB
2
分别交< br>x
轴于M、N两点，则
OM?ON?
_________
答案：25
3.已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在
x
轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线 交椭圆于A、B两点，
uuuruuur
r
OA?OB
与
a?(3, ?1)
共线．
(1)求椭圆的离心率；
uuuuruuuruuur
22
(2)设M为椭圆上任意一点，且
OM?
?
OA?
?
OB (
?
,
?
?R)
，证明
?
?
?
为 定值．
x
2
y
2
解：（Ⅰ）设椭圆方程为
2
?< br>2
?1(a?b?0),F(c,0)
，
ab
x
2
y
2
则直线AB的方程为
y?x?c
，代入
2
?
2
?1
，化简得
ab
(a
2
?b
2
)x< br>2
?2a
2
cx?a
2
c
2
?a
2
b
2
?0
.
22222
2acac?ab
设A （
x
1
,y
1
），B
(x
2
,y
2
），则
x
1
?x
2
?
22
,x
1
x
2
?.
a?ba
2
?b
2
uuuru uurruuuruuur
r
由
OA?OB?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
),a?(3,?1),OA?OB
与
a
共线，得
3(y
1
?y
2
)?(x
1
?x
2
)?0,
又
y
1
?x
1
?c,y
2
?x
2
?c
，
?3(x
1
?x
2
?2c)?(x
1
?x
2
)?0,
2a
2c3c
即
2
，所以
a
2
?3b
2
.< br>?
2
2
a?b
故离心率
e?
?x
1
?x
2
?
3
c.

2
6a
，
3
?c?a
2
?b
2
?
c6
?.

a3
22
x
2
y
2
222
（Ⅱ）证明：由 （Ⅰ）知
a?3b
，所以椭圆
2
?
2
?1
可化为< br>x?3y?3b.

ab

让我们一起为了孩子的进步而努力！
uuuur
设
OM?( x,y)
，由已知得
(x,y)?
?
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
),


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?
x??
x
1
?
?
x
2
,
222
?
?

?M(x,y)
在椭圆上，
?(
?
x
1
?
?
x
2
)?3(
?
y
1
?< br>?
y
2
)?3b.

?
y?
?
y< br>1
?
?
y
2
.
即
?
(x
1
?3y
1
)?
?
(x
2
?3y
2
)?2
??
(x
1
x
2
?3y
1
y
2
)?3b.
①
由（Ⅰ）知
x
1
?x
2
?
2222222
3c
2
3
22
1
2
, a?c,b?c.

222
a
2
c
2
?a
2
b
2
3
2
x
1
x
2
??c,< br>a
2
?b
2
8

x
1
x
2
?3y
1
y
2
?x
1
x
2
?3( x
1
?c)(x
2
?c)
?4x
1
x
2< br>?3(x
1
?x
2
)c?3c
2
39
?c< br>2
?c
2
?3c
2
?0.
22

又
x
1
?3y
1
?3b,x
2
?3y
2?3b
，代入①得
?
2
?
?
2
?1.

故
?
2
?
?
2
为定值，定值为1.
4. 已知椭圆
E
的中心在原点，焦点在
x
轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值 为
2?1
，离心率为
e?
﹒
（Ⅰ）求椭圆
E
的方程；
2
2
222222
uuuruuuur
（Ⅱ）过点
?
1,0
?
作直线
l
交
E
于
P
、< br>Q
两点，试问：在
x
轴上是否存在一个定点
M
，
MP ?MQ
为定值？
若存在，求出这个定点
M
的坐标；若不存在，请说明理由﹒
?
a?c?2?1
x
2
y
2
?
解：（I） 设椭圆E的方程为
2
?
2
?1
,由已知得：
?
c< br>
2
ab
?
?
2
?
a
。。。。。2分
?
x
2
?
a?2
222
。。。
?b?a ?c?1
?
椭圆E的方程为
?y
2
?1
。
?
?
2
?
?
c?1
3分
（Ⅱ）法一：假设存在符合条件的 点
M(m,0)
，又设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
，则：
uuuruuuuruuuruuuu r
MP?(x
1
?m,y
1
),MQ?(x
2
?m ,y
2
),MP?MQ?(x
1
?m)?(x
2
?m)?y
1
y
2

?x
1
x
2
?m(x< br>1
?x
2
)?m
2
?y
1
y
2。。。。。 5分

让我们一起为了孩子的进步而努力！

?
x
2
2
?
?y?1
由
?< br>2
得
x
2
?2k
2
(x?1)
2
? 2?0

?
y?k(x?1)
?
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①当直线
l
的斜率存在时，设直线
l< br>的方程为：
y?k(x?1)
，则
4k
2
2k
2< br>?2
(2k?1)x?4kx?(2k?2)?0
x
1
?x
2
?
2
,x
1
?x
2
?
2
7分
2k?12k?1
2222
k
2

y
1
y
2
?k(x
1
?1)(x
2
?1)?k[x
1x
2
?(x
1
?x
2
)?1]??
2
2k?1
uuuruuuur
2k
2
?24k
2
k
2
(2m
2
?4m?1)k
2
?(m
2
?2)2
所以
MP?MQ?
2
9分
?m?
2
?m ?
2
?
2k?12k?12k?12k
2
?1
uuuruu uur
5
对于任意的
k
值，
MP?MQ
为定值，所以
2m
2
?4m?1?2(m
2
?2)
，得
m?
，
4
uuuruuuur
57
所以
M(,0),MP?MQ??
； 11分
416
22
1
②当直线
l
的斜率不存在时， 直线
l:x?1,x
1
?x
2
?2,x
1
x
2
?1,y
1
y
2
??

2
ruuuu r
5
uuu
7
由
m?
得
MP?MQ??

4
16
5
综上述①②知，符合条件的点
M
存在，起坐标为< br>(,0)
﹒ 13分
4
uuuruuuur
法二：假设存在点
M(m,0)
，又设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
则：
MP?(x
1
?m,y
1
),MQ?(x
2
?m,y
2
)

uuuruu uur
MP?MQ?(x
1
?m)?(x
2
?m)?y
1< br>y
2
=
x
1
x
2
?m(x
1
?x
2
)?m
2
?y
1
y
2
…. 5分
①当直线
l
的斜率不为0时，设直线
l
的方程为
x?ty? 1
，
?
x
2
2
?
?y?1
?2t?1< br>由
?
2
得
(t
2
?2)y
2
?2t y?1?0
?y
1
?y
2
?
2
7分
, y
1
?y
2
?
2
t?2t?2
?
x?ty ?1
?
?t
2
?2t
2
?t
2
?2?2t
2
?2

x
1
x
2
?(ty
1< br>?1)?(ty
2
?1)?t
2
y
1
y
2< br>?t(y
1
?y
2
)?1??
2
t
2
?2t?2
?2t
2
?2t
2
?44

x
1
?x
2
?t(y
1
?y
2
)?2??
t
2
?2t
2
?2
uuuruuuur
?2t
2< br>?24m1(m
2
?2)t
2
?2m
2
?4m?1< br>2
9分
?MP?MQ?
2
?
2
?m?
2
?
t?2t?2t?2t
2
?2
uuuruuuur
(m< br>2
?2)t
2
?2m
2
?4m?1
设
MP? MQ??
则
??

t
2
?2
5
?
m?
?
?
?(m?2)t?2m?4m?1??(t?2)
5
??
m?2???0
4
?
?
?M(,0)
11分 ?
?
222
2
7
4
?(m?2??)t?2m?4m? 1?2??0
?
?
2m?4m?1?2??0
?
???
?< br>16
?
2222
2

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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5
②当直线
l
的斜率为0时 ，直线
l:y?0
，由
M(,0)
得：
4
uuuruuu ur
55257
MP?MQ?(2?)?(?2?)??2??

44161 6
5
综上述①②知，符合条件的点
M
存在，其坐标为
(,0)
。。。。13分
4
5.已知椭圆
C
的中心在坐标原点，焦点在
x
轴上，椭圆
C
上的点到焦点距离的最大值为
3
，最小值为
1
．
（Ⅰ）求椭圆
C
的标准方程；
（Ⅱ）若直线
l:y ?kx?m
与椭圆
C
相交于
A
，
B
两点（
A，B
不是左右顶点），且以
AB
为直径的圆过椭
圆
C
的右 顶点，求证：直线
l
过定点，并求出该定点的坐标．
x
2
y
2
【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为
2
?
2
?1(a ?b?0)

ab
x
2
y
2
?1.
a?c?3,a?c?1
，
a?2,c?1,b?3
??
43
2
?
y?kx?m
?
222
(II)设
A(x
1< br>,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由
?
x
2
y
2
得
(3?4k)x?8mkx?4(m?3)? 0
，
?1
?
?
3
?
4
??64m
2
k
2
?16(3?4k
2
)(m
2
?3)?0
，
3?4k
2
?m
2
?0
.
8mk4( m
2
?3)
?x
1
?x
2
??,x
1?x
2
?.
22
3?4k3?4k
3(m
2
? 4k
2
)
y
1
?y
2
?(kx
1
?m)?(kx
2
?m)?kx
1
x
2
?mk(x
1
?x
2
)?m?.

3?4k
2
22
Q
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点
D(2,0),
k
AD
?k
BD
??
1
，
?
(最好是用向量点乘来)
y
1< br>y
2
?x
1
x
2
?2(x
1
?x< br>2
)?4?0
，
y
1
y
?
2
??1
，
x
1?2x
2
?2
3(m
2
?4k
2
)4(m2
?3)16mk
???4?0
，
3?4k
2
3?4 k
2
3?4k
2
7m
2
?16mk?4k
2
?0
，解得
m
1
??2k,m
2
??
2k
22
，且满足
3?4k?m?0
.
7
当
m??2k时，
l:y?k(x?2)
，直线过定点
(2,0),
与已知矛盾；

让我们一起为了孩子的进步而努力！

当
m??
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2k2
2
时，
l:y?k(x?)
，直线过定点
(,0).

7
77
2
综上可知，直线
l
过定点，定点坐标为
( ,0).
7

x
2
y
2
31
6.已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
过点
(1,)，且离心率
e?
。
2
2
ab
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）若直线
l:y?kx?m(k?0)
与椭圆交于不 同的两点
M
、
N
，且线段
MN
的垂直平分线过定点
1
G(,0)
，求
k
的取值范围。
8

b
2
13
1
解：（Ⅰ）
Q
离心率
e?
，
?
2
?1??
，即
4b
2
?3a
2
（1）；
a44
2
x
2
y
2
3
19
22
??1
。又椭圆过点
(1,)
，则
2
?
2< br>?1
，（1）式代入上式，解得
a?4
，
b?3
，椭圆方程为
43
a4b
2
（Ⅱ）设
M(x
1
,y
1< br>),N(x
2
,y
2
)
，弦MN的中点A
(x
0
,y
0
)

由
?
?
y?kx?m222
(3?4k)x?8mkx?4m?12?0
， 得：
22
?3x?4y?12
Q
直线
l:y?kx?m(k?0)
与椭圆交于不同的 两点，
???64m
2
k
2
?4(3?4k
2
) (4m
2
?12)?0
，即
m
2
?4k
2
?3
………………（1）
8mk4m
2
?12
,x
1x
2
?
由韦达定理得：
x
1
?x
2
? ?
，
3?4k
2
3?4k
2
4mk4mk
23m
,y?kx?m???m?
则
x
0
??
，
00
222
3?4k3?4k3?4k

让我们一起为了孩子的进步而努力！

直线AG的斜率为：
K
AG
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3m
2
24m
，
?
3?4k
?
4mk1
?32mk?3?4k
2
??
2
3?4k8
3?4k
2
24m
由直线AG和直线MN垂直可得：，代入（1 ）式，可得
g
k??1
，即
m??
2
8k
?32m k?3?4k
3?4k
2
2
55
1
()?4k
2< br>?3
，即
k
2
?
或k??
，则
k?
。
1010
8k
20
x
2
y
2
??1< br>的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点
T(t,m)
7.在平面直角坐标系
xoy
中，如图，已知椭圆
95
的直线TA,TB与椭圆分别交于点
M(x< br>1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2)
，其中
m?0
y
1
?0,y
2
?0
.
⑴设动点P满足PF－PB=4,求点P的轨迹
1
⑵设x
1
=2,x
2
=，求点T的坐标
3
⑶设t=9,求证：直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)

22
x
2
y
2
??1
的三个顶点，D是OA的中点，P、Q 是直线
x?4
上的两个动点。 8.如图，点A，B，C是椭圆
164
（Ⅰ）当点P的纵坐标为1时，求证：直线CD与BP的交点在椭圆上；
（Ⅱ）设F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点，
PF
1
?QF
2
，试判断以线段PQ为直径的圆是否恒过定点，
请说明理由。
解：（Ⅰ）由题意，< br>y
P
?1
时，直线CD方程为
y?x?2
，
直线BP方程为
y??
1
x?2
, --------------2分
4

