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人教版高中数学必修4第二章单元测试(二)-Word版含答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-10-07 02:59
tags:人教版高中数学必修4

高中数学b版省份-高中数学解三角形例题及分析

2020年10月7日发(作者:常裕)














2018-2019学年必修四第二章训练卷
5.已知a =1 , b = 6 , a?b_a = 2,则向量a与向量b的夹角是(
A.
C.
6
6.关于平面向量a, b, c,有下列四个命题:
① 若a b, a^Q则存在入? R,使得b=扫;
② 若 a b= 0,贝V a= 0 或 b= 0;
③ 存在不全为零的实数 人卩使得c=扫+血;
注意事项:
平面向量
(二)
i?答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并 将准考证
号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
























































2 ?选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目
的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3 ?非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4?考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
、选择题(本大题共 12个小题,每小题 5分,共60分,在每小题给出的四个
选项中只有一个是符合题目要求
的)
.设-|
,sin

,b = [cosa,1 I,且
ab
,则锐角 口为( )
A. 30 B . 60
C. 75
D . 45
2 .下列命题正确的是(
A.单位向量都相等
B .若a与b共线,b与c共线,则a与c共线
C.若 |a+ b|= |a— b|,贝U a b= 0
D .若a与b都是单位向量,则 a b= 1.
3.设向量a=(m—2,m+3 ), b=(2m+1,m—2 ),若a与b的夹角大于90°则实数
m的取值范围是(
4,2
C.
-2,4
D . 一::,2 U ?,;
4.平行四边形 ABCD中,AC为一条对角线,若AB =[2,4 , AC =]1,3 ,则AD BD
等于(


C.
_
8
④若 a b= a c,贝U a丄(b—
c).
其中正确的命题是(
A .①③

B .①④


C.②③
D .②④
7.已知 |a|= 5,
|b|= 3,且
a b= -12
,则向量
a在向量b上的投影等于(
A. -4
&设O,A ,M ,B为平面上四点,OM二’OB,1—厂OA,且…1,2,则(

A

.

点M在线段AB上 B .点B在线段AM上
C.点A在线段BM上
D. O, A, B, M四点共线
AP二」AB AC,则△ ABC的面积与厶ABP的面积之 3
9. P是厶ABC内的一点,
比为(
B . 2
C. 3
D . 6
10 .在△ ABC 中,AR = 2RB , CP =2PR ,若 AP
mAB nAC
,则m? n等于(

A
2


. —
3

B .-
7
9


8

C
9

D . 1
11
.
已知 3a + 4b+ 5c= 0,且 |a|= |b|= |c|= 1, 则 a (b+ c)等于( )

4 3
C

3
A.



5
B.
5
.


.

0
5
D .-
12.定义平面向量之间的一种运算
“O”
如下:对任意的
a= (m, n), b= (p, q),
令a
O
b= mq— np.下面说法错误的是(

A

.

若a与b共线,则a
O
b= 0 B
.
a
O
b
=
b
O
a
C.对任意的 入? R,有(

O
b=
X
a
O
D
.
(a
O
b)
2
+
(a b)
2
=
前廿
b)
1


二、填空题(本大题共4个小题,每小题 5分,共20分,把正确答案填在题中横 线上)
18 . (12 分)已知 a, b 的夹角为 120 ° 且 |a| = 4, |b|= 2,
13. 设向量a = (1,2), b= (2,3),若向量 扫+ b与向量c= -4, -7共线,则


求:(1) (a — 2 b) (a + b);
(2) |a + b|;
14. ___________________ ________________________________ a, b 的夹角为 120 °
(3) |3a — 4b|.
|a|= 1, |b|= 3,则 |5a— b| = __________________________________ .
f 1 )
15. 已知向量a = (6,2), b - 4一 ,直线I过点A(3, — 1),且与向量a + 2b垂直,
I
2
丿
则直线I的方程为 _________ .
T I —
16. 已知向量0P二2,1 , 0A二1,7 , 0B = 5,1,设M是直线0P上任意一点(O
为坐标原点),则 MAMB 的最小值为 ____________ .
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤)
17. (10分)如图所示,以向量 0A=a , 0B= b为边作L AOBD,又BM ,
1
CN CD,用 a, b表示 0M、ON、MN .
3





