最新人教版高中数学必修4课后习题答案详解01418

1
2
3



4
5
1

6
7
2

8
9
3

10
11
12
4

13
14
15
5

16
17
6

18
19
20
7

21
22
23
8

24
25
26
9

27
28
10

29
30
11

31
32
12

33
34
13

35
36
14

37
38
15

39
40
16

41
42
17

43
44
18

45
46
19

47
48
20

49
50
21

51
52
22

53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
























23

77
78
79
80
第二章 平面向量

2．1平面向量的实际背景及基本概念

练习（P77）

1、略. 2、
AB
，
BA
. 这两个向量的长度相等，但它们不等.

81 3、
AB?2
，
CD?2.5
，
EF?3
，
GH?22
.

82
83
84
4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同.

习题2.1 A组（P77）

1、
B
45°
（2）
O
30°
C
A
85
D
.

C
A
B
86 3、与
DE
相等的向量有：
AF,F C
；与
EF
相等的向量有：
BD,DA
；

87 与
FD
相等的向量有：
CE,EB
.

88 4、与
a
相等的向量有：
CO,QP,SR
；与
b
相等的向量有：
PM,DO
；

24

89 与
c
相等的向量有：
DC,RQ,ST

90 5、
AD?
33
. 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×.

2
91
92
93
94
95
96
97
98
习题2.1 B组（P78）

1、海拔和高度都不是向量.

2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与
AM
同向的共有
6对，与
AM
反向 的也有6对；与
AD
同向的共有3对，与
AD
反向的也有6对；
模为
2
的向量共有4对；模为2的向量有2对

2．2平面向量的线性运算

练习（P84）

1、图略. 2、图略. 3、（1）
DA
； （2）
CB
.

99
100
101
102
103
104
105
106
4、（1）
c
； （2）
f
； （3）
f
； （4）
g
.

练习（P87）

1、图略. 2、
DB
，
CA
，
AC
，
AD
，
BA
. 3、图略.

练习（P90）

1、图略.

2、
AC?
52
AB
，
BC??AB
.

77
说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是
BC
与
AB
反向.

25

107
108
109
110
111
718
3、（1）
b?2a
； （2）
b??a
； （3）
b??a
； （4）
b?a
.

429
4、（1）共线； （2）共线.

5、（1）
3a?2b
； （2）
?
习题2.2 A组（P91）

1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走
102
km；

111
a?b
； （3）
2ya
. 6、图略.

123
112
113
114
115
116
117
118
（4）向西南走
52
km；（5）向西北走
102
km；（6） 向东南走
102
km.

2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500
km.

3、解：如右图所示：
AB
表示船速，
AD
表示河水
B
的流速，以
AB
、
AD
为邻边作
□
ABCD
，则

AC
表示船实际航行的速度.

C
A
D
水流方向
在Rt△ABC中，
AB?8
，
AD?2
，

22
119
120
121
所以
AC?AB?AD?8
2
?2
2
?217

因为
tan?CAD?4
，由计算器得
?CAD?76?

所以，实际航行的速度是
217
kmh
，船航行的方向与河岸的夹角约为76°.
122
123
4、（1）
0
； （2）
AB
； （3）BA； （4）
0
； （5）
0
； （6）
CB
； （7）
0
.

26

124
125
126
127
128
5、略

6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理 解，
若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的
有向线段一定 能构成三角形.

7、略. 8、（1）略； （2）当
a?b
时，
a?b?a?b

1
10a?22b?10c
；9、（1）
?2a?2b
； （2） （3）
3a?b
； （4）
2(x?y)b
.

2
129
130 10、
a?b?4e
1
，
a? b??e
1
?4e
2
，
3a?2b??3e
1
?1 0e
2
.

11、如图所示，
OC??a
，
OD??b
，

131
132
133
134

DC?b?a
，
BC??a?b
.

113
12、
AE?b
，
BC?b?a
，
DE?(b?a)
，
D B?a
，

44
4
3111
EC?b
，
D N?(b?a)
，
AN?AM?(a?b)
.

4
848
135
136 13、证明：在
?ABC
中，< br>E,F
分别是
AB,BC
的中点，

1
AC
，

2
137 所以
EFAC
且
EF?
1
即
EF?AC
；

2
G
D
C
F
138
139 同理，
HG?
1
AC
，

2
H
E
A
B
140
141
所以
EF?HG
.

习题2.2 B组（P92）

27

142
143
1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km.

