人教版高中数学必修四1.2.1 任意角的三角函数第一课时教学设计

课题名称： 1.2.1 任意角的三角函数（1）

课程模块及章节： 第四章 第二节
教师二
次备课






教学背景分析
初中学过:锐角三角函 数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广
到任意角,任意角的三角函数 可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角
的终边上点的坐标的“比值”来 定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数
的推广，有利于引导学生从自己已有 认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有
一定的不利影响，“从角的集合到比值的 集合”的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到
数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要 通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有
不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解. 通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的
求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边 所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及
这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向 线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方
法，巩固练习.
教学目标
1．知识与技能
(1)熟记任意角的三角函数的定义．(2)已知角
α
终边 上一点，会求角
α
的各三角函数值．
2．过程与方法
(1)通过直角三角 形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一般化的三角函
数定义，培养学生发现 数学规律的思维方法和能力．
(2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数．
(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
(1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变 量)与比值(函数值)的一种联系方式．
(2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神．


教学重点和难点
重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函 数值在各象限的符号)，
以及这三种函数的第一组诱导公式．公式一是本小节的另一个重点．
难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义．


教学准备、教学资源和主要教学方法
问题学习法、自主学习与合作探究相结合。


学生为主
的活动
设计意图
创设情
境，激发
学生的求
知欲。


教学过程
教学环节
导入新课
教师为主的活动
锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函学生开始
数吗? 思考。

把目标板书在黑板的右上角，并引领学生进行解读。 一起朗读
目标。
目标引领 以目标引
领学习的
全过程。

活动导学
使锐角
α
的顶点与原点
O
重合，始边与
x
轴的非负半轴重合，


在终边上任取一点
P
，
PM
⊥
x
轴于
M
，设
P
(
x
，
y< br>)，|
OP
|＝
r
.

(1)角
α
的正弦、余弦、正切分别等于什么？

(2)对于确定 的锐角
α
，sin
α
、cos
α
、tan
α
的值是否随
P
点

学生带着
在终边上的位置的改变而改变？ 问题去阅
(3)在问题1中，取|
OP
|＝1时，sin
α
，c os
α
，tan
α
的值怎样
读课本。

表示？

1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点
O
为圆心，以单位长


度为半径的圆为单位圆．

2．定义：

在平面直角坐标系中，设
α
是一个任意角，


它的终边与单位圆交于点
P
(
x
，
y
)那么： 图1－2－1

(1)
y
叫做
α
的正弦，记作sinα
，即sin
α
＝
y
；


(2)
x
叫做
α
的余弦，记作cos
α
，即cos
α＝
x
；
学生自己
yy
进行尝试
(3)叫做
α
的正切，记作tan
α
，即tan
α
＝(
x
≠0) ．
xx
和记忆。
对于确定的角
α
，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余


弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值

为函数值的函数，统称为三角函数．

3．正弦函数sin
α
的定义域是R；余弦函数cos
α
的定义域是R；


??
π
正切函数tanα
的定义域是
?
x
?
x
∈R，且
x
≠
k
π＋
2
，
k
∈Z
?
.


?
?
?

(1)已知角
α
的终边过点
P
(－1,2)，cos
α
的值为( )


5255
A．－ B．－5 C. D．

552

(2)已知
θ
的终边经过点
P
(
a
，
a
)(
a
≠0)，求sin
θ
，cos
θ
，

tan
θ
.


x
5
22
【
解】(1)由题意得：
r
＝－1＋2＝5，cos
α
＝＝－.

r
5


a
222
(2)
当
a
>0时，
r
＝
a
＋< br>a
＝2
a
，得sin
θ
＝＝，


2
a
2

a
2
a

cos
θ
＝＝，tan
θ
＝＝1；
a
2
a
2


22
当
a
<0时，
r
＝
a
＋
a
＝－2
a
，得

a
2
a
2
a
sin
θ
＝＝－， cos
θ
＝＝－，tan
θ
＝＝1.

22
a
－2
a
－2
a


22< br>即
a
>0时，sin
θ
＝，cos
θ
＝，tanθ
＝1；
总结规律
22









教师通过
亲身画图
形，讲解，
引 导回
忆、类比
旧知理解
新知。







通过例1
来加深对
“任意角
的三角函
数”的定
义的认识
理解。

提高学习
效率。



(1)已知角
α
的终边经过点
P
(－4
a,3
a
)(
a
≠0)，求sin
α
，cos

α
，tan
α
的值；


(2)已知角
α
的终边在直线
y
＝3
x
上，求sin
α
，cos
α
，

tan
α
的值．

22
【解】 (1)
r
＝－4
a
＋3
a
＝ 5|
a
|.若
a
＞0，则
r
＝5
a
，


y
3
a
3
x
－4
a
4
α
是第二象限角，则sin
α
＝＝＝，cos
α
＝＝＝－ ，

r
5
a
5
r
5
a
5

y
3
a
3

tan
α
＝＝＝－，
x
－4
a
4

若
a
＜0，则
r< br>＝－5
a
，
α
是第四象限角，则


34 3
sin
α
＝－，cos
α
＝，tan
α
＝－.

554

(2)因为角
α
的终边在直线
y
＝3
x
上，

学生自己
所以可设
P
(
a
，3
a
)(
a
≠0)为角
α
终边上任意一点．
动手尝
22则
r
＝
a
＋3
a
＝2|
a
|(
a
≠0)．
试，检验
所学。
若
a
＞0，则
α
为第一象限角，
r
＝2
a
，所以
a
<0时，si n
θ
＝－
22
，cos
θ
＝－，tan
θ
＝1.

22








通过变
式，增强
理解与把
握。
sin
α
＝
3
a
3
a
13
a
＝，cos
α
＝＝，tan
α
＝＝3.
2
a
22
a
2
a
若
a
＜0，则
α
为第三象限角，
r
＝－2a
，
3
a
3
所以sin
α
＝＝－，
－2
a
2
a
13
a
cos
α
＝－＝－， tan
α
＝＝3.
2
a
2
a

当堂评价
1．cos
?
－
?
11π
?
1133
等于( )
A. B．－ C. D．－
6
?
2222
?
11π
?< br>＝cos
?
－2π＋
π
?
＝cos
π
＝3
. 【解】 cos
?
－
???
6
?
6?
62
??
2．下列说法：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin
α
>0，则
α
是第一、二象限的角；
④若α
是第二象限的角，且
P
(
x
，
y
)是其终边 上一点，
则cos
α
＝－
x
x
2
＋
y< br>2
，其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解】 根据诱导公式(一)可知①正确；因为sin 0＝sinπ＝0，
故②不正 确；③中因为sin
ππ
＝1>0，但不是第一、二象限角，
22


学生合作
交流。







学生自己
检测自己
的学习效
果。








通过练习
让学生巩
固新知，
达成目
标。

故③错 误；④中应为cos
α
＝
x
x
2
＋
y
2< br>，所以只有①正确，应选B.
3．使得lg(cos
α
tan
α)有意义的角
α
是第________象限角．
板书设计

1.2.1 任意角的三角函数（1）

任意角的三角函数的定义: 例 学习目标

三角函数： 变式 练习 1、……
正弦、余弦、正切： 2、……

教学反思