?
16
x?
?
y?x?2
?
?
?
5
由方程组
?
解得
?
， -----------------------------------3分
1
y?? x?2
?
?
y?
6
?4
?
5
?
?
16
?
?
6
?
??
??
169
5
5
Q
??
+
??
=+=1，
16
2525
4
2
2
∴
点（


166
在椭圆上，
, ）
55
∴直线 CD 与BP的交点在椭圆上． -------------------------------5分

让我们一起为了孩子的进步而努力！




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22< br>（Ⅱ）∵
a?16,b?4,
∴
c
2
?12
，∴c?23
，
∴焦点
F
，
F
． -----------6分
（，0）（，0）
1
-23
2
23< br>设
P(4,y
1
),Q(4,y
2
)
，
PF
1
?QF
2
，




uuuruuuuruuuruuuur
-------------8分
PF
1
?QF
2
?0PF
1
?(?23?4,?y1
),QF
2
?(23?4,?y
2
),


uuuruuuur
PF
1
?QF
2
??12?16?y< br>1
y
2
?0
，

y
1
y
2
??4

，
线段PQ为直径的 圆圆心是
PQ
的中点（4，
圆的方程为
?
x?4
?
2
y
1
?y
2
|y?y
2
|
），半径为< br>r?
1
，

22






y
1
?y
2
2
y?y
)?(
1 2
)
2
,
----------10分
22
11
x
2
?8x?16?y
2
?(y
1
? y
2
)y?(y
1
?y
2
)
2
?(y1
?y
2
)
2
?0,

44
+(y?

x
2
?8x?16?y
2
?(y
1
?y
2
)y?y
1
y
2
?0,< br>x
2
?8x?16?y
2
?(y
1
?y
2< br>)y?4?0,
2


---------------------------------12分

?
x?2
?
x?6
?
令
y?0
，得
x?8x ?12?0
∴
?
或，
y?0y?0
?

?

以线段
PQ
为直径的圆恒过定点
(2,0),(6,0)
． ----------13分
x
2
xx
?y
2
?1
上任意一点，直线
l
的方程为
0
?y
0
y?1
， 直线
l
0
过P点与9.已知点
P(x
0
,y
0)
是椭圆
E:
2
2
直线
l
垂直，点M（-1， 0）关于直线
l
0
的对称点为N，直线PN恒过一定点G，求点G的坐标。
解：直线
l
0
的方程为
x
0
(y?y
0
) ?2y
0
(x?x
0
)
，即
2y
0
x?x
0
y?x
0
y
0
?0

设
M(?1,0)
关于直线
l
0
的对称点
N
的坐标为
N(m,n)

?
2x
0
3
?3x
0
2
?4x
0
?4
x
0
?
n
??
?< br>m?
?
x
0
2
?4
2y
0
?
m?1
?
则
?
，解得
?

432< br>?
2y?
m?1
?
x
0
n
?xy?0
?
n?
2x
0
?4x
0
?4x
0
?8x
0
000
?
?
2y
0
(4?x
0
2
)
?22
?
n?y
0
x
0
4
? 4x
0
3
?2x
0
2
?8x
0
?8
?
直线
PN
的斜率为
k?

?
32
m?x
0
2y
0
(?x
0
?3x
0
?4)

让我们一起为了孩子的进步而努力！
2y
0
(?x
0
3
?3x
0
2
?4)
即
x?
4
y?1

32
x< br>0
?4x
0
?2x
0
?8x
0
?8
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x
0
4
?4x
0< br>3
?2x
0
2
?8x
0
?8
从而直线
PN
的方程为：
y?y
0
?(x?x
0
)

32
2y0
(?x
0
?3x
0
?4)
从而直线
PN
恒过定点
G(1,0)

10.已知椭圆两焦点F
1
、
F
2
在
y
轴上，短轴长为
22
，离心率为
2
，
P
是椭圆在第一象限弧上一点，且
2
uuuruuuur
PF
1
?PF
2
?1
，过P作关于直 线F
1
P对称的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点。
（1）求P点坐标；（2）求证直线AB的斜率为定值；
y
2
x
2
解：（1）设椭圆方程为
2
?
2
?1
，由题意可得
ab
y
2
x
2

a?2,b?2, c?22
，所以椭圆的方程为
4
?
2
?1

则F
1
(0,2),F
2
(0,?2)
，设
P(x
0
,y
0
)(x
0
?0,y
0
?0)


uuuruuuur
则
PF
1
?(?x
0
,2?y
0
),PF
2
?(?x
0
,?2?y
0
),

uuuruuuur
22
?PF?PF?x?(2?y
1200
)?1


222
x
0
y
0
4?y
0
2

??1.

?x
0
?

Q< br>点
P(x
0
,y
0
)
在曲线上，则
242< br>2
4?y
0
2
从而
?(2?y0
)?1
，得
y
0
?2
，则点
P
的坐 标为
(1,2)
。

2
（2）由（1）知
PF
1
x
轴，直线PA、PB斜率互为相反数，
设PB斜率为
k(k?0)
，则PB的直线方程为：
y?2?k(x?1)

?
y?2?k(x?1)
?
222
由
?
x
2
y
2
得
(2?k)x?2k(2?k)x?(2? k)?4?0

?1
?
?
?24

2k(k?2)k
2
?22k?2
?1?
设B(x
B
,y
B
),
则
x
B
?

2?k
2
2?k
2

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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k
2
?22k?242k
同理可得
x
A
?
，则
x?x?
AB
22
2?k2?k

y
A
?y
B
??k(x
A
?1)?k(x
B
?1)?
所以直线AB的斜率
k
AB
?
8k

2
2?k
y
A
?y
B
?2
为定值。 x
A
?x
B
x
2
y
2
7
?? 1
相交于
A
、
B
两点,已知点
M(?,0)
11 .已知动直线
y?k(x?1)
与椭圆
C:
5
5
3
3
uuuruuur
求证：
MA?MB
为定值

解: 将
y?k(x?1)
代入
x
2
y
2
??1
5
5
3
中得
(1?3k
2
)x
2
?6k< br>2
x?3k
2
?5?0


???36k?4(3k?1)(3k?5)?48k?20?0
，
4222
6k
2
3k
2
?5

x
1
?x
2
??
2
，
x
1
x
2
?

3k?13k
2
?1
uuuruuur
7777
所以
MA?MB?(x
1
?,y
1
)(x
2
?,y
2
)?(x
1
?)(x
2
?)? y
1
y
2

3333
77
?(x
1?)(x
2
?)?k
2
(x
1
?1)(x
2< br>?1)

33
749

?(1?k
2
)x
1
x
2
?(?k
2
)(x
1
?x< br>2
)??k
2

39
3k
2
?576k< br>2
49
2
?(?k)(?
2
)??k
2

?(1?k)
2
3k?133k?19
2
?3k
4
?16k
2
?549
4
2
???k
?
。
3k
2
?19
9
x
2
?y
2
?1
.如图所示，斜率为
k(k＞0)
且不过原点的直线
l
交12.在平面直角坐 标系
xOy
中，已知椭圆
C:
3
椭圆
C
于
A
，
B
两点，线段
AB
的中点为
E
，射线
OE
交椭圆
C
于点
G
，交直线
x??3
于点
D(?3,m)

让我们一起为了孩子的进步而努力！

2
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（Ⅰ）求
m
2
?k
2
的最小值；（Ⅱ）若
OG?OD
?
OE
，求证：直线
l
过定点；
解：（Ⅰ）由题意:设直线
l:y?kx?n(n?0)
,
?
y? kx?n
?
222
(1?3k)x?6knx?3n?3?0
, 由
?
x
2
消y得:
2
?
?y?1
?
3

??36kn?4(1?3k)×3(n?1)
?12(3k?1?n)?0

设A
(x
1
,y
1
)
、B
(x
2
,y
2
)
,AB的中点E
(x
0
,y< br>0
)
,则由韦达定理得:

2222
22x
1
?x
2
=
?6knn
?3kn
?3kn< br>,即,,
x?
y?kx?n??k?n?
0
00
1?3k< br>2
1?3k
2
1?3k
2
1?3k
2
?3k nn
所以中点E的坐标为
(,)
,
1?3k
2
1?3k
2
因为O、E、D三点在同一直线上，
所以
k
OE
?K
OD
，即
?
所以
m
2
?k
2
=
1
1m
??
， 解得
m?
，
k
3k3
1
?k
2
?2,当且仅当
k?1
时取等号, 即
m
2
?k
2
的最小值为2.
2
k
m
（Ⅱ）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为
y??x
,
3
m< br>?
y??x
?
m
2
?
3
所以由
?
2
得交点G的纵坐标为
y
G
?
,
2
m?3
?
x
?y
2
?1
?
?
3
m
2
n
n
2
y?m
?m?
又因为
y
E
?
,,且?，所以,
OE
OG?OD
D
m
2
?31?3k
2
1?3k
2
又由（Ⅰ）知:
m?
1
,所以解得
k?n
,所以直线
l< br>的方程为
l:y?kx?k
,
k
即有
l:y?k(x?1)
, 令
x??1
得,y=0,与实数k无关,
x
2
y
2
13.例：设椭圆
C:
2
?2
?1(a?b?0)
过点
M(2,1)
，且焦点为
F
1
(?2,0)

ab
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）当过点
P(4,1)
的动直线
l
与椭圆
C
相交与两不 同点
A,B
时，在线段
AB
上取点
Q
，满足
uuu ruuuruuuruuur
AP
g
QB?AQ
g
PB
，证 明：点
Q
总在某定直线上

让我们一起为了孩子的进步而努力！

解：(1)由题意：
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?
c
2
?2
?
x
2
y
2
?
21
22
??1

?
2
?
2
?1
，解得
a?4,b?2
，所求椭圆方程为
42
?
ab
22 2
?
c?a?b
?
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为< br>(x,y),(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
。
uuuruuur
APAQ
uuuruuuruuuruu ur
由题设知
AP,PB,AQ,QB
均不为零，记
?
?
u uur
?
uuur
,则
?
?0
且
?
?1< br>
PBQB
uuuruuuruuuruuur
又A，P，B，Q四点共线，从 而
AP??
?
PB,AQ?
?
QB

x
1
?
?
x
2
，
1?
1?
?
x?
?
x
2

x?
1
，
y?
1?
?
于是
4?
从而
y
1
?
?
y
2

1?
?
y
1
?
?
y
2

1?
?
22
x
1
2
?
?
2
x2
y
1
2
?
?
2
y
2
?4x
，
LL
（1）
?y
，
LL
（2）
1?
?
2
1?
?
2
又点A、B在椭圆C上，即
2222

x
1
?2y
1
?4,LL(3)

x
2
?2y
2
?4,LL(4)

（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
4s?2y?4

即点
Q(x,y)
总在定直线
2x?y?2?0
上
方法二
uuuruuuruuuruuur
设点
Q(x,y),A(x
1
, y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由题设，
P A,PB,AQ,QB
均不为零。
uuuruuur
PAPB
且
uuur
?
uuur

AQQB
uuuruuuruuuruuur
又
P,A,Q,B
四 点共线，可设
PA??
?
AQ,PB?
?
BQ(
?
?0,?1)
,于是
4?
?
x1?
?
y
（1）
,y
1
?
1?
?
1?
?
4??
x1?
?
y

x
2
?
（2）
,y
2
?
1?
?
1?
?

x
1
?