2、不一定相等，可以验证在
a,b
不共线时它们不相等.

乙
丙
144 3、证明：因为
MN?AN?AM
，而
AN?
11
AC
，
AM?AB
，

33
甲
145 所以
MN?
1111
AC?AB?(AC?AB)?BC
.

3333
146 4、（1）四边形
ABCD
为平行四边形，证略

147 （2）四边形
ABCD
为梯形.

148 证明：∵
AD?
1
3
BC
，

149 ∴
ADBC
且
AD?BC

150 ∴四边形
ABCD
为梯形.

151 （3）四边形
ABCD
为菱形.

152 证明：∵
AB?DC
，

153 ∴
ABDC
且
AB?DC

154 ∴四边形
ABCD
为平行四边形

155 又
AB?AD

156 ∴四边形
ABCD
为菱形.

157 5、（1）通过作图可以发现四边形
ABCD
为平行四边形.
158 证明：因为
OA?OB?BA
，
OD?OC?CD

28
C
B
D
A
B
C
A
D
M
A
D
B
C
O

159 而
OA?OC?OB?OD

160 所以
OA?OB?OD?OC

161
162
163
164
165
所以
BA?CD
，即
AB
∥
CD
.

因此，四边形
ABCD
为平行四边形.

2．3平面向量的基本定理及坐标表示

练习（P100）

1、（1）
a?b?(3,6)
，
a?b?(?7,2)
； （2）
a?b?(1,11)
，
a?b?(7,?5)
；

166 （3）
a?b?(0,0)
，
a?b?(4,6)
； （4）
a?b?(3,4)
，
a?b?(3,?4)
.

167 2、
?2a?4b?(?6,?8)
，
4a?3b?(12,5)
.

168 3、（1）
AB?(3,4)
，
BA?(?3,?4)
； （2）
AB?(9,?1)
，
BA?(?9,1)
；

169 （3）
AB?(0,2)
，
BA?(0,?2)
； （4）
AB?(5,0)
，
BA?(?5,0)

170
171
172
4、
AB
∥
CD
. 证明 ：
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD.所以
AB
∥
CD
.

1014
5、（1）
(3,2)
； （2）
(1,4)
； （3）
(4,?5)
. 6、
(,1)
或
(,?1)

33
173
174
7、解：设
P(x,y)
，由点
P
在线段
AB
的延 长线上，且
AP?
3
AP??PB

2
3
PB
，得
2
175
AP? (x,y)?(2,3)?(x?2,y?3)
，
PB?(4,?3)?(x,y)?(4?x ,?3?y)

29

176
3
?
x?2??(4?x)
?
3
?
2
∴
(x?2,y?3)??(4?x,?3?y)
∴
?

2
?
y?3??
3
(?3?y)
?
?2
177
?
x?8
∴
?
，所以点
P
的坐标为
(8,?15)
.

?
y??15
习题2.3 A组（P101）

1、（1）
(?2,1)
； （2）
(0,8)
； （3）
(1,2)
.

178
179
180 说明：解题时可设
B(x,y)
，利用向量坐标的定义解题.

181 2、
F
1
?F
2
?F
3
?(8,0)
< br>3、解法一：
OA?(?1,?2)
，
BC?(5?3,6?(?1))?(2 ,7)

182
183
184
而
AD?BC
，
OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
. 所以点
D
的
坐标为
(1,5)
.

185 解法二：设
D(x,y)
，则
AD?(x?(?1),y?(?2))?(x?1,y ?2)
，

186
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7)

187
?
x?1?2
由
AD?BC
可 得，
?
，解得点
D
的坐标为
(1,5)
.

y?2?7
?
4、解：
OA?(1,1)
，
AB?(?2,4)< br>.

11
AB?(?1,2)
，
AD?2AB?(?4,8)
，
AE??AB?(1,?2)
.

22
188
189
AC?
190
OC?OA?AC?(0 ,3)
，所以，点
C
的坐标为
(0,3)
；

30

191
OD?OA?AD?(?3,9)
，所以，点< br>D
的坐标为
(?3,9)
；

192
OE?OA?AE?(2,?1)
，所以，点
E
的坐标为
(2,?1)
.

5、由向量
a,b
共线得
(2,3)?
?
( x,?6)
，所以193
23
，解得
x??4
.

?
x?6
194 6、
AB?(4,4)
，
CD?(?8, ?8)
，
CD??2AB
，所以
AB
与
CD
共线.