2



〔1 1^3
19 .(12 分)已知 a=( 73,-1 ), b = l*,# ',且存在实数 k 和 t,使得 x= a + (『—
3) b,
―i — —I

20. (12分)设0A二2,5 , OB二3,1 , OC二6,3 .在线段OC上是否存在点
使MA丄MB ?若存在,求出点 M的坐标;若不存在,请说明理由.
y=— ka+ tb,且x丄y,试求
k t
2

3



的最小
值.
4


21. (12分)设两个向量ei、02满足|e
i
|= 2, |e
2
|= 1, ei、e?的夹角为60°若向量2te
i
+ 7e
2
与e
i
+1e
2
的夹角为钝角,求实数

22 .(12分)已知线段PQ过厶OAB的重心G,且P、Q分别在OA、OB上,设OA二a ,
T T —I
OB = b , OP = ma , OQ = nb .
求证:丄丄=3 .
m n
t的取值范围.
5




2018-2019学年必修四第二章训练卷
平面向量(二)答 案
一、选择题(本大题共 12个小题,每小题 5分,共60分,在每小题给出的四个 选项中
只有一个是符合题目要求的)
7.【答案】A

1.【答案】D


【解
sin2: =1 , 2: =90 ,
:=45 .故选 D.
2
析】
.【答案】

C
【解析】? |a + b|
2
= a
2
+ b
2
+ 2a b, |a - b|
2
= a
2
+ b
2
— 2a b, a b
=
a_b |.



a b = 0
.故选 C.


3.【答案】A


【解析】??? a与 b的夹角大于 90° ???
a b : 0
,二 m-2 2m ^(m 3 m-2 :;: 0 ,



即 3m
2

-2m -8 ::0 ,? —
4
::: m <2 .故选 A .

3
4 .【答案】A
【解析】? AD 二BC =AC — AB - -1,—1 ,
―I —I ― —I
? BD AD -AB 二-1,-1 - 2,^ = -3,-5 , ? AD
? BD 二-1,-1 -3,-5 =8 .
故选A .
5 .【答案】C
【解析】
T
a b-a
cos a,b =
a b
3

1
a b ~1 6 一 2 ,
?- a,b .故选 C.
3
6.【答案】B
【解析】由向量共线定理知①正确;
若a b= 0,贝U a= 0或b= 0或a丄b,所以②错误;
在a, b能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数 入卩使得c=扫+ Q,
所以③错误;

a b= a c
,则a b -c =0 ,所以a _ b -c,所以④正确,
4 17
即正确命题序号是①④,所以 B选项正确.

【解析】向量a在向量b上的投影为a cosa,bJ a
a b


Ia
同b
a b 12
故选A .
3
4 .
&【答案】B
T T T T T ■
【解析】
I
OM = OB 1-J; “OA = OA ? OB - OA , ? AM -,AB ,

(1,2),
???点B在线段AM上,故选B.
9.[答案】C
【解析】设厶ABC边BC的中点为D,

y
S
A
ABC
2S^
ABD
2AD
S
A
ABP
S
ABP
AP
尬,? TD
S

2

S
------ =3.
A
ABC
ABP

故选C.
10.[答案】B
T T T —+ 2? I 2$$2T T)
【解析】AP二AC CPJC 丁lACUB-AC 二
故有m ■ n =- ■- =一 .故选B.
9 3 9
11. [答案】B
[解析】由已知得
4b = -3a— 5c
,将等式两边平方得 4b ? =
-3
a — 5c
2
,化简得
3 3
a c .同理由
5c = —3a-4b
两边平方得a b= 0, ? a ? b ? c
= a
?b+a?c二
5 5
故选B .
12. [答案】B
[解析】若a= (m, n)与b= (p, q)共线,则mq— np= 0,依运算 O”知a
O
b= 0,
故A正确.
由于 a
O
b= mq— np,又 b
O
a= np— mq,因此 a
O
b=— b
O
a,故 B 不正确.
对于C,由于 扫=(入
m

n
,因此(同
O
b=入m—入np又
X
a
O
b) = ?(mq — np)=入mq
—入np故C正确.
对于 D , (a
O
b)
2
+ (a b)
2
= m
2
q
2
— 2mnpq+ n
2
p
2
+ (mp+ nq)
2
= m
2
(p
2
+ q
2
)+ n
2
(p
2
+ q
2
)
=(m
2
+ n
2
)(p
2
+ q
2
) = |a|
2
|bf,故 D 正确.