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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22


由于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
在椭圆C上 ，将（1），（2）分别代入C的方程
x?2y?4,
整理得
(x
2
?2y
2
?4)
?
2
?4(2x?y?2)
?
? 14?0
（3）
(x
2
?2y
2
?4)?
2
?4(2x?y?2)
?
?14?0
(4)
(4)－(3) 得
8(2x?y?2)
?
?0

∵
?
?0,∴2x?y?2?0

即点
Q(x,y)
总在定直线
2x?y?2?0
上。

让我们一起为了孩子的进步而努力！


22
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垂直、对称问题
xy
1．已知点P(3,4)是椭圆
2
＋
2
＝1(a>b>0)上的一点，F
1
、F
2
是椭圆的两焦点，若PF
1
⊥PF
2
，试求：
ab
(1)椭圆方程；
(2)△PF
1
F
2
的面积．
解：(1)法一：令F
1
(－c,0)，F
2
(c,0)，
∵PF
1
⊥PF
2
，∴k
PF1
·k
PF2＝－1，
即
44
·＝－1，解得c＝5，
3＋c3－c
22
xy
∴椭圆方程为
2
＋
2
＝1.
aa－25
∵点P(3,4)在椭圆上，
916
∴
2
＋
2
＝1，
aa－25
解得a＝45或a＝5，

又a>c，∴a＝5舍去，
xy
故所求椭圆方程为＋＝1.
4520
法二：∵PF
1
⊥PF
2
，
∴△PF
1
F
2
为直角三角形，
1
∴|OP|＝|F
1
F
2
|＝c.
2
又|OP|＝3＋4＝5，∴c＝5，
xy
∴椭圆方程为
2
＋
2
＝1(以下同法一)．
aa－25
(2)法一：P点纵坐标的值即为F
1
F
2
边上的高，
11
∴S
△PF1F2
＝|F
1
F
2
|× 4＝×10×4＝20.
22
法二：由椭圆定义知：|PF
1
|＋|PF< br>2
|＝65①
又|PF
1
|＋|PF
2
|＝|F< br>1
F
2
|②
①－②得2|PF
1
|·|PF
2
|＝80，
1
∴S
△PF1F2
＝|PF
1
|·|PF
2
|＝20.
2
2
222
22
22
22
2
22

让我们一起为了孩子的进步而努力！
yxx
1
y
1
x
2
y
2
2.设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)是椭圆
2
＋
2< br>＝1(a>b>0)上的两点，m＝(，)，n＝(，)，且满足m·n＝0，
abbaba椭圆的离心率e＝
3
，短轴长为2，O为坐标原点．
2
22

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(1)求椭圆的方程；
(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F(0，c)(c为半 焦距)，求直线AB的斜率k的值．
ca－b3
解：(1)2b＝2，b＝1，e＝＝＝?a＝2，c＝3.
aa2
y
2
故椭圆的方程为＋x＝1.
4
(2)设AB的方程为y＝kx＋3，
2
22
?
?y＝kx＋3
由
?
y
2
2
＋x＝1
?
?
4

?(k＋4)x＋23kx－1＝0.
22
－23k
x
1
＋x
2
＝
2
，
k＋4
－1
x
1
x
2
＝
2
， < br>k＋4
x
1
x
2
y
1
y
2
由已知0＝m·n＝
2
＋
2

ba
1
＝x
1
x
2
＋(kx
1
＋3)(kx
2
＋3)
4
k3k3
＝(1＋)x
1
x
2
＋(x
1
＋x
2
)＋
444
k＋413k－23k3
＝·(－
2
)＋·
2
＋，
4k＋44k＋44
解得k＝±2.
2< br>2
x
2
y
2
3.已知点A、B、C是椭圆E：
2?
2
?1

(a?b?0)
上的三点，其中点A
(23 ,0)
是椭圆的右顶点，直线
ab
uuuruuur
uuuruuur
BC过椭圆的中心O，且
AC
g
BC?0
，
BC?2AC
，如图。
(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得 直线PC与直线QC关于直线
x?3
对称，求直线PQ的斜率。

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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uuuruuur
解：(I)
Q
BC?2AC
，且BC过椭圆的中心O
uuuruuur
?OC?AC


uuuruuur
Q
AC
g
BC?0

??ACO?
?
2

又
QA (23,0)

?
点C的坐标为
(3,3)
。
Q
A
(23,0)
是椭圆的右顶点，
?a?23
，则椭圆方程为：
x
2
y
2
?
2
?1

12b将点C
(3,3)
代入方程，得
b
2
?4
，
x
2
y
2
?1

?
椭圆E的方程为
?
124
(II)
Q
直线PC与直线QC关于直线
x?3
对称，
?
设直线PC的斜率为
k
，则直线QC的斜率为
?k
，从而直线PC的方程为：
y?3?k(x?3)
，即
y?kx?3(1?k)
，
由
?
?
?
y?kx?3(1?k)
消y，整理得：
22
?
?
x?3y?12?0
(1?3k
2
)x
2
?63k(1?k)x?9k
2
?18k?3?0
Qx?3
是方程 的一个根，

让我们一起为了孩子的进步而努力！

9k
2
?18k?3
?x
P
g
3?

1?3k
2
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9k
2
?18k?3
即
x
P
?

2
3(1?3k)
同理可得：
9k
2
?18k?3

x
Q
?
2
3(1?3k)
Qy
P
?y
Q
?kx
P
?3(1? k)?kx
Q
?3(1?k)
＝
k(x
P
?x
Q< br>)?23k

＝
?12k

2
3(1?3k)
9k
2
?18k?39k
2
?18k?3

x
P
?x
Q
??
22
3(1?3k)3(1?3k)
＝
?36k

2
3(1?3k)
?k
PQ
?
y
P
?y
Q
1
?

x
P
?x
Q
3
1
。
3
3
对称”得两直线的斜率互为相反数，设
则直线PQ的斜率为定值
方法总结：本题第二问中，由 “直线PC与直线QC关于直线
x?
直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用< br>3
是方程
(1?3k
2
)x
2
?63k(1?k) x?9k
2
?18k?3?0
的根，易得点P的横坐标：
9k
2
?18k?3
，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标：
x
P
?
2
3(1?3k)
9k
2
?18k ?3
，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。
x
Q
?< br>2
3(1?3k)
接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、 Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许
多。
直接计算
y
P
?yQ
、
x
P
?x
Q
，就降低了计算量。总之，本题有两处 是需要同学们好好想一想，如何解决此

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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类问题，一是过曲线上的点的直线和曲线相交，点的坐 标是方程组消元后得到的方程的根；二是利用直线
的斜率互为相反数，减少计算量，达到节省时间的目的 。

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中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥 曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判
别式、根与 系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为
A (x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)
，将这两点代入圆锥曲线的方
程并对所得两式作差，得到一个与弦
AB< br>的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代
点作差的方法为“点差法”。
1.以定点为中点的弦所在直线的方程
x
2
y
2
??1< br>内一点
M(2,1)
引一条弦，使弦被
M
点平分，求这条弦所在直线的 方程。 例1、过椭圆
164
解：设直线与椭圆的交点为
A(x
1
, y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)


M(2,1)
为
AB
的中点
?
x
1
?x
2
?4

y
1
?y
2
?2

2222
又
A
、
B
两点在椭圆上，则
x
1
?4y
1
?1 6
，
x
2
?4y
2
?16

两式相减得< br>(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)?0

于是
(x
1
?x
2
)(x
1?x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0

2222
?
y
1
?y2
x?x41
??
12
????

x
1
?x
2
4(y
1
?y
2
)4?22
即
k
AB
??
11
，故所求直线的方程为
y?1??(x?2)
，即
x?2y?4?0
。
22
2
y
2
?1
，经过点
M(1,1)
能否作一条直线
l
，使
l
与双曲线 交于
A
、
B
，且点
M
是线例2、已知双曲线
x?< br>2
段
AB
的中点。若存在这样的直线
l
，求出它的方程，若不 存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题
属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设 存在被点
M
平分的弦
AB
，且
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)

则
x
1
?x
2
?2
，
y
1
?y2
?2

让我们一起为了孩子的进步而努力！

yy
2
x
1
?
1
?1
，
x
2
?
2
?1

22
2
22
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两式相减，得
y?y
2
1
?2

(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0

?
k
AB?
1
x
1
?x
2
2
故直线
AB:y? 1?2(x?1)

?
y?1?2(x?1)
?
由
?
2
y
2
消去
y
，得
2x
2
?4x?3?0

x??1
?
2
?

??(?4)
2
?4?2?3??8?0

这说明直线
AB
与双曲线不相交，故被点
M
平分的弦不存在，即不存在这样的直线
l
。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中 判断
点的
M
位置非常重要。（1）若中点
M
在圆锥曲线内，则被点< br>M
平分的弦一般存在；（2）若中点
M
在圆
锥曲线外，则被点
M
平分的弦可能不存在。
2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
y
2
x
2
1
??1
的一条弦的斜率为3，例3、已知椭圆它与直线< br>x?
的交点恰为这条弦的中点
M
，求点
M
的
7525
2
坐标。
解：设弦端点
P(x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
，弦
PQ
的中点
M(x
0
,y
0
)
，则
x
0
?
1

2
x
1
?x
2
?2x
0
?1
，
y
1
?y
2
?2y
0

yx
yx
又
1
?
1
?1
，
2
?
2
?1

75257525
两式相减得
25(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?75(x< br>1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?0

即
2y
0
(y
1
?y
2
)?3(x
1
?x
2
)?0

22
22
y
1
?y
2
3

??
x
1
?x
2
2y
0

k?< br>y
1
?y
2
3
1
?3
，即
y
0
??

?3

?
2y
0
2
x
1
?x
2

让我们一起为了孩子的进步而努力！

点
M
的坐标为
(,?)
。
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1
2
1
2
y
2
x
2
??1
,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 例4、已知椭圆
75 25
解：设弦端点
P(x
1
,y
1
)
、
Q (x
2
,y
2
)
，弦
PQ
的中点
M(x, y)
，则
x
1
?x
2
?2x
，
y
1
?y
2
?2y

yx
yx
又
1
?
1
?1
，
2
?
2
?1

75257525
两式相减得
25(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?75(x< br>1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?0

即
y(y
1
?y
2
)?3x(x
1
?x< br>2
)?0
，即
22
22
y
1
?y
2
3x
??

x
1
?x
2
y
k?
y
1
?y
2
3x
?3
，即
x?y ?0

?3

?
y
x
1
?x
2
5353
?
x?y?0
P(?,)
5353
?
2< br>,?)
由
?
y
，得
x
2
22
Q(
??1
22
?
?
7525
点
M
在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
x?y?0(?
3.求与中点弦有关的圆锥曲线的 方程
例5、已知中心在原点，一焦点为
F(0,50)
的椭圆被直线
l:y ?3x?2
截得的弦的中点的横坐标为
椭圆的方程。
5353
?x?)

22
1
，求
2
y2
x
2
22
解：设椭圆的方程为
2
?
2
?1
，则
a?b?50
┅┅①
ab
设弦端点
P(x1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y
2
)
，弦
PQ
的中点
M(x
0
,y
0
)< br>，则
x
0
?
1
1
，
y
0
?3x
0
?2??

x
1
?x
2
?2x< br>0
?1
，
y
1
?y
2
?2y
0??1

2
2
22
22
yx
yx
又< br>1
2
?
1
2
?1
，
2
2
?
2
2
?1

ab
ab

让我们一起为了孩子的进步而努力！

22
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两式相 减得
b(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2)?a(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?0

即
?b(y
1
?y
2
)?a(x
1
?x
2
)?0

22
a
2
y
1
?y
2
a
2

2
?3
┅┅②
?
b
x
1
?x
2
b
2
联立①②解得
a
2
?75
，
b
2
?25

y
2
x
2
??1
所求椭圆的方程是
7525
4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
x
2< br>y
2
??1
，试确定的
m
取值范围，使得对于直线
y ?4x?m
，椭圆上总有不同的两点例6、已知椭圆
43
关于该直线对称。
解：设
P
1
P
2
的中点，则
1
(x
1,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
为椭圆上关于直线
y?4x?m
的对称两点，
P(x,y)为弦
P
3x
1
?4y
1
?12
，
3x
2
?4y
2
?12

两式相减得，
3(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)?0
< br>即
3(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2)?0

2222
2222
?
x
1
?x
2
?2x
，
y
1
?y
2
?2y
，
y
1
?y
2
1
??

x
1
?x
2
4
?
y?3x
这就是弦
P
1
P
2
中点
P
轨迹方程。
它与直线
y?4x?m
的交点必须在椭圆内
联立
?
?y?3x
?
x??m
3
，得
?
则必须满足
y
2
?3?x
2
，
4
?
y? 4x?m
?
y??3m
213213
3
2
?m?

m
，解得
?
1313
4
即
(3m)
2?3?

让我们一起为了孩子的进步而努力！


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取值范围问题
对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满 足的不等式，通过解
不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解.
（1）从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
uuuruuur
1.已知直线
l
与
y
轴交于点
P(0,m )
，与椭圆
C:2x?y?1
交于相异两点A、B，且
AP?3PB
，求
m
的
22
取值范围．
解：（1）当直线斜率不存在时：
m??
1

2
（2）当直线斜率存在时：设
l
与椭圆C交点为
A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
)

?
y?kx?m
222

?
?
2
得
(k?2)x?2kmx?m?1?0

2
?
2x?y?1

???(2km)
2
?4(k
2
?2)(m
2
?1)?4(k
2
?2m
2
?2)?0
（*）
?2kmm
2
?1
, x
1
x
2
?
2

x
1
?x
2
?
2

k?2k?2
uuuruuur
∵
AP?3PB
，∴
?x
1
?3x
2
，
?
x
1
?x
2
??2x
2
2
∴
?
. 消去，得
x
3(x?x)?4x
1
x
2
?0
， < br>2
12
2
?
x
1
x
2
??3x2
?2km
2
m
2
?1
)?4
2
?0

?3(
2
k?2k?2
整理得
4k
2m
2
?2m
2
?k
2
?2?0

2?2m
2
11
2
2

m?
时，上式不成立；
m?
时，
k?
，
4m
2
?1
44
2
2?2m
2
11
?0< br> ∴
k?
，∴或
?m?1

?1?m??< br>4m
2
?1
22
2
2?2m
2
11
?1?m??
把
k?
代入（*）得或
?m?1

4m
2
?1
22
2
∴
?1?m??
11
或
?m?1

22
11
或
?m?1
。
22
综上m的取值范围为
?1?m??
（2）利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函 数表达式,确定参数的取值范围.

