高中数学习题解析

圆锥曲线数学习题解析



椭圆、双曲线、抛物线同属于圆 锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导
过程以及简单的几何性质都存在着相似之处，也有着一定的区别 ,因此，要准
确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系。以下为几种不同
的题 目解析过程：
3
[1]设双曲线的渐近线为：
y??x
，求其离心率. < br>2
3b3
错解：由双曲线的渐近线为：
y??x
，可得：
?< br>，从而
2a2
cb
2
13

e??1?
2< br>?
a2
a
3
剖析：由双曲线的渐近线为
y??x
是不 能确定焦点的位置在x轴上的，当焦
2
b2
点的位置在y轴上时，
?
，故本题应有两解，即：
a3
13
cb
2
13
或. e??1?
2
?
3
a2
a
［2］设点P(x,y)在椭 圆
4x
2
?y
2
?4
上，求
x?y
的最大 、最小值.
错解：因
4x
2
?y
2
?4
∴
4x
2
?4
，得：
?1?x?1
，同理得：
?2?y?2
，故
?3?x?y?3
∴最大、最小值分别为3,-3.
剖析：本题中x、 y除了分别满足以上条件外，还受制约条件
4x
2
?y
2
?4
的约
束.当x=1时,y此时取不到最大值2,故x+y的最大值不为3.其实本题只需令
s c
?
?2nis
?
?5n(is
则
x?y?o
x? cos
?
,y?2sin
?
，
?
?
?
)< br>，故其最大值为
5
，
最小值为
?5
.
［3］已知双 曲线的右准线为
x?4
，右焦点
F(10,0)
,离心率
e?2,求双曲线方
程.
a
2
?x??4,c?10,?a
2
?40,?b
2
?c
2
?a
2
?60.
故所求的 双曲线方程错解一：
c
x
2
y
2
??1.
为
4060

错解二： 由焦点
F(10,0)
知
c ?10,
?e?
x
2
y
2
??1.
故所求的双曲 线方程为
2575
c
?2,?a?5,b
2
?c
2
?a
2
?75.

a
错因： 这两个解法都是误认为双曲线的中心在 原点，而题中并没有告诉中心
在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随意增加、遗漏题设条 件，
都会产生错误解法.
解法一： 设
P(x,y)
为双曲线上任意一点 ，因为双曲线的右准线为
x?4
，右
22
(x?10)?y
F(10 ,0)
焦点，离心率
e?2
，由双曲线的定义知
?2.
整理得
|x?4|
(x?2)
2
y
2
??1.

1648
解法二： 依题意，设双曲线的中心为
(m,0)
,
?< br>a
2
?
?m?4
?
a?4
c
?
?< br>?
则
?
c?m?10
解得
?
c?8
,所以
b
2
?c
2
?a
2
?64?16?48,

?
m?2.
?
c
?
?
?2.
?
?
a
(x?2)
2
y
2
??1.
故所求双曲线方程为
1648
［4］设椭圆的中心是坐标原点，长轴
x
在 轴上，离心率
e?
到这个椭圆上的最远距离是
7
，求这个椭圆的方程. x
2
y
2
错解：依题意可设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)

ab
c
2
a
2
?b
2
b
2
3
?1?
2
?
， 则 e?
2
?
2
4
aaa
2
3
3
，已知点
P(0,)
2
2
b
2
1
所以
2
?
，即
a?2b.

4
a
设椭圆上 的点
(x,y)
到点
P
的距离为
d
，

3
则
d
2
?x
2
?(y?)
2
2
y
2
9
?a(1?
2
)?y
2
?3 y?
4

b
1
??3(y?)
2
?4b
2
?3.
2
2
1
所以当
y??
时，
d
2
有最大值，从而
d
也有最大值。
2
所以
4b
2
?3?(7)
2
，由此解得：
b
2
?1,a2
?4.

x
2
?y
2
?1.
于是 所求椭圆的方程为
4
错因：尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正 确
1
只是碰巧而已。由当
y??
时，
d
2
有最大值 ，这步推理是错误的，没有考虑
y
2
到的取值范围.事实上，由于点
(x,y )
在椭圆上，所以有
?b?y?b
，因此在求
d
2
的最大值 时，应分类讨论.
1
正解：若
b?
，则当
y??b
时，< br>d
2
（从而
d
）有最大值.
2
3
311< br>于是
(7)
2
?(b?)
2
,
从而解得
b? 7??,与b?矛盾
.
222
2
11
所以必有
b?
，此时当
y??
时，
d
2
（从而
d
）有最大值，
22
所以
4b
2
?3?(7)
2
，解得
b
2
?1,a
2
?4.

x
2
?y
2
?1.
于是所求椭圆的方程为
4x
2
y
2
［5］从椭圆
2
?
2
?1< br>,(
a
>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左
ab
焦点 F
1
，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，
当QF
2
⊥AB时，延长QF
2
与椭圆交于另一点P，若⊿F
1
P Q的面积为20
3
，求此
时椭圆的方程
解：本题可用待定系数法求解 x
2
y
2
∵b=c,
a
=
2
c，可设 椭圆方程为
2
?
2
?1

2cc
∵PQ⊥AB,∴ k
PQ
=-
1
k
AB
?
a
?2
， 则PQ的方程为y=
2
(x-c)，
b

代入椭圆方程整理得 5x
2
-8cx+2c
2
=0，
根据弦长公式，得
PQ＝
62
c
,
5
又点F
1
到PQ的距离d=
26
c
3
∴
S
?FPQ
?
43
2
43
2
1
c
,由
c?203，得c
2
?25,

PQd?
1
2
5
故所求椭圆方程为
x
2
y
2
50< br>?
25
?1


5