195 7、
OA
?
?2OA?(2,4)
，所以点A
?
的坐标为
(2,4)
；

196
197
198
199

OB
?
?3OB?(?3,9)，所以点
B
?
的坐标为
(?3,9)
； 故
A
?
B
?
?(?3,9)?(2,4)?(?5,5)

习题2.3 B组（P101）

1、
OA?(1,2)
，
AB?(3,3)
.

200 当
t?1
时，
OP?OA?AB?OB?(4,5)
， 所以
P(4,5)
；

当
t?
1
133575 7
时，
OP?OA?AB?(1,2)?(,)?(,)
，所以
P(,)；

2
22
22222
201
202 当
t??2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(?5,?4)
，所 以
P(?5,?4)
；

203 当
t?2
时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)?(7,8)
，所以
P(7,8)
.

204
205
206
207
2、（1）因为AB?(?4,?6)
，
AC?(1,1.5)
，所以
AB??4AC< br>，所以
A
、
B
、
C
三点共线；

（2）因为
PQ?(1.5,?2)
，
PR?(6,?8)
，所以
P R?4PQ
，所以
P
、
Q
、
R
三
点共线；

31

208
209
（3）因为
EF?(?8,?4)
，
EG?(?1,?0.5)
，所以
EF?8EG，所以
E
、
F
、
G
三点共线.

210 3、证明：假设
?
1
?0
，则由
?
1e
1
?
?
2
e
2
?0
，得
e
1
??
?
2
e
.

?
1
2
211
212
所以
e
1
,e
2
是共线向量，与已知
e
1
,e
2
是平面内 的一组基底矛盾,

因此假设错误，
?
1
?0
. 同理
?
2
?0
. 综上
?
1
?
?
2
?0
.

4、（1）
OP?19
. （2）对于任意向量
OP?xe1
?ye
2
，
x,y
都是唯一
确定的，

所以向量的坐标表示的规定合理.

2．4平面向量的数量积

练习（P106）

1
1、
p?q?p?q?cos?p,q??8?6??24
.

2
213
214
215
216
217
218
219 2、当
a?b?0
时，
?ABC
为钝角三 角形；当
a?b?0
时，
?ABC
为直角三角形.

220
221
222
3、投影分别为
32
，0，
?32
. 图略

练习（P107）

1、
a?(?3)
2
?4
2< br>?5
，
b?5
2
?2
2
?29
，
a ?b??3?5?4?2??7
.

223
224
2、
a?b?8
，
(a?b)(a?b)??7
，
a?(b?c)?0
，
(a?b)
2
?49
.

3、
a?b?1
，
a?13
，
b?74
，
?
?88?
.

32

225
226
习题2.4 A组（P108）

1、
a?b??63
，
(a?b)
2< br>?a?2a?b?b?25?123
，
a?b?25?123
.

22
227 2、
BC
与
CA
的夹角为120°，
BC?CA??20
.

2222
228 3、
a?b?a?2a? b?b?23
，
a?b?a?2a?b?b?35
.

4、证法一：设
a
与
b
的夹角为
?
.

（1）当
?
?0
时，等式显然成立；

（2）当
?
?0
时，
?
a
与
b
，
a
与
?
b
的夹角都为
?
，

所以
(
?a)?b?
?
abcos
?
?
?
abcos
?

229
230
231
232
233
?
(a?b)?
?
abcos
?

a?(
?
b)?a
?
bcos
?
?
?
a bcos
?

234
235 所以
(
?
a)? b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；

236
237
（3）当
?
?0
时，
?
a
与b
，
a
与
?
b
的夹角都为
180??
?
，

则
(
?
a)?b?
?
abcos (180??
?
)??
?
abcos
?

238
239
?
(a?b)?
?
abcos
?
???
abcos
?

a?(
?
b)?a
?
bcos(180??
?
)??
?
abcos
?

240
241
所以
(
?
a)?b?
?
(a?b)?a?(
?
b)
；

综上所述，等式成立.

33

242 证法二：设
a?(x
1
, y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，

那么
(
?
a)?b?(
?
x
1
,
?
y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

243
244
245
?
(a?b)?
?
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)?
?
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

a?(
?
b)?(x
1
,y1
)?(
?
x
2
,
?
y
2
) ?
?
x
1
x
2
?
?
y
1
y
2

所以
(
?
a)?b?
?
(a?b )?a?(
?
b)
；

5、（1）直角三角形，
?B
为直角.