让我们一起为了孩子的进步而努力！
uuuuruuuruuur
2.已知点
M(4, 0)
，
N(1, 0)
，若动点
P
满足
MN?MP?6|PN|
．
（Ⅰ）求动点
P
的轨迹
C
的方程；

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ruuur
18
uuu
12
（Ⅱ）设过点
N
的直线
l
交轨迹
C
于
A
，
B
两点 ，若
?
≤
NA?NB
≤
?
，求直线
l
的斜 率的
75
取值范围.
uuuruuuuruuur
解：（Ⅰ）设动点
P(x, y)
，则
MP?(x?4, y)
，
MN?(?3, 0)
，
PN?(1?x, ?y)
.
由已知得
?3(x?4)?6(1?x)
2
?(?y)
2
，
xy
??1
. 化简得
3x?4y?12
，得
43< br>22
22
x
2
y
2
??1
. 所以点
P
的轨迹
C
是椭圆，
C
的方程为
43
（Ⅱ）由题意知，直线
l
的斜率必存在，
不妨设过
N
的直线
l
的方程为
y?k(x?1)
，
设
A
，
B
两点的坐标分别为
A(x
1
, y
1
)
，
B(x
2
, y
2
)
.
?
y?k(x?1),
?
2222
由
?
x
2
y
2
消去
y
得
(4k?3)x?8kx?4k?12?0
.
?1
?
?
3
?
4
因为
N
在椭圆内，所以
??0
.
?
8k
2
x?x?,
?
?
12
3?4k
2
所以
?

2
?
xx?
4k?12
.
12
?
3?4k
2
?
uuuruuur
2
因为
NA?NB?(x
1
?1)(x
2
?1)?y
1
y
2
?(1?k)(x
1
?1)(x
2
?1)

?(1?k
2
)[x1
x
2
?(x
1
?x
2
)?1]
< br>4k
2
?12?8k
2
?3?4k
2
?9(1?k< br>2
)
?(1?k)?
，
22
3?4k3?4k
2
18?9(1?k
2
)12
2
≤
?
所以
?
≤
. 解得
1
≤
k
≤
3
.
2
73?4k5
(3)利用基本不等式求参数的取值范围

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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uuuruuur
x
2
y< br>2
3.已知点
Q
为椭圆
E
：
??1
上的一动 点，点
A
的坐标为
(3,1)
，求
AP?AQ
的取值范围．
182
uuuruuur
AP?(1,3)AQ?(x?3,y?1)
， 解： ，设Q（x，y），
uuuruuur
AP?AQ?(x?3)?3(y?1)?x?3 y?6
．
x
2
y
2
∵
??1
，即
x
2
?(3y)
2
?18
，
182
而< br>x
2
?(3y)
2
≥2|x|?|3y|
，∴－18≤6xy ≤18．
则
(x?3y)
2
?x
2
?(3y)
2
?6xy?18?6xy
的取值范围是[0，36]．
x?3y
的取值范围是[－6，6]．
uuuruuur
∴
AP?AQ?x?3y?6
的取值范围是[－12，0]．
4.已知椭圆的一个 顶点为
A(0,?1)
，焦点在
x
轴上.若右焦点到直线
x?y?2 2?0
的距离为3.
（1）求椭圆的方程.
（2）设直线
y?kx?m( k?0)
与椭圆相交于不同的两点
M,N
.当
|AM|?|AN|
时 ，求
m
的取值范围.
x
2
解：（1）依题意可设椭圆方程为
2
?y
2
?1
，则右焦点
F
a
由题设
| a
2
?1?22|
2
?
a
2
?1,0

?
?3
，解得
a
2
?3
，
x
2
故所求椭圆的方程为
?y
2
?1.

3
（2）设
P(x
P
,y
P
)
、
M(x
M
,y
M
)
、
N(x
N
,y
N< br>)
，
?
y?kx?m
?

P
为弦
MN
的中点，由
?
x
2
2
?y?1
?
?< br>3
得
(3k
2
?1)x
2
?6mkx?3(m
2
?1)?0

Q
直线与椭圆相交，
???(6mk)
2
?4(3k
2
?1)?3(m
2
?1)?0?m
2
?3k
2
?1,
①
?x
P
?
?k
A P
x
M
?x
N
m
3mk
，从而
y
P
?kx
P
?m?
2
，
??
2
3k?1
23k?1
y
P
?1
m?3k
2
?1
，又
|AM|?|AN|,?AP?MN,

???
x
P
3mk

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m?3k
2
?11
则：???
，即
2m?3k
2
?1
，②
3mkk
把②代入①得
m
2
?2m
，解
0?m?2
，
由 ②得
k
2
?
1
2m?1
?0
，解得
m?< br>.
2
3
综上求得
m
的取值范围是



1
?m?2
.
2
5.如图所示，已知圆
C: (x?1)?y?8,定点A(1,0),M
为圆上一动点，点
P
在
AM上，点
N
在
CM
上，
且满足
AM?2AP,NP?AM ?0,点N
的轨迹为曲线
E
.


（I）求曲线
E
的方程；
（II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E
于不同的两点
G,H
（点
G
在点
F,H
22
之间），且满足
FG?
?
FH
，
求
?
的取值范围.
解：（Ⅰ）
?AM?2AP,NP?AM?0.

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|
|CN|?|AN|?22?2.
又
?|CN|?|NM|?22,?
∴动 点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.
且椭圆长轴长为
2a?22,
焦距2c=2.
?a?2,c?1,b
2
?1.

x
2
?y
2
?1.
∴曲线E的方程为
2
（Ⅱ）当直线GH斜率存在时，
x
2
?y
2
?1,
设直线GH方程为
y?kx? 2,代入椭圆方程
2
3
由??0得k
2
?.

2< br>?4k3
设
G(x
1
,y
1
),H(x
2< br>,y
2
),则x
1
?x
2
?

, x
1
x
2
?
11
?k
2
?k
2< br>22
得
(?k
2
)x
2
?4kx?3?0.
1
2

让我们一起为了孩子的进步而努力！

又?FG?
?
FH,
?x
1
?
?
x
2
,
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?(x
1
,y
1
?2)?
?
(x
2
,y
2
?2)

?(
x
1
?x
2
2
x x
2
)?x
2
?
12
，
1?
??
2
?x
1
?x
2
?(1?
?
)x
2,x
1
x
2
?
?
x
2
.
?4 k
2
3
)
11
?k
2
?k
2
?< br>2
?
2
,整理得
2
?
(1?
?
)< br>(
16(1?
?
)
2
?

1
?< br>3(
2
?1)
2k
?k
2
?
31616,?4??.
3
23
?3
2k
2
?4?
??
1
?
?2?
161
.解得?
?
?3.

33
1
??
?
?1.

3
11
又当直线GH斜率不存在，方程为
x?0,FG?FH,
?
?.

33
11
??
?
?1,即所求
?
的取值范围是[,1)
33
又?0?
?
?1,
6.已知椭圆
E
的 中心在坐标原点
O
，两个焦点分别为
A(?1,0)
、
B(1,0)
，一个顶点为
H(2,0)
.
（1）求椭圆
E
的标准方程；
（2）对于
x
轴上的点P(t,0)
，椭圆
E
上存在点
M
，使得
MP?MH< br>，求
t
的取值范围.
解：（1）由题意可得，
c?1
，
a?2
，∴
b?3
．
x
2
y
2
??1
． ∴所求 的椭圆的标准方程为：
43
x
0
2
y
0
2
（x
0
??2)
，则
??1
． ① （2）设
M(x
0
,y
0
)
43
且
MP?(t?x
0
,?y
0
)
，
MH?(2?x
0
,?y
0
)
，
由
MP?MH
可得
MP?MH?0
，即
∴
(t?x
0
)(2?x
0
)?y
0
?0
． ②
由①、②消去
y
0
整理得
2
1
2
t(2 ?x
0
)??x
0
?2x
0
?3
． ∵
x
0
?2

4

让我们一起为了孩子的进步而努力！

∴
t??
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113
(2?x
0
)?1?x
0
?
．
442
∵
?2?x
0
?2
， ∴
?2?t??1
．

∴
t
的取值范围为
(?2,?1)
.
x2
y
2
2
7.已知椭圆
C:
2
?
2< br>?1
(a?b?0)
的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直
ab
2
线
x?y?2?0
相切．
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）若过点
M
(2，0)的直 线与椭圆
C
相交于两点
A,B
，设
P
为椭圆上一点，且满足
OA?OB?tOP
（O
为坐标原点），当
PA?PB
＜
2 5
时，求实数
t
取值范围．
3

c
2
a
2
?b
2
1
c2
2
?
． 解：（Ⅰ）由题意知
e??
， 所以
e?
2
?
2
a a2
a2
22
即
a?2b
． 又因为
b?
2
?1
，所以
a
2
?2
，
b
2
?1
．
1?1
x
2
?y
2
?1
． 故椭圆
C
的方程为
2
（Ⅱ）由题意知直线
AB
的斜率存在.
设
AB
：
y?k(x?2)
，
A(x
1
, y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，< br>P(x,y)
，
?
y?k(x?2),
?
2222
(1?2k)x?8kx?8k?2?0
. 由
?
x
2
得
2
?
?y?1.
?2
??64k
4
?4(2k
2?1)(8k
2
?2)?0
，
k
2
?
1
.
2
8k
2
8k
2
?2
x
1
?x
2
?
，
x
1
g
x
2
?.
1?2k
2
1?2k
2
x
1
?x
2
8k
2
∵
OA?OB?tOP
，∴
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)?t(x,y)
，
x?
，
?
2
tt(1?2k)

让我们一起为了孩子的进步而努力！

y?
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y1
?y
2
1?4k
?[k(x
1
?x
2
)?4k]?
.
2
ttt(1?2k)
(8k
2
)2
(?4k)
2
?2
2
?2
， ∵点
P
在椭圆上，∴
22222
t(1?2k)t(1?2k)
222
∴
16k?t(1?2k)
.
∵
PA?PB
＜
20
25< br>25
，∴
1?k
2
x
1
?x
2
?< br>，∴
(1?k
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
gx
2
]?

9
3
3
64k
4
8k
2
?220
?4
g
]?< br>∴
(1?k)[
，
(1?2k
2
)
2
1? 2k
2
9
2
22
2
∴
(4k?1)(14k?13 )?0
，∴
k?
1
.
4
16k
2
8< br>11
2
222
2
?8?
∴
?k?
，∵
16k?t(1?2k)
，∴
t?
，
1?2k
2
1?2 k
2
42
∴
?2?t??
2626
或
?t?2，
33
2626
)?(,2)
.
33
∴实数t
取值范围为
(?2,?
x
2
y
2
8.已知A 、B、C是椭圆
m:
2
?
2
?1(a?b?0)
上的三点， 其中点A的坐标为
(23,0)
，BC过椭圆m
ab
的中心，且
AC ?BC?0,|BC|?2|AC|
．
（1）求椭圆
m
的方程；
（2）过点
M(0,t)
的直线l（斜率存在时）与椭圆m交于两点P，Q，设D为椭圆m与y 轴负半轴的交点，
且
|DP|?|DQ|
.求实数t的取值范围．
x
2
y
2
解（1）椭圆m：
??1

124
（2）由条件D（0，－2） ∵M（0，t）
1°当k=0时，显然－22°当k≠0时，设
l:y?kx?t

让我们一起为了孩子的进步而努力！

?
x
2
y
2
?1
?
?
消y得
?
124
?
y?kx?t
?
(1?3k
2
)x
2
?6ktx?3t
2
?12?0

由△>0 可得
t
2
?4?12k
2
① 设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),PQ中点H(x
0
,y
0
)

则
x
0
?
∴
H(?
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x
1
?x
2
3kt
t
?

y?kx?t?
00
2
2
2
1?3k
1?3k3ktt
,)

1?3k
2
1?3k
2
由
|DP|?|DQ|?OH?PQ
1
即k
DH
??

k
t
?2
2
1
??
∴
1?3k
3 kt
k
??0
1?3k
2
∴t的范围是（1，4）
化简得t?1?3k
2
②
∴t>1 将①代入②得 1 综上t∈（－2，4）
9.如图，已知椭圆的中 心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM
的直线l在y轴上 的截距为m（m≠0），l交椭圆于A、B两个不同点。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.

x
2
y
2
解：（1）设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)

ab

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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?
a?2b
2
?
? ?
a?8
则
?
4
解得
?
2
1
?< br>2
?1
?
b?2
?
?
2
ab
?x
2
y
2
??1
∴椭圆方程为
82
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距m, 又K
OM
=

1

2
?l的方程为：y?
1
x?m

2
1
?
y?x?m
?
?
2
?x
2
?2mx?2m
2
?4?0
由
?
22
?
x
?
y
?1
?
2
?
8
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
???(2m)
2
?4(2m
2
?4)?0,
解得?2?m?2,且 m?0............................................... ............8分
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k
1
，k
2
，只需证明k
1
+k
2
=0即可
设
A(x< br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),且x1
?x
2
??2m,x
1
x
2
?2m?4
2

y
1
?1y
2
?1
则
k
1
?

