高中数学题型解题方法

第一讲 选择题的解题方法

知识整合
题型地位
选 择题是高考数学试卷的三大题型之一．选择题的分数一般占全卷的40%，解选择题
的快慢和成功率的高 低对于能否进入做题的最佳状态以及整个考试的成败起着举足轻重的
作用．如果选择题做得比较顺手，会 使应试者自信心增强，有利于后续试题的解答．
题型特点
数学选择题属于客观性试题，是单 项选择题，即给出的四个选项中只有一个是正确选项，
且绝大部分数学选择题属于低中档题，一般按由易 到难的顺序排列，主要的数学思想和数学
方法能通过它得到充分的体现和应用，并且因为它还有相对难度 (如思维层次、解题方法的
优劣选择，解题速度的快慢等)，所以选择题已成为具有较好区分度的基本题 型之一．其主
要体现在以下三个方面：
(1)知识面广，切入点多，综合性较强；
(2)概念性强，灵活性大，技巧性较强；
(3)立意新颖，构思精巧，迷惑性较强．
由于解选择题不要求表述得出结论的过程，只要求 迅速、准确作出判断，因而选择
题的解法有其独特的规律和技巧．因此，我们应熟练掌握选择题的解法， 以“准确、迅速”
为宗旨，绝不能“小题大做”．
解题策略
数学选择题的求解，一 般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和
选择支联合考虑或从选择支出发探求是否 满足题干条件．其解法的基本思想有以下两点：
(1)充分利用题干和选择支提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基
本策略．
(2)既要看到通常各类常规题的解题思想，原则上都可以指导选择题的解答，更应看到，
根据选择题的 特殊性，必定存在着一些特殊的解决方法．其基本做法如下：①仔细审题，领
悟题意；②抓住关键，全面 分析；③仔细检查，认真核对．
另外，从近几年高考试题的特点来看，选择题以认识型和思维型的题目 为主，减少了繁
琐的运算，着力考查逻辑思维与直觉思维能力，以及观察、分析、比较、选择简捷运算方 法
的能力，且许多题目既可用通性通法直接求解，也可用“特殊”方法求解．所以做选择题时
最 忌讳以下两点：
(1)见到题就埋头运算，按着解答题的解题思路去求解，得到结果再去和选项对照， 这
样做花费时间较长，有时还可能得不到正确答案．
(2)随意“蒙”一个答案，确率只有2 5%！但经过筛选、淘汰，正确率就可以大幅度提

高．
总之，解选择题的基本策略是“不择手段”．


直接法
直接 对照型选择题是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公
理、定理、法则等基础 知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，
然后对照题目所给出的选项“对号 入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计
算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策 略是由因导果，直接求解．
典题例析
x
2
y
2
例1 (1)已知椭圆C：
2
＋
2
＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A
1
，A
2
，且以线段A
1
A
2
为
ab< br>直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( A )
A．
C．
6

3
2

3
B．
3

3
1
D．
3
[解析] 由题意知以A
1
A
2
为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝
b1
解得a＝3b，∴＝，
a
3
a
2
－b
2
c
∴e＝＝＝
aa
b
1－??
2
＝
a
1－?
1
2
6
?＝.
3
3
2ab
＝a，
a
2
＋b
2
(2)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝( C )
A．26
C．46
B．8
D．10
[解析] 设圆的方程为x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0，
D＋3E＋F＋ 10＝0，
?
?
则
?
4D＋2E＋F＋20＝0，
?
?
D－7E＋F＋50＝0.

D＝－2，
?
?
解得?
E＝4，
?
?
F＝－20.


∴圆的方程为x
2
＋y
2
－2x＋4y－20＝0.
令x ＝0，得y＝－2＋26，或y＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或
M( 0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴|MN|＝46.

直接法是 解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得
出正确的答案．平时练习中 应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．一
般来说，涉及概念、性质的辨析或简单的 运算题目多采用直接法．

特例检验法
特例检验(也称特例法或特殊值法)是用 特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条
件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出 正确的选择．常用的特例有特殊数值、
特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某
种关 系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不
真，则它在一般情 况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．
典题例析
x
2
y
2
例2 (1)设椭圆C：＋＝1的长轴的两端点分别是M， N，P是C上异于M，N的任
43
意一点，则PM与PN的斜率之积等于( B )
3
A．
4
4
C．
3
3
B．－
4
4
D．－
3
[解析] 取特殊点，设P为椭圆的短轴的一个端点 (0，3)，又取M(－2,0)，N(2,0)，所
以k
PM
·k
PN＝
333
·＝－，故选B.
2
－2
4
(2)设x，y ，z为正数，且2
x
＝3
y
＝5
z
，则( D )
A．2x<3y<5z
C．3y<5z<2x
[解析] 令t＝2
x
＝3
y
＝5
z
，
∵x，y，z为正数，
∴t>1．
lg tlg tlg t
则x＝log
2
t＝，同理，y＝，z＝.
lg 2lg 3lg 5
2lg t3lg t
lg t?2lg 3－3lg 2?
∴2x－3y＝－＝
lg 2lg 3
lg 2×lg 3
＝
lg t?lg 9－lg 8?
>0，
lg 2×lg 3
B．5z<2x<3y
D．3y<2x<5z
∴2x>3y.
2lg t5lg t
又∵2x－5z＝－
lg 2lg 5