证明：∵
BA?(?1,?4)?(5,2)?(?6,?6)
，
BC?(3,4)?(5,2)?( ?2,2)

246
247
248
249 ∴
BA?BC??6?(?2)?(?6)?2?0

250
251
252
∴
BA?BC
，
?B
为直角，
?ABC< br>为直角三角形

（2）直角三角形，
?A
为直角

证明：∵
AB?(19,4)?(?2,?3)?(21,7)
，
AC?(?1,?6)?(?2,?3)?(1,?3)

253 ∴
AB?AC?21?1?7?(?3)?0

254
255
256
∴
AB?AC
，
?A
为直角，
?ABC< br>为直角三角形

（3）直角三角形，
?B
为直角

证明：∵
BA?(2,5)?(5,2)?(?3,3)
，
BC? (10,7)?(5,2)?(5,5)

257 ∴
BA?BC??3?5?3?5?0

258 ∴
BA?BC
，< br>?B
为直角，
?ABC
为直角三角形

34

259
260
261
6、
?
?135?
.

7、
?
?120?
.


(2a?3b)(2 a?b)?4a?4a?b?3b?61
，于是可得
a?b??6
，

a?b1
??
，所以
?
?120?
.

2
ab
22
262
cos
?
?
263 8、
cos
?
?
23
，
?
?55?
.
40
264 9、证明：∵
AB?(5,?2)?(1,0)?(4,?2)< br>，
BC?(8,4)?(5,?2)?(3,6)
，

265
DC?(8,4)?(4,6)?(4,?2)

266 ∴
AB?DC
，
AB?BC?4?3?(?2)?6?0

267 ∴
A,B,C,D
为顶点的四边形是矩形.

268 10、解：设
a?(x,y)
，

?
?
35
35< br>?
x
2
?y
2
?9
x?
?
?
x??
?
?
?
5
5
则
?
，解得
?
，或
?
.

y
?
y?
65
?< br>y??
65
?
x?
?2
?
?
5
5< br>?
?
35653565
,)
或
a?(?,?)
.
5555
269
270 于是
a?(
271 11、解：设与
a
垂直的单位向量
e?(x,y)
，

35

?
?
5
5
则
?
?
x
2
?y
2
?1
?
x?
?
x??
272
4x?2y?0
，解得
?
?
5
或
?
?5
.

?
?
?
y??
25
?
y?
25
?
5
?
?
5
273 于是
e?(
5
5
,?
25
5
)
或
e?(?
5 25
5
,
5
)
.

274 习题2.4 B组（P108）

275 1、证法一：
a?b?a?c?a?b?a?c?0?a ?(b?c)?0?a?(b?c)
276 证法二：设
a?(x
1
, y
1
)
，
b?(x
2
,y
2
)
，
c?(x
3
,y
3
)
.

277 先证
a?b?a?c?a?(b?c)

278
a?b?x
1x
2
?y
1
y
2
，
a?c?x
1x
3
?y
1
y
3

279 由
a?b ?a?c
得
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y
3
280
x
1
(x
2
?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)?0

281 而
b?c?(x
2
?x
3
,y
2
?y
3
)
，所以
a?(b?c)?0

282 再证
a?(b?c)?a?b?a?c

283 由
a?(b?c)?0
得
x
1
(x
2< br>?x
3
)?y
1
(y
2
?y
3
)? 0
，

284 即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
3
?y
1
y3
，因此
a?b?a?c

285 2、
cos?AOB?OA?OB
OAOB
?cos
?
cos
?
?sin?
sin
?
.

286 3、证明：构造向量
u?(a,b)
，
v?(c,d)
.

36
即

，

287
u ?v?uvcos?u,v?
，所以
ac?bd?a
2
?b
2
c
2
?d
2
cos?u,v?

288 ∴
(a c?bd)
2
?(a
2
?b
2
)(c
2
? d
2
)cos
2
?u,v??(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)

289
290
291
4、
AB?AC
的值只与弦
AB
的长有关，与圆的 半径无关.

证明：取
AB
的中点
M
，连接
CM
，

C
则
CM?AB
，
AM?
1
AB

2
A
M
B
292 又
AB?AC?ABACcos?BAC
，而
?BAC?
AM
AC

293
2
1
所以
AB?AC?ABAM?AB

2
222
294 5、（1）勾股定理：
Rt?ABC
中，
?C?90?
，则
CA?CB?AB

295 证明：∵
AB?CB?CA

222
296 ∴
AB?(CB?CA)
2
?CB?2CA?CB?CA
.