,k
2
?
x
1
?2x< br>2
?2
由
x
2
?2mx?2m?4?0可得

2
x
1
?x
2
??2m,x
1
x
2?2m
2
?4

y
1
?1y
2
?1
(y
1
?1)?(x
2
?2)?(y
2
?1)(x
1
?2)
而
k
1
?k
2
?
??
x
1
?2x
2
?2(x
1
?2)(x2
?2)

让我们一起为了孩子的进步而努力！

11
(x
1
?m?1)(x
2
?2)?(x< br>2
?m?1)(x
1
?2)
2
?
2
(x1
?2)(x
2
?2)
?
x
1
x
2< br>?(m?2)(x
1
?x
2
)?4(m?1)
(x
1
?2)(x
2
?2)

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2m
2
?4?(m?2)(?2m)?4(m? 1)
?
(x
1
?2)(x
2
?2)
2m
2
?4?2m
2
?4m?4m?4
??0................. .....................................13分

( x
1
?2)(x
2
?2)
?k
1
?k
2< br>?0
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

让我们一起为了孩子的进步而努力！


一、常见基本题型：
（1）利用基本不等式求最值，
1.求椭圆上的点到直线
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最值问题
的最短距离__________
答：
2.已知椭圆
值与最小值。
内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上 动点，求的最大
解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）

图1
由椭圆的第一定义得：

可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，
最小，最小值为
，最小值为。
最大，最大值为

，当P为的延
长线与椭圆的交点时，
故的最大值为
3.已知椭圆两焦点
F
1
、
F
2
在
y轴上，短轴长为
22
，离心率为
2
，
P
是椭圆在第一象 限弧上一点，且
2
uuuruuuur
PF
1
?PF
2?1
，过P作关于直线F
1
P对称的两条直线PA、PB分别交 椭圆于A、B两点，求△PAB面积的最
大值。
y
2
x
2
解、设椭圆方程为
2
?
2
?1
，由题意可得
ab

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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a?2,b?2,c?22
，
y
2
x
2
故椭圆方程为
??1


42
设AB的直线方程：
y?2x?m
.
?
y?2x?m
?
22
由
?
x
2
，得
4x?22mx?m?4?0
，
y
2
?1
?
?
?
24
22
由
??(22m)?16(m?4)?0
，得
?22?m?22

P到AB的距离为
d?
|m|
，
3
则
S
?PAB
?
|m|
111
|AB|?d?(4?m
2
)?3 ?

222
3
1
2
1m
2
?m
2
?8
22
?m(?m?8)?()?2
。
882


当且仅当
m??2??22,22
取等号， ∴三角形PAB面积的最大值为
2
。
（2）利用函数求最值，
4.如图，
DP?x
轴，点M在DP的延长线上，且
|DM|?2|DP|
．当点P在圆
x?y?1
上运动时。 （I）
求点M的轨迹C的方程；
(Ⅱ)过点
T(0,t)作圆x?y?1
的切线
l
交曲线 C于A，B两点，求△AOB面积S的最
大值和相应的点T的坐标。
解:设点
M的坐标为
?
x,y
?
，点
P
的坐标为
?
x
0
,y
0
?
，
则
x?x
0
，
y?2y
0
，所以
x
0
?x
，y
0
?
22
22
22
??
y
， ①
2
22
因为
P
?
x
0
,y< br>0
?
在圆
x?y?1
上，所以
x
0
?y0
?1
②
y
2
?1
． 将 ①代入②，得点
M
的轨迹方程C的方程为
x?
4
2
（Ⅱ）由 题意知，
|t|?1
．

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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33
,1),(,1),

22


当
t?1
时，切线
l
的方程为
y?1< br>，点A、B的坐标分别为
(?
此时
|AB|? 3
，当
t??1
时，同理可得
|AB|?3
；
当
t?1
时，设切线
l
的方程为
y?kx?m,
k?R
?
y?kx?t,
?
222
2
由
?
得
(4?k)x?2ktx?t?4?0
③
y
2
?1,
?
x?
4
?
设 A、B两点的坐标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
，则由③得：
2ktt
2
?4
x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?
．
22
4?k4?k

又由l与圆
x?y?1
相切，得
22
|t|
k
2
?1
2
?1,
即
t
2
?k
2
?1.

4k
2
t
?
4(t
2
?4)
?
43|t|.

所以
|AB|?(x
2
?x
1
)?(y< br>2
?y
1
)
?(1?k)[?]
t
2
?3< br>222
(4?k)4?k
2
2
因为
|AB|?
43| t|
?
t
2
?3
43
?2,
且当
t??3
时，
3
|t|?
|t|
|AB|=2，所以|AB|的最大值为2
依题意，圆心
O
到直线AB的距离为圆
x?y?1
的半径，
所以
?AOB
面积
S?
22
1
AB?1?1
，
2
当且仅当
t??3
时，
?AOB
面积S的最大值为1，
相应的
T
的坐标为
0,?3
或者
0,3
．
??< br>??
x
2
?y
2
?1
.过点
(m,0)作圆
x
2
?y
2
?1
的切线
l
交椭圆 G于A,B两点. 5.已知椭圆
G:
4
将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值.
解：由题意知，
|m|?1
.

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当
m?1
时，切线
l
的方程为
x?1
，点A,B的坐标分别为
(1,
此时
|AB|?3
；
当
m??1
时，同理可得
|AB|?3
；
当
m?1
时，设切线
l
的方程为
y?k(x?m)
.
33
),(1,?)
，
22
?
y?k(x?m)
?
22222
由
?
x
2
得
(1?4k)x?8kmx?4km?4?0
.
2
?
?y?1
?4
设A,B两点的坐 标分别为
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
.
又由
l
与圆
x?y?1
相切，得
22
|km|
k
2
?1
2
?1< br>，即
m
2
k
2
?k
2
?1
.
22
所以
|AB|?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y
1
)?(1?k)[(x
2
?x< br>1
)?4x
1
x
2
]

2
64k< br>4
m
2
4(4k
2
m
2
?4)
43 |m|
?
?]

?(1?k)[
.
m
2
?3
(1?4k
2
)
2
1?4k
2
2
由于当
m??1
时，
|AB|?3
，

|AB|?
43|m|43
??2
，
2
3
m?3
|m|?
|m|
当且当
m??3
时，
|AB|?2
.所以|AB|的最大值为2.

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圆锥曲线轨迹问题

有关动点的轨迹问题是解析几何中的一类重要的问题，求动点的轨迹和圆锥曲线的定义、性质有着密切的关系．在求解时要先画出相应的草图进行分析，再选择好相应的解题策略和具体方法。
该内容在函数方程思想、化归转化思想等方面均有体现和渗透。
轨迹问题是高考中的一个热点 和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查
学生创新意识为突破口，注重考查 学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹
方程这一热点，常涉及函数、三角 、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度。
探求曲线轨迹的基本方法：直接法（轨迹法） 、定义法、 相关点法（代入法）、 参数法、代入法、待定
系数法、点差法、向量法等。

求轨迹方程的的基本步骤：
1、建立直角坐标系
2、设出动点坐标(x,y),已知定点坐标若没给出，亦可设出，如(a,b)
3、找出题目中的限制条件，动点、定点满足的条件
4、代入动点，定点的坐标
5、化简整理
6、检验(特别注意定义域等限制条件)


1.直接法：

如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简 单明确，不需要特殊的技巧，易于表述
成含x,y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；
常见的等量关系：
已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直
线的斜率公式、几何量中的等量关系等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方
程。

22
x?y?1
，动点M到圆C的切线长与
MQ
的例1、 已知直角坐标系中，点Q（2，0），圆C的方程为
比等于常数
?
(
?
?0)
，求动点M的轨迹。






【解析】设MN切圆C于N，则
MN
2

N
y

M
O
Q x

?MO?ON
。设
M(x,y)
,则
22
x
2< br>?y
2
?1?
?
(x?2)
2
?y
2
化简得
(
?
2
?1)(x
2
?y
2
)?4
?
2
x?(1?4
?
2
)?0

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（1） 当
?
?1
时，方程为
x?
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5
，表示一条直线。
4
2
?
2
2
1?3
?
2
2
（2） 当
?
?1
时，方程化为
(x?
2
表示一个圆。
)?y?
22
?
?1(
?
?1)

练1、 如图，圆
O
1
与圆
O
2
的半径都是1，
O
1
O
2
?4
. 过动点
P
分别作圆
O
2< br>、圆
O
2
的切线
PM，PN
（
M，
，使得< br>PM?2PN
. 试建立适当的坐标系，并求动点
P
的轨迹方程.
N
分别为切点）

【解析】以
O
1
O
2< br>的中点
O
为原点，
O
1
O
2
所在直线为x
轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则
O
1
(?2，0)
，
O
2
(2，0)
.
由已知
PM?2PN
，得
PM
2
?2PN
2
.
因为两圆半径均为1，所以
2
PO
1
2
?1?2(PO
2
?1)
.
设
P(x，y)
，则
(x?2)
2
?y
2
?1?2[(x?2)
2
?y
2
?1]
，
即
( x?6)
2
?y
2
?33
.(或
x
2
?y
2
?12x?3?0
)
小结：
1、用直接法求动点轨迹一般有建 系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要
注意“挖”与“补”。
2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。


2．定义法：
圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点 符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹
方程。这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或 差为定值的条件，或利用平面几何知识分
析得出这些条件．


例2、已知动 圆过定点
?
p
?
p
?
,0
?
，且与直线< br>x??
相切，其中
p?0
.
2
?
2
?
求动圆圆心
C
的轨迹的方程；



?
p
?
?
,0
?
?
2
?
p

x??
2

让我们一起为了孩子的进步而努力！







【解析】如图，设
M
为动圆圆心，
?
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p
?
p
?
,0
?为记为
F
，过点
M
作直线
x??
的垂线，垂足为
N
，
2
?
2
?
p
的距离相等，由抛物线的定义知 ，点
M
的
2
由题意知：
MF?MN
即动点
M
到定点
F
与定直线
x??
轨迹为抛物线，其中
F
?

p
?
p
?
,0
?
为焦点，
x??为准线，所以轨迹方程为
y
2
?2px(P?0)
；
2
?
2
?

练2、已知A、B、C是直线l上的三点，且| AB|=|BC|=6，⊙O′切直线
l于点A，又过B、C作⊙O′异于l的两切线，设这两切线交于 点P，求点P
的轨迹方程.

【解析】设过B、C异于l的两切线分别切⊙O′于D、E两点， 两切
线交于点P.由切线的 性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故
|PB|+|PC|=| BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|
=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，
点P的轨迹是以B、C为两焦点的椭圆，
以l所在的直线为x轴，以BC的中点为原点，建立坐标系，
O
'





E


P

D



C

l

A

B







x
2
y
2
??1
可求得动点P的轨迹方程为：
8172

小结：定义法的关键是条件的转化——转化成某一基本轨迹的定义条件。


3.相关点法：
动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P(x,y) 却随另一动点Q(x’，y’)的运动而有规
律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x ’,y’表示为x,y的式子，再代入Q的轨迹方
程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。
几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然 而得
出动点的轨迹方程。

x
2
y
2
??1上的动点，求ΔF
1
F
2
P的重心G的轨迹方程。 例3、 已知P是以F
1
、F
2
为焦点的双曲线
169
解： 设重心G（x, y）, 点 P（x
0
, y
0
）， 因为F
1
（-4，0），F
2
（4，0）

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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?4?4?x
0
?
x?x
2
y
2
?
x?3x
?
?
0
3
则有 ,
?
， 故
?
代入
0
?
0
?1

0?0?y
0
169?
y
0
?3y
?
y?
?
3
?
9x
2
得所求轨迹方程
?y
2
?1
（y≠0）
16
小结：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。



22
例4、如图，从双曲线x-y=1上一点Q引直线x+y =2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程。

【解析】设动点P的坐标为（x ,y）,点Q的坐标为（x
1
,y
1
）
则N（ 2x-x
1
,2y-y
1
）代入x+y=2,得2x-x
1
+2y-y
1
=2①
又PQ垂直于直线x+y=2，故
y?y
1
?1
，即x-y+y
1
-x
1
=0②
x?x
1
由① ②解方程组得
x
1
?
3113
x?y?1,y
1
? x?y?1
, 代入双曲
2222
22
线方程即可得P点的轨迹方程是2x- 2y-2x+2y-1=0

x
2
y
2
练3、已知椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别是F
1
（－c，0）、F
2
（c，0），Q是椭圆外的动点，
ab
满足
|F
1
Q|?2a.
点P是线段F
1
Q与该椭圆的交点，点T在线段F< br>2
Q上，并且满足
PT?TF
2
?0,|TF
2
|? 0.

