高中数学竞赛题型

高中数学竞赛题型

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。
1.设集合
A?{1,2,3,…99}
，
B?{2x|x?A},C?{x |2x?A}
，则
BC
的元素个数为______.
2.设点
P< br>到平面
?
的距离为
3
，点
Q
在平面
?
上，使得直线
PQ
与
?
所成角不小于
30?
且不大于60?
，
则这样的点
Q
所构成的区域的面积为______.
3.将
1,2,3,4,5,6
随机排成一行，记为
a,b,c,d,e,f
，则
abc?def
是偶数的概率为______.
x
2
y
2
4.在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分别是
F
1
、F
2< br>，椭圆
C
的弦
ST
ab
与
UV
分别平行于< br>x
轴与
y
轴，且相交于点
P
。已知线段
PU,PS, PV,PT
的长分别为
1,2,3,6
，则
?PF
1
F2
的面积为______.
5.设
f(x)
是定义在
R
上的以
2
为周期的偶函数，在区间
[0,1]
上严格递减，且满足
f(
?
)?1,f(2
?
)?2
，
?
1?x?2< br>则不等式组
?
的解集为______.
1?f(x)?2
?
6.设复数
z
满足
|z|?1
，使得关于
x
的方程
zx?2zx?2?0
有实根，则这样的复数
z
的和为______.
7. 设
O
为
?ABC
的外心，若
AO?AB?2AC
，则
sin?BAC
的值为______.
8.设整数数列
a
1
,a
2
,…,a
10
满足
a
10
?3a
1,a
2
?a
8
?2a
5
，且
2
a< br>i?1
?{1?a
i
,2?a
i
},i?1,2,…,9，
则这样的数列的个数为______。
二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
9.（本题满分16分）已知定义在
R
上的函数
f(x)
为
?
?
?
|log
3
x?1|,0?x?9,
f(x)?< br>?

x?9
?
?
4?x,
设
a,b,c是三个互不相同的实数，满足
f(a)?f(b)?f(c)
，求
abc
的取值范围。
10.（本题满分20分）已知实数列
a
1
,a
2< br>,a
3
,…
满足：对任意正整数
n
，有
a
n
(2S
n
?a
n
)?1
，其中
S
n
表示
数列的前
n
项和。证明：
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1）对任意正整数
n
，有
a
n
?2n
；
2）对任意正整数
n
，有
a
n
a
n?1
?1
。
11.在平面直角坐标系
xOy
中，设
AB
是抛物线
y
2
?4x
的过点
F(1,0)
的弦，
?AOB
的 外接圆交抛物线于
点
P
（不同于点
O,A,B
）。若
PF< br>平分
?APB
，求
|PF|
的所有可能值。
加试（A卷）
一、（本题满分40分）设
n
是正整数，
a
1
,a
2
,?,a
n
,b
1
,b
2
,…,b
n< br>，
A,B
均为正实数，满足
a
i
?b
i
,a
i
?A,i?1,…2,
，且
,n
b
1
b
2
…b
n
B
?
。
a
1
a
2…a
n
A
二、（本题满分40分）如图，
?ABC
为锐角三角形 ，
AB?AC
，
M
为
BC
边的中点，点
D
和
E
分别为
?ABC
的外接圆
BAC
和
BC
的中点，
F
为
?ABC
的内切圆在
AB
边上的切点，G
为
AE
与
BC
的交
点，
N
在线段< br>EF
上，满足
NB?AB
。
证明：若
BN?EM
， 则
DF?FG
。（答题时请将图画在答卷纸上）

三、（本题满分50分） 设
n,k,m
是正整数，满足
k?2
，且
n?m?
2k?1
n
。设
A
是
{1,2,…,m}
的
n
元< br>k
子集。证明：区间
(0,
n
)
中的每个整数均可表示为a?a
?
，其中
a,a
?
?A
。
k?1四、（本题满分50分）数列
{a
n
}
定义如下：
a
1
是任意正整数，对整数
n?1
，
a
n?1
是与
等于
a
1,
…a
n
的最小正整数。证明：每个正整数均在数列
{ a
n
}
中出现。
?
a
互素，且不
i
i?1
n
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