由
?C?90?
，有
CA?CB
，于是
CA?CB?0

∴
CA?CB?AB

（2）菱形
ABCD
中，求证：
AC?BD

证明：∵
AC?AB?AD
，
DB?AB?AD,

22
222
297
298
299
300
301 ∴
AC?DB?(AB?AD)?(AB?AD)?AB?AD
.

22
302 ∵四边形
ABCD
为菱形，∴
AB?AD
，所 以
AB?AD?0

37

303
304
305
∴
AC?DB?0
，所以
AC?BD

（3）长方形
ABCD
中，求证：
AC?BD

证明：∵ 四边形< br>ABCD
为长方形，所以
AB?AD
，所以
AB?AD?0

2222
306
307
308
309
310
311
∴
AB?2AB?AD?AD?AB?2AB?AD?AD
.

∴< br>(AB?AD)?(AB?AD)
，所以
AC?BD
，所以
AC?BD

（4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可.

2．5平面向量应用举例

习题2.5 A组（P113）

1 、解：设
P(x,y)
，
R(x
1
,y
1
)

则
RA?(1,0)?(x
1
,y
1
) ?(1?x
1
,?y
1
)
，
AP?(x,y)?(1,0) ?(x?1,0)

22
22
312
313
?
x
1
??2x?3
由
RA?2AP
得
(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1,y)
，即
?

y??2y
?
1
代入直线
l
的方程得
y?2x
. 所以，点
P
的轨迹方程为
y?2x
.

1
BC
,

2
A
314
315 2、解 ：（1）易知，
?OFD
∽
?OBC
，
DF?
2
所 以
BO?BF
.

3
AO?BO?BA?
D
O
F
316
317
2211
BF?a?(b?a)?a?(a?b)

3323
B
E
C
318
1
（2）因为
AE?(a?b)

2
38

319 所以
AO?
2AO
3
AE
，因此< br>A,O,E
三点共线，而且
OE
?2

320 同理可知：< br>BO
OF
?2,
CO
OD
?2
，所以
AOB OCO
OE
?
OF
?
OD
?2

321 3、解：（1）
v?v
B
?v
A
?(?2,7)
；

322 （2）
v
在
v
v?v
A< br>13
A
方向上的投影为
v
?
A
5
.

323 4、解：设
F
1
，
F
2
的合力为
F
，
F
与
F
1
的夹角为
?
，

324 则
F?3?1
，
?
?30?
；
F3
?3?1
，
F
3
与
F
1
的夹角为1 50°.

325 习题2.5 B组（P113）

326 1、解：设
v
0
在水平方向的速度大小为
v
x
，竖直方向的速度的大小 为
v
y
，

327 则
v
x
?v
0
cos
?
，
v
y
?v
0
sin
?
.

328 设在时刻
t
时的上升高度为
h
，抛 掷距离为
s
，则
?
329
?
h?vtsin
?< br>?
1
gt,(g
?
0
2
为重力加速度)
< br>?
?
s?v
0
tcos
?
v
2
33 0 所以，最大高度为
0
sin
2
?
v
2
0
sin2
?
2g
，最大投掷距离为
g
.

331 2、解：设
v
1
与
v
2
的夹角为
?
，合速 度为
v
，
v
2
与
v
的夹角为
?
， 行驶距离为
d
.
332 则
sin
?
?
v
1
sin
?
?
10sin
?
，
d?
0.5
sin
?
?
v
d1
vv
20sin
?. ∴
v
?
20sin
?
.

333 所以当
?
?90?
，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短.

39

334 3、（1）
(0,?1)

335 解：设
P(x,y)
，则
AP?(x?1,y?2)
.
AB?(2,?22)
.

?
7
到
AP
， 相当于沿逆时针方向旋转
?
到
AP
，

4
4
7
4
7
4
7
4
336 将
AB
绕点
A
沿顺时针方向旋转
7
4
337 于是
AP?(2cos
?
?22sin
?
,2sin
?
?22cos
?
)?(?1,?3)

338 所以
?
?
x?1??1
，解得
x?0,y??1

y?2??3
?
339 （2）
y??
3

2x
340
341
解：设曲线
C
上任一点
P
的坐标为
(x,y)
，
OP
绕
O
逆时针旋转坐标为
(x
?
,y
?
)

?
后，点
P
的
4
342
?
??
?
?
x?xcos?ysin
?
x
?