求点T的轨迹C的方程；



【解析】
解法一：（相关点法）
设点T的坐标为
(x,y).
当
|PT| ?0
时，点（
a
，0）和点（－
a
，0）在轨迹上.
当|
PT|?0且|TF
2
|?0
时，由
PT?TF
2
?0
，得
PT?TF
2
.
又
|PQ|?|PF
2
|
，所以T为线段F
2
Q的中点.
x
?
?c< br>?
x?,
?
?
2
设点Q的坐标为（
x
?,y
?
），则
?
?
y?
y
?
.
?
2
?

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?
x
?
?2x?c,
因此
?
①
?
?
y?2y.
由
|F
1
Q|?2a
得
(x
?
?c)?y
?
?4a.
②
将①代入②，可得
x?y?a.

综上所述，点T的轨迹C的方程是
x?y?a.

解法二：（几何法）
设点T的坐标为
(x,y).

当
|PT|?0
时，点（
a
，0）和点（－
a
，0）在轨迹上.
当|
PT|?0且 |TF
2
|?0
时，由
|PT|?|TF
2
|?0
，得
PT?TF
2
.
又
|PQ|?|PF
2
|< br>，所以T为线段F
2
Q的中点.
在△QF
1
F
2< br>中，
|OT|?
222
222
222
1
|F
1
Q|?a
，所以有
x
2
?y
2
?a
2< br>.

2
222
综上所述，点T的轨迹C的方程是
x?y?a.

评析：一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。


4、点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是 把弦的两端点A（x
1
,y
1
），B（x
2
,y
2
）的
坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x
1
+x
2
, y
1
+y
2
, x
1
-x
2
, y
1
-y
2
等关系式，由于弦
y?y
AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x
1
+x
2,
2y= y
1
+y
2
且直 线AB的斜率为
21
，由此可求得弦AB的中点
x
2
?x
1
的轨迹方程。
x
2
y
2
??1
164
例 5、过椭圆内一点
M(2,1)
引一条弦，使弦被
M
点平分，求这条弦所在直 线的方程。
解：设直线与椭圆的交点为
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)

?

M(2,1)
为
AB
的中点
?
x
1
?x
2
?4

y
1
?y
2
?2

?
又
A
、
B
两点在椭圆上，则
x
1
?4y
1
?16，
x
2
?4y
2
?16

2222
( x?x
2
)?4(y
1
?y
2
)?0
两式相减得
1
于是
(x
1
?x
2
)(x
1
? x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y< br>2
)?0

2222

让我们一起为了孩子的进步而努力！

y
1
?y
2
x?x41
??
12
????
4(y
1
?y
2
)4?22

?
x
1
?x
2
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即
k
AB
??
11
y ?1??(x?2)
2
，故所求直线的方程为
2
，即
x?2y?4? 0
。
2
y
2
x??1
2
例6、已知双曲线，经过 点
M(1,1)
能否作一条直线
l
，使
l
与双曲线交于A
、
B
，且点
M
是线
段
AB
的中点。 若存在这样的直线
l
，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。本题
属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。
解：设 存在被点
M
平分的弦
AB
，且
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)

则
x
1
?x
2
?2
，
y
1
?y2
?2

yy
2
x
1
?
1
? 1x
2
?
2
?1
22
，
2
22
两式相减，得
y
1
?y
2
1k??2
AB
(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)(y
1
?y< br>2
)?0
x?x
12
2

?

故直线
AB:y?1?2(x?1)

?
y?1?2(x?1)?
2
?
2
y
x??1
2
?
2
由
?
消去
y
，得
2x?4x?3?0

2
?

??(?4)?4?2?3??8?0

这说明直线
AB
与双曲线不相交，故被点
M
平分的弦不存在，即不存在这样的直线
l
。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到 中点弦问题中判断
点的
M
位置非常重要。（1）若中点
M
在圆锥曲线 内，则被点
M
平分的弦一般存在；（2）若中点
M
在圆
锥曲线外，则 被点
M
平分的弦可能不存在。
y
2
x
2
??1< br>7525
例7、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。
解：设弦端点
P(x
1
,y
1
)
、
Q(x
2
,y2
)
，弦
PQ
的中点
M(x,y)
，则

让我们一起为了孩子的进步而努力！

x
1
?x
2
?2x
，
y
1
?y
2
?2y

y
2
x
y
1
x
?
1
?1?
2
?1
252 5
又
75
，
75

22
22
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两式相减得
25(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?75(x
1
?x
2
)(x
1
?x
2
)?0

y
1
?y
2
3x
??
y
即
y( y
1
?y
2
)?3x(x
1
?x
2
)?0
，即
x
1
?x
2
k?
y
1
?y< br>2
3x
?3
??3
x
1
?x
2
y< br>
?
，即
x?y?0

?

?
x ?y?0
?
2
x
2
53535353
?
y
??1
P(?,)Q(,?)
?
7525
2222
由
?
，得
?
点
M
在椭圆内
?
它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程为
x?y?0(?
5353
?x?)
22
< br>x
2
y
2
??1
3
例8、已知椭圆
4
，试确定的
m
取值范围，使得对于直线
y?4x?m
，椭圆上总有不同的两 点
关于该直线对称。
1
P
2
的中点，则
1
(x< br>1
,y
1
)
，
P
2
(x
2
,y
2
)
为椭圆上关于直线
y?4x?m
的对称两点，
P( x,y)
为弦
P
解：设
P
3x
1
?4y
1
?12
，
3x
2
?4y
2
?12

两式相减得，
3(x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)?0

即
3(x
1
?x
2
) (x
1
?x
2
)?4(y
1
?y
2
)(y
1
?y
2
)?0

2222
2222
y< br>1
?y
2
1
??
4

?
x
1
?x
2
?2x
，
y
1
?y
2
? 2y
，
x
1
?x
2
?
y?3x
这就是弦
P
1
P
2
中点
P
轨迹方程。
它与直线
y?4x?m
的交点必须在椭圆内
?
y?3x
?
x??m
3
??
y
2
?3?x
2
y?4x ?m
，得
?
y??3m
则必须满足
4
， 联立
?

让我们一起为了孩子的进步而努力！

213213
3
??m?
(3m)
2
?3?m
2< br>13

4
，解得
13
即
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注意：（1）双曲线与抛物线的中点弦的存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用 点差法求解圆锥曲线的中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征
明显 ，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。


5、参数法：
求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x,y
之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

例9、已 知椭圆C:
x?
和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使
2y?8
22
APAQ
??
，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
PBQB

分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何 入手。其实，应该想到轨迹问
题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的 横、纵坐标用参数表达，最后通
过消参可达到解题的目的.
由于点
Q(x,y)的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率
k
作为参数，如何将
x,y
与
k
APAQ
??
联系起来？一方面利用点Q在直线AB上 ；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、
PBQB
Q四点共线，不难得到
x?
4(x
A
?x
B
)?2x
A
x
B< br>，要建立
x
与
k
的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C
8 ?(x
A
?x
B
)
的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.






AP
PB
??
AQ
QB

x?
4(xA
?x
B
)?2x
A
x
B

8?(x
A
?x
B
)
将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理
x?f
?
k
?


利用点Q满足直线AB的方程：

y = k (x—4)+1，消去参数k
点Q的轨迹方程

让我们一起为了孩子的进步而努力！








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在得到
x?f
?
k
?
之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于
x,y
的方程
（不含k），则可由
y?k(x?4)?1
解得
k?
参的过程。
y ?1
，直接代入
x?f
?
k
?
即可得到轨迹方程。从而简化 消去
x?4
简解：设
A
?
x
1
,y
1?
,B(x
2
，y
2
),Q(x,y)
，则由
4?x
1
x?x
1
APAQ
??
可得：，
?PBQB
x
2
?4x
2
?x
解之得：
x?4(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
（1）
8?(x
1
?x
2
)
设直线AB的方程为：
y?k(x?4)?1
，代入椭圆C的方程，消去
y
得出关于 x的一元二次方程：
?
2k
2
?1x
2
?4k(1?4k)x?2(1?4k)
2
?8?0
（2）
?
4k(4k?1)
?< br>x?x?,
12
2
?
?2k?1
∴
?

2
2(1?4k)?8
?
xx?.
12
2
?
2k?1
?
代入（1），化简得：
x?
4k?3
.
(3)
k?2
与
y?k(x?4)?1
联立，消去
k
得：
?
2x?y?4
?
(x?4)?0.

2
在（2）中，由
???64k?64k?24?0
，解得
2?102?10
?k?
，结合（3）可求得
44
16?21016?210
?x?.

99
故知点Q的轨迹方程为：
2x?y?4?0
（
16?21016?210
?x?
）.
99
点评：由方程组实施 消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维

让我们一起为了孩子的进步而努力！

是解析几何综合问题求解的一条有效通道.


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易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正
例10、 如图，设抛物线
C:y?x
的焦点为F，动点P在直线
l:x?y?2?0
上 运动，过P作抛物线C的
两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.求△APB的重心 G的轨迹方程.


y


B



G

A


O

x




22
【解析】设切点A、B坐标分别为
(x,x0
)和(x
1
,x
1
)((x
1
?x
0
)
，
2
∴切线AP的方程为：
2x
0
x?y? x
0
?0;

2
l

P

切线BP的方程为：
2x
1
x?y?x
1
?0;

解得P点的坐标为：
x
P
?
2
x
0
?x
1
,y
P
?x
0
x
1

2
x
0
?x
1
?x
P
?x
P
，
3
2
所以△APB的重心G的坐标为
x
G
?
2< br>y
0
?y
1
?y
P
x
0
?x
1
2
?x
0
x
1
(x
0
?x
1
)
2
?x
0
x
1
4x
P
?yp
y
G
????,

3333
所以
y
p
??3y
G
?4x
G
，由点P在直线
l
上运动， 从而得到重心G的轨迹方程为：
2
1
x?(?3y?4x
2
)?2 ?0,即y?(4x
2
?x?2).

3
评析：
1.用参 数法求轨迹是高考中常考的重要题型，由于选参灵活，技巧性强，也是学生较难掌握的一类问
题。 < br>2.选用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。
3.要特别注意消参前后保持范围的等价性。
4.多参问题中，根据方程的观点，引入 n 个参数，需建立n+1个方程，才能消参（特殊情况下，能整
体处理时，方程个数可减少）。

让我们一起为了孩子的进步而努力！

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6、交轨法：
求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入
参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
2
y?4px(p?0)
的顶点作互相垂直的两弦OA、OB，求抛物线的顶点O在直线AB上的 射影例11、抛物线
M的轨迹。
2
y
4p4p
y
A
解1（交轨法）：点A、B在抛物线
y?4px(p?0)
上，设A（B（
B
,y
B
)
所以k
OA
= k
OB
=,
, y
A
)
，
y
A
y
B
4p
4p2
2
2
y
A
?y
B
y
A
由O A垂直OB得k
OA
k
OB
= -1，得y
A
y
B
= -16p ,又AB方程可求得
y?y
A
?
2
(x?)
，即（y
A
+y
B
）< br>2
4p
y
A
y
B
?
4p4p
2y-4px-y
A
y
B
=0,把 y
A
y
B
= -16p代入得AB方程（y
A
+y
B
）y--4px+16p =0 ① 又OM的方程为
22
y?
y
A
?y
B
x
②
?4P
由①②消去得y
A
+y
B
即得
x?y?4px?0
， 即得
(x?2p)
22
222
2
?y
2
?4p
2
。
所以点M的轨迹方程为
(x?2p)?y?4p< br>，其轨迹是以
(2p,0)
为圆心，半径为
2p
的圆,除去点（0，< br>0）。
评析：用交轨法求交点的轨迹方程时，不一定非要求出交点坐标，只要能消去参数，得到 交点的两个
坐标间的关系即可。交轨法实际上是参数法中的一种特殊情况。

2
解2（几何法）：由解1中AB方程（y
A
+y
B
）y --4px+16p =0 可得AB过定点（4p,0）而OM垂直AB，所
以由圆的几法性质可知： M点的轨迹是以
(2p,0)
为圆心，半径为
2p
的圆。所以方程为
(x?2p)
2
?y
2
?4p
2
，除去点（0，0）。

x
2
y
2
例12、
已知MN是椭圆
?< br>A、B是椭圆长轴的两个端点，求直线 MA
?1
中垂直于长轴的动弦，
22< br>ab
和NB的交点P的轨迹方程。