二、填空题(本大题共4个小题,每小题 5分,共20分,把正确答案填在题中

线上)
13. 【答案】2
【解析】??? a = (1,2), b= (2,3) ,? a b=,,2;.厂〔2,3 ]:[;.亠2,2 ?
???向量

+ b 与向量 c=( -4, -7 共线,?一 7( H 2) + 4(2H 3) = 0.二冶
2.
14. 【答案】7

【解


析】
5a
2 2 2 2 2 2
-b
:.
=
1

???[5a -b =25a b -10a b-10
=49 .

1 3
^25 1 3


? |5a— b|=

15
7.
.[答案】2x -3y -9 =0


【解析】设P(x, y)是直线上任意一点,根据题


意,
有 AP a ? 2b 二 x _3,y T「:;「2,3 =0 ,整理化简得 2x_3y_9=0 .



16.[答案】七


[解析】 设 OM,=tOP = 2t,t ,

2 2
故有 MA MB =(1 -2t,7 -

1


)(5 -2t,1 -1 )=5t
2
-20t +12=5(t -2 ) -8 , 故当t= 2时, MA MB 取得最小值-
8 .
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演
算步骤)

1

17.[答案】OM 工

a
5
b , ON a - b ,

6 6 3 3
MN a b
1 1

2 6


【解析】BA =OA -OB 二a -b .
?- OM =OB BM =OB
1
BC =OB BA a b
1
.
1 5
6
—I —+ ——I 1 —1 —* 2~*
又 OD =a b . ON =OC CN OD OD OD
2 6 3
?- MN =ON -OM - a - b
_
1

a-

5

b=
1

a-
1

b .

18.[答案】(1) 12; (2) 2、、3 ; ( 3) 4、19 .

3
.
[解析】(1) a b= a b cos120 =4 2 - _4 .
2 2 2 2
(a一 2 b) (
a+
b)
=
a

2a b
+
a b

2b
=
4

2X(

4)
+
(

4)

2 ^2
=
12
. (
2
)v
|a
+
b|
2
=
(a
+
b)
2
=
a
2
+
2a b
+
b
2

=
16
+
2
X —
4)
+
4
=
12
.
?
a b 二 2 3
.
(
3
)
|3a

4bf
=
9a
2

24a b
+
16b
2
=
9
X
4
2


24X(

4)
+
16X2
2
=
16X19
,
??? 3a _ 4b = 4.19 .
19 .[答案】


4
【解析】由题意有
■2
)+(


1
) =2 ,
2 1
b
=J|-
1

z

)


I
2



=1
J
t
3
_ 3X
? x y= 0, ? [a + (t
2
— 3)b]( — ka +1b) = 0 .化简得 k =
4
2
? +4t_3)=](t + 2)
2
—?
k
-
有最小值为
t 4 4
.即
4

t = —2
时,
t
一 i
,z
22 11)
20

.【答案】存在,
M
点的坐标为

2,1

或齐
[解析】 设 OM =tOC , t? [0,1],则 OM =[6t,3t ,
即 M(6t,3t). MA=OA—2—6t,5—3t ,
MB =OB-OM =[3-6t,1-3t . 若 MA丄 MB ,
则 MA JMB -6t 3 —6t 厂[5 —3t 1—3t]=0 .即 45t
2
— 48t + 11 = 0,
11
t .?存在点M , M点的坐标为(2,1)或
15
21 .[答案】-7,
3 3 6 6 2 6
【解析】由向量2te
1
+ 7e
2
与& + te
?
的夹角为钝角,
2t e
1
7 e^ i i e
1
' t e
2

2te1 7? te
2
°即加十?耐呦<° °




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