人教版高中数学必修4第二章平面向量第二章 2.3.2

2.3.2 向量数量积的运算律
一、基础过关
1． 已知|a |＝1，|b|＝1，|c|＝2，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是
A．0






( )
B．a C．b D．c
( ) 2． 若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c
⊥
a，则向量a与b的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
( ) 3． 已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝5，则|3a－b|等于
A．7 B．6 C．5 D．4
→→→
4． 在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于( )
3
A．－
2
B．0
3
C.
2
D．3
→→→→→
5． 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1 ，点P在AM上且满足AP＝2PM，则PA·(PB＋PC)
等于








4
D.
9
( )
4
A．－
9
4
B．－
3
4
C.
3
6． 设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.
11
7． 已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
22
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.


π
8． 设n和m是两个单位向量，其夹角是，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
3


二、能力提升
a·a
?
9． 若向量a与 b不共线，a·b≠0，且c＝a－
?
b
?
b，则向量a与c的夹角为
?
a·
A．0
π
B.
6

π
C.
3

π
D.
2
( )
( )
10．已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则
A．a⊥e







B．a⊥(a－e)
D．(a＋e)⊥(a－e) C．e⊥(a－e)

→→
11．如图，在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM＝2，则OA·(OB
→
＋OC)的最小值是________．
12．已知平面上三个向量a、b、c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1 (k∈R)，求k的取值范围．


三、探究与拓展
13．已知非零向量 a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．

答案
32
1．B 2.C 3.A 4.A 5.A 6．± 7.(1)45° (2)
52
π
8． 解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是
，
3
π
11
∴m·n＝|m||n|cos
＝1×1×＝
.
322
|a|＝|2m＋n|＝
＝
?2m＋n?
2
＝4×1＋1＋4m·n
1
4×1＋1＋4×＝7，
2
?2n－3m?
2
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝
4×1＋9×1－12m·n
1
4×1＋9×1－12×＝7，
2
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m )＝m·n－6m
2
＋2n
2

17
＝－6×1＋2×1＝－
.
22
设a与b的夹角为θ，则
7
－
2
1
a·b
cos θ＝
＝＝－
.
|a||b|2
7×7
2π2π
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角 为
.
33
9． D 10.C 11.－2
12．(1)证明 因为|a |＝|b|＝|c|＝1，且a、b、c之间的夹角均为120°，所以(a－b)·c＝a·c－b·c
＝|a||c|cos 120°－|b||c|cos 120°＝0，
所以(a－b)⊥c.
(2)解 因为|ka＋b＋c|>1，所以(ka＋b＋c)
2
>1，
即k
2
a
2
＋b
2
＋c
2
＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c >1，
所以k
2
＋1＋1＋2kcos 120°＋2kcos 120°＋2cos 120°>1.
所以k
2
－2k>0，解得k<0，或k>2.
所以实数k的取值范围为k<0，或k>2.

π
13．
3