解析
:(利用点的坐标作参数)
令M(x
1
,y
1
) ，则N(x
1
,-y
1
)
而A(-a,0),B(a,0) .设AM与NB的交点为P(x,y)
y
1
y
?

x?ax
1
?a
y
y
??
1
因为N, B,P 共线. 所以
x?ax
1
?a
M
因为A, M, P 共线. 所以
A O
N
B

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y
2
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y1
2
b
2
(a
2
?x
1
2
)
x
1
2
y
1
2
2
两式相乘得①， 而代入①
??
??1
即
y
1
?
x
2?a
2
x
1
2
?a
2
a
2
b
2
a
2
得
x
2
?
b
2
， 即交点P的轨迹方程为
x
2
?
y
2
x
2
?a
2
a
2
a
2
b
2
?1




7、向量法：
例13、已知椭圆如图6，
x
2
24
?
y
2
16
＝1，直线
L
：xy
12
?
8
＝1，
P
是
L
上一点， 射线
OP
交椭圆于点
R
，又点
Q
在
OP
上 且满足|
OQ
|·|
OP
|＝|
OR
|
2
.当点
P
在
L
上移动时，
求点
Q
的轨迹方程，并说 明轨迹是什么曲线























图6

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解析几何中的四大思想方法

圆锥曲线部分历来是高考数学的重点, 也是学生心中的难点, 很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.
从高考成绩分析上来看, 圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看, 一般会考查学生对解析几何
基本概念的掌握情况, 考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况, 适当地考查学生对几何学知识的
综合应用能力, 重视 对数学思想方法的渗透.圆锥曲线中蕴涵着丰富的数学思想方法，在解有关圆锥曲线
问题时，若能充分运 用这些数学思想方法，可使许多问题获得简洁、巧妙的解法，现举例说明圆锥曲线中
常见的数学思想方法 。

一、函数与方程的思想
方程与函数，是研究常量数学与变量数学的两 把利剑；由于方程思想、函数思想的综合运用，使得很
多常量数学的问题得以顺利解决，使得许多变量数 学的问题得到转化；而且函数思想所揭示的量与量之间
的关系，呈现出前所未有的透彻与深刻。例如圆锥 曲线之间的交点问题可以转化为解二元二次方程组的问
题，直线与曲线的交点问题可以转化为一元二次方 程根与系数的关系问题，直线与曲线上的点距离可转化
为一元二次函数最值问题等。

方程思想
1、关于圆锥曲线的定义应用问题
圆锥曲线是满足条件的动点的轨迹，由 定义可得到动点所满足的条件，而将此条件用坐标表示后即得圆锥
曲线方程，曲线上任一点都满足曲线方 程，从而可抛开具体几何图形，用方程的思想方法着手解决一些问
题。
x
2
y
2
+=
1
上一点到其一个焦点的距离为3，求此点到另一焦点的距离．
例1、例如：已知椭圆
2516

分析：此题需按椭圆的定义列出方程，解方程得此题结果为7，关键在于按定义列出方程.

2、关于圆锥曲线的几何性质问题
椭圆、双曲线、抛物线的简单几何性质均为可抛开 具体圆形，而只对其方程进行研究得到，如椭圆的
x
2
y
2
几何性质 如范围、对称性、顶点、离心率、准线等可直接从方程
2
+
2
=
1< br>（a＞b＞0）得到，双曲线、
ab
抛物线的几何性质同样从其方程可得到.在有关圆锥 曲线性质问题中，只要按其性质列出方程即可求解.

x
2
y
2< br>x
2
y
2
+=
1
和双曲线
-=
1< br>有公共焦点，求双曲线的渐近线方程．
例2、已知椭圆
3m
2
5n< br>2
2m
2
3n
2
3n
2
分析：此题用方程的 思想方法求解． 注意到双曲线焦点在x 轴上，渐近线为y=
±
x
，椭圆焦点也
2m
2
n
2
1
在x 轴上，只需由已知列方程 ：C椭圆=3m-5n=2m+3n=C双，解得
2
=
，所以渐进线方程是y=
±
m8
2 22222
3
x
．
4

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3、关于求方程问题
求 曲线方程是圆锥曲线部分一种重要题型，所用方法一般有待定系数法、定义法、直译法，相关点法.
前两 种方法多用于能确定动点轨迹类型时，由型定方程，由已知定参数，后两种方法多用于有直接或间接
等量 关系时，按等量关系列出方程从而可求出方程。
x
2
-y
2
=1< br>上的动点，F
1
，F
2
是双曲线的两个焦点，求
DPF
1
F
2
的重心
M
的轨迹方程． 例3、P为双曲线
9

分析：此题中M 点的运动受到P点的制约，而P点在已知曲线 上运动，所以只要找到从M点的坐标和P点的坐
标间的关系，将P点的坐标用M点的坐标表示出来，即找 到M点和P点坐标之间的等量关系，代入已知曲线方
程问题就容易解决了。

4、关于交点及弦长的问题
对于直线与圆锥曲线交点及弦的问题，往往用直线方程与圆锥曲线 联立得出方程组，若无解，则直线
与曲线无交点，若有一解，则直线与曲线有一个交点，若有两解则直线 与曲线有两交点．而交点的横坐标
与方程组消去y 所得关于x的方程的解相等，纵坐标与方程组消去元 x所得关于y的方程的解相等.若所得一
元二次方程，判别式适用、韦达定理适用，则“设而不求”是解 交点及弦长问题中常用的方法“。不求”
不代表“不用”，用什么呢？主要是用方程的根与系数的关系， 直线斜率与方程的根之间的关系，及相关点
坐标之间关系。
x
2
y
2
+=
1
内部，过点M的直线与椭圆相交于两点A、B，且M为线段AB的中点， 例4、点M（1，1）位于椭圆
42
求直线AB的方程及
AB
的值．

小结：由以上可见，方程的思想方法在圆锥曲线中比较重要，只有熟悉圆锥曲线的相关基础知 识与方法，
才能抓住相等关系，列出方程或构造方程，自如地运用方程思想解决圆锥曲线问题.



函数思想
函数法是我们探求解析几何最值问题的首 选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得
．．
注意的是函数自变量取值范围的 考察不能被忽视。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
x
2
y< br>2
例1、椭圆
2
+
2
=
1
(a>b>0)， 长轴长为4，右顶点A，在椭圆上存在一点P，使
OP^PA
，求短轴长的
ab
取值范围。

分析：设
P
(
x
0
,y
0
)
,通过条件可将b转换为关于
x
0
的函数
f
(
x
0
)
，从而求函数的值域。

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uuuruuur
x
2
2< br>+y=1
的左焦点，O为坐标原点，点P在椭圆上，则
PF
1
·PO< br>的最大值为 例2、设
F
1
是椭圆
4

uuuruuur
分析：点P在椭圆上，可设出点P的坐标，将
PF
1
·P O
用坐标表示出来， 到此所求问题就转化为已知点P
x
0
2
+y< br>0
2
=1
， 求
x
0
2
+y
02
+3x
0
的最大值， 通过消元转化的两坐标关系求最值．本题实际上是已知
4
为函数的最大值问题， 利用二次函数的配方法求解， 需要注意的是点的坐标的取值范围，即注意椭圆的
几何性质．


例3、过动直线x+2y=p与定直线2x-y=a的交点（其中
p?(0,3a]
）的等轴双曲线系
x?y?
?
中 ， 当
p为何值时，
?
达到最大值与最小值？
分析：求出交点坐标代入双曲线,可得
?
的二次函数表达式，再利用函数方法求解。
解：由
22
{
2x?y?a
x?2y?p
, 得 交点
Q(
p?2a2p?a
,)
,
55
交点Q坐标代入双曲线,
?
?
?x
2
?y
2
=
(
p?2a
2
2p?a
2
1
)?()
=< br>(?3p
2
?8ap?3a
2
)

5525
14a
2
25a
2
[?3(p?)?].
P?(0,3a]
. =
2533
当
p?
4a
1
2
4a4a5a4 a5a
?p??,?|p?|?
,
?
max
?a
,又
0?p?3a
,
??
；
3
333333
当p=3a时,
?
min
?0.


例4、已知点
M
(-2，0)，
N
(2,0)，动点P
满足条件
|PM|?|PN|?22
.记动点
P
的轨迹为W
.
（Ⅰ）求
W
的方程；
uuuruuur
（Ⅱ） 若
A
，
B
是
W
上的不同两点，
O
是坐标原 点，求
OA?OB
的最小值.

分析：（Ⅰ）依题意，点
P
的轨迹是以
M
，
N
为焦点的双曲线的右支，
x
2
y
2
所求方程为：
－＝1
（
x
?0）
22
（Ⅱ）当直线
AB
的斜率不存在时，设直 线
AB
的方程为
x
＝
x
0
，
uuuru uur
此时
A
（
x
0
，
x－2
），
B
（
x
0
，－
x－2
），
OA?OB
＝ 2
2
0
2
0
当直线
AB
的斜率存在时，设直线
AB
的方程为
y＝kx
＋
b
，

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x
2
y
2
1
中，得：(1－
k
2
)
x
2
－2
kbx
－
b
2
－2＝0 代入双曲线方程
－＝
22
依题意可知方程 1?有两个不相等的正数根，设
A
(
x
1
,
y
1< br>),
B
(
x
2
,
y
2
)，则 ?
?
??4k
2
b
2
?4(1?k
2
)?(?b
2
?2)?0
?
2kb
?
解得|
k|?1，
x?x??0
?
12
2
1?k
?
?
b
2
?2
?0
?
x
1
x
2
?
2
k?1
?
uuuruuur
又
OA?OB
＝
x
1
x
2
＋
y
1
y
2
＝
x
1
x
2
＋（
kx
1
＋
b
）（
kx
2
＋
b
）
2k
2
＋2422
＝2＋
2
＝（1＋
k
）
x
1
x< br>2
＋
kb
（
x
1
＋
x
2
） ＋
b
＝
2
?2
k－1k－1
uuuruuur
综上可知
OA?OB
的最小值为2





x
2
?y
2
?1
上移动,试求
PQ
的最大值。 例5、已知
P
点在圆
x
+(
y
-2)=1上移动，
Q
点在椭圆
9
22
分析：故先让
Q
点在椭圆上固定，显然当
PQ
通过圆心
O
1
时|
PQ|
最大，因此要求|
PQ
|的最大值，只要 求|
O
1
Q
|
222
的最大值.设
Q
(< br>x
，
y
)，则|
O
1
Q
|=
x
+(
y
-4) ①
22
因
Q
在椭圆上,则
x
=9(1-
y
) ②
1
??
将②代入①得|
O
1
Q
|=

9(1-
y
)+(
y
-4)
??8
?
y?
?
?27

2
??
1
因为
Q
在椭圆上移动，所以-1?
y
?1，故当
y?时，
OQ?33

1
max
2
此时
PQ
max
?33?1

222
2


uuuruuur
x
2
y< br>2
例6、设直线
l
过点
P
（0，3），和椭圆
??1
顺次交于
A
、
B
两点，若
AP?
?
PB< br>试求?的取值范围.
94
分析：当直线
l
垂直于
x
轴时，可求得
?
??
1
;
5
当
l
与x
轴不垂直时，设
A
?
x
1
,y
1
?
,B(x
2
，y
2
)
，直线
l
的方程为：
y?kx?3
，代入椭圆方程，消去
y
得
9k?4x?54kx?4 5?0

?
2
?
2
解之得
x
1,2
?27k?69k
2
?5
?.

9k
2
?4

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因为椭圆关于
y
轴对称，点
P
在
y
轴上，所以只需考虑
k?0
的情形.
?27k?6 9k
2
?5
?27k?69k
2
?5
当
k?0时，
x
1
?
，
x
2
?
，
2
2
9k?4
9k?4
x
1
?9k?29k
2
?5
18
18k
所以
?
??
＝＝
1?
＝
1?
x
2
9k?29k
2
?5
9k?29k2
?5
9?29?
5
2
由
??(?54k)?1809k?4?0
， 解得
k?
2
.
k
2
?
2
?
5
，
9
所以
?1?1?
18
9?29?
5
1
.
5
k
2
1
??
，
5
综上
?1?
?
??


二、数形结合思想
数 形结合思想是圆锥曲线问题求解的基本思想，其应用主要有两个方面：一是“以形助数”，二是“以
数解 形”，前者借助“数”的精确性来阐明“形”的某种属性，后者借助“形”的几何形来阐明“数”之
间的 某种关系。

例1、若曲线
C
1
：
x+y-2x=0
与曲线
C
2
：
y?(y
值范围是

22
mx-m)=0
有四个不同的交点，则实数m的取
骣
3
鼢
骣
3
-
,0
鼢
0,
答案：
珑

珑
U
鼢
珑
鼢
珑
33
桫桫



例2、函数
Z
=

x
例3、F是椭圆
a
2
?
0
2
y
1
-
1
-
2x
2
的值域为
4
-
x
M
y
2
Q
F
A
O
x
b
2
?1(a?b?0)
的左焦点，过F且倾斜
N
B
角为60的直线交椭圆与A、B两点，若AF=2BF，则椭圆的离
心率e=___________。


x
分析：直接计算，若设出直线AB方程，代入椭圆
a
2
?
2
y
2
b
2
?1(a?b?0)
进行消元，利用条件AF =2BF将是

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AF=2BF设AF=2k,BF=k，则
AM?
则
AQ?
k
e
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一件非常烦琐的事情 。现在作出椭圆的左准线，过A、B分别作左准线的垂线，垂足记为M、N，根据条件
2k
e< br>k
e
,BN?
k
e
，过B作BQ⊥AM于Q，
0< br>k
e
。在⊿ABQ中，
AQ?
0
1
2
，AB =3k，∠BAQ=60，因
此，
3k
?cos60?
。
?e?
2
3
点评：以上解法是“数”与“形”有机结合的典范。


例4、已知圆M：
(x+5)
2
+y
2
=36
，定点N
(5,0)
，点P为圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上， 且满
0
，求点G的轨迹方程。
uuuruuuruuuruuur
足
NP=2NQ,GQ?NP

分析：本题条件较多，若采用相关点法求点G的轨迹方程，过程比较繁琐，容易出现错误，而用数形结合思
想来处理，则比较直观简捷。GQ为PN的垂直平分线，GP=GN，故点G的轨迹是以M，N为焦点的椭圆， 其轨迹
x
2
y
2
+=1(y?0)
方程为
94


x
2
y
2
??1
和直线 l:x-y+9=0 ，在l上取一点M ，经过点M且以椭圆的焦点
F
1
,F
2
为例 5、 已知椭圆
123
焦点作椭圆 ，求M在何处时所作椭圆的长轴最短，并求此椭圆方程。

分析：设
F
1
?
是
F
1
关于l对称点 ， 可求出
F
1
?
坐标 ，过
F
1
?
F
2
的直线方程与x-y+9=0联立得交点M为所
求。
x
2
y
2
??1
，得
F(?3,0)
1
,F
2
(3,0)
， 设
F
1
?
是
F
1
关于l对称点 ， 可求出
F
1
?
坐标为解 ：由椭圆方程
123
(-9,6) ， 过
F
1
?
F
2
的直线方程:x+2y-3=0与x-y+9=0联立，得交点M(-5,4)， 即过M的椭圆长轴最短。
由
|MF
1
|?|MF
2
|? 2a
,得
2a?65
，
y l
F
1
?

P
M
?a
2
?45
,
c
2
?9
,
?b
2
?36

x
2
y
2
??1
. 所求椭圆方程为
4536
F
1
O
F
2
x < br>小结：在求圆锥曲线最值问题中，如果用代数方法求解比较复杂，可考虑用几何知识求解，其中“三角形< br>两边之和大于第三边”是求最值常用的定理。同时，利用平几知识求解，蕴涵了数形结合的思想。

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例6、 已知直线
l
过点
D
?
0,3
?
，且与椭圆
4x?9y?36
22
交于
不同两点
M
、
N
，设< br>DM?
?
ND
，求实数
?
的取值
围.







M
D
y
范
B
N
o
A
x
图1
分析：如图3，
DM与
ND
反向，∴
?
?0
，
D
y
???
DM
.
ND
M
A
M
1
N
1
B
过点
M
点作
y
轴的垂线垂足为
M
1
，过点
N
作
l
1
o
l
N
y
轴的垂线垂足为
N
1
,易知
?DMM
1
∽
?DN N
1
，
∴
x
DM
DM
1
.
?
DNDN
1
图3
当直线
l
绕
D
点从
y
轴向直线
l
1
旋转时，（假设
直线
l
与椭圆顺 次交于
M,N
两点）
DM
1
在逐渐增大，
DN
1< br>在逐渐减小， 于是有
1DA
DM
1
???1
,
5D BDN
1

让我们一起为了孩子的进步而努力！

当
M
,
N
相互交换位置又会得到
1?
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DM
1
?5
，从而得到实数
?
的取值范围是
?5?
?
??1
或
DN
1
1
?1?
?
??
.
5





例7、如图4，在
Rt?ABC
中，< br>?CAB?90
°，
AB?2
，
AC?
2
。
DO?AB
于
O
点，
OA?OB
，
2
DO?2，曲线
E
过
C
点，动点
P
在
E
上运动 ，且保持
|PA|?|PB|
的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线
F
的方程；
（2）过
D
点的直线
L
与曲线
E
相交于不同的两点
M
、
N,且
M
在
D
、
N
之间，设
定实数
?< br>的取值范围．








DM
?
?
，试确
DN
y
C
A
o< br>B
x
图4
x
2
1
?y
2
?1
；答案：（1）（2）
[,1)
。
2
3


三、化归与转化思想

将未解决的问题转化为我们已解决过的问题 是求解的实质，通过分析问题，联立相关知识点，使方程
与图形间实施转化，曲线的交点与解方程组的转 换，实质应用问题向数学问题的转换，动点与不动点的转

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换......，总之，使处理问题更具体化，更具有可操作性，更简捷。

x2
y
2
+=
1
，试确定m的取值范围，使得对直线
l: y=4x+m
，椭圆C上有
例1、已知椭圆C的方程为
43
不同两点P，Q关 于该直线对称。

分析：解法1：利用设出对称的两点的坐标及其所在直线的方程，再利用判 别式△>0及中点在对称轴
上来求解；解法2：根据中点M必在P，Q两点之间，建立不等式，将问题转 化为求解直线
l:y=4x+m
和
过P、Q两点所在的直线德交点问题；解法3：联想 与弦的中点有关，利用“设而不求”，可转化为利用均
值不等式，求出m的范围。综上，如果考虑问题的 角度不同，转化后处理方式就不尽相同，但各解法均体
现了化归和转换的数学思想在解题中的应用。

例2、解方程：
x
2
?2x?4?

分析：本题 若采用移项、平方，则解起来繁杂冗长。将方程变形为
(x?1)
2
?3?(x?1)
2
?3?1
，把
常数“3”暂看作变数y，则由双曲线定义知，这个方程表示 以F
1
（－1，0）、F
2
（1，0）为焦点，实半轴
长为
2
x
2
?2x?4?1
。
5
14
222
的双曲线4x－y=1的右支。只要令y=3，就得x=。
2
23


例3、设P为双曲线
x
2
16
?
y
2
9
?1
右支上异于顶点的任一点，F、 F是双曲线的两个焦点，则⊿PFF的内心
1212
M的轨迹方程是

分析： 设三角形PF
1
F
2
的内切圆与F1
F
2
、PF
1
、PF
2
分别切于D、E、F ，易得8=|PF
1
|-|PF
2
|=|DF
1
|-|DF
2
|，设D(x,0)，
则x-(-5)-(5-x)=8,x=4,故轨迹方程为< br>x?4(y?0)



例4、设G、M分别是三角形ABC的重心和 外心，A（-1，0）、B（1，0），且
GM
∥
AB
。
(1)求点C的轨迹E的方程；
(2)已知点D
(?
1
2
,0)
，是否存在直线L，使L过点（0，1）并与曲线E交于P、Q两点，且∠PDQ为锐角
或直角。若存在，求出直线L的斜率k的取值范围；若不存在，说明理由。
?1
x
,
2
)
， 分析：(1)设C(x,y)，则G(< br>3
,
3
)，M(
0,
3
)，AC中点F
(< br>x
2
yy
y
?1
?(x?1)?
由
MF?AC?MF?AC?0
，
?
x
2
y
6
?y? 0

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22
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所以点C轨迹E的方程为：3x+y=3(y≠0) 。
22
（2）将直线L的方程y=kx+1代入曲线E的方程得， (k+3)x+2kx-2=0
k
?
x
1
?x
2
??
k
2
2
?3
设P（x
1
,y
1
）,Q(x
2
,y
2< br>),则
?

2
xx??
k
2
?3< br>?
12
依题意，∠PDQ为锐角或直角，即
DP?DQ?0
，
1
所以
(x
1
?
1
2
)(x
2
?
2
)?(kx
1
?1)(kx
2
?1)?0
2
整理得，
11k?4k?7?0
，所以
?1?k?
7
11
。
但是，当k= -1时，直线L恰过点A（-1，0）而A不在E上，故舍去，
因此，符合条件的直线L存在，所求斜率k的范围为
?1?k?
7
11
。



四、分类讨论思想

圆锥曲线问题经常出 现与其他知识的相互渗透，引进第三个变量是经常遇到的，此时对不定变量的分
类讨论至关重要，分类讨 论能使考生全面考虑问题，使解题过程全面严谨，在分类讨论过程中应做到有根
据，不重复，无遗漏。

例1、当m变化时，讨论方程
mx+(2-m)y=1
表示曲线的形状。
分析：(1)当m<0时
(2)当m=0时
(3)当0 (4)当m=1时
(5)当1 (6)当m=2时
(7)当m>2时




例2、中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆，与直线x+y=1交于A、B两点， C是AB中点，若
AB=22
，OC
22
的斜率为

2
，求椭圆方程。
2
分析：可设椭圆方程为
ax+by=1(a> 0,b>0)
，
A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)
，则
C(
22
x
1
+
x
2
y
1
+
y
2
,)
，联立
2 2

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方程，利用
AB=22
，OC的斜率为
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22
1
，两个方程可解出
a=
，
b=
。用待定系 数法求圆锥曲
23
3
线的方程时，首先要看焦点能否确定在哪个轴上，解题时，既要注 意各种情况的讨论，又不要盲目讨论，
如本题巧妙避免了讨论。



例3、已知双曲线的渐近线方程为
y=?
3
x
，求其离心率 。
4

分析：由于双曲线与它的共轭曲线有相同的渐近线，因此，此题对应的双曲线 有两种，需要讨论离心率。
e=


55
或e=

43
x
2
y
2
+=
1
的两个焦点，P为椭圆上一点 ，若
P,F
1
,F
2
是一个直角三角形的顶点，且例4、设
F
1
,F
2
是椭圆
94
PF
1
>PF2
，求
PF
1
的值。
PF
2

分析 ：本题是因为影响结论的点的位置不确定而讨论求解的，还有一种情况是若干个点的顺序不确定，不
同的 顺序所得的结果不相同，也需要分类讨论求解。







轨迹
【例5】长度为
a
（
a?0
） 的线段
AB
的两个端点
A
、
B
分别在
x
轴 和
y
轴上滑动，点
P
在线段
AB
上，且
uuuru uur
AP?
?
PB
（
?
为常数且
?
?0
）．
（1）求点
P
的轨迹方程
C
，并说明轨迹类型； < br>（2）当
?
=2时，已知直线
l
1
与原点O的距离为
值范围．
答案：(1)设
P(x,y)
、
A(x
0
,0)
、
B(0,y
0
)
，则
a
，且直线
l< br>1
与轨迹
C
有公共点，求直线
l
1
的斜率
k
的取
2

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2
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?
x
0
?(1?
?
)x
uuuruuur
?
x?x
0
??
?
x
?
222
AP?
?< br>PB?
?
?
?
1?
?
，由此及
|AB|?a ?x
0
?y
0
?a
，得
y
?
y?
?
(y
0
?y)
?
y
0
?
?
?
y
2
?
a
?
?
?
1?
?
?
?
2
2
?
(1?
?
)x
?
?< br>?
??
y
?
?a
，即
x?
?
2?
?
1?
?
?
（*）
?
??
?< br>??
?
2
2
①当
0?
?
?1
时，方 程（*）的轨迹是焦点为
(?
2
1?
?
a
的椭圆．
a,0)
，长轴长为
1?
?
1?
?
2
?
?1?
?
a
的椭圆．
a)
，长轴长为
1?
?1?
?
a
为半径的圆．
2
②当
?
?1
时，方程（*）的轨迹是焦点为
(0,?
③当
?
?1
时，方程（* ）的轨迹是焦点为以O点为圆心，
（2）设直线
l
1
的方程：
y?k x?h
，据题意有
h
1?k
2
?
a
a
，即
h?1?k
2
．
2
2
?
y?kx?h
k
2
2
99
2
?
2
9(1?)x?khx?h?a? 0
． 由
?
2
9
2
得
2
424
9x?y?a
?
4
?
因为直线
l
1
与椭圆
9x?
2
9
2
y?a
2
有公共点，所以
??9(4 ?k
2
)a
2
?81h
2
?0,

4
又把
h?
73535
a
?k?
．
1?k
2
代入上式得 ：
k
2
?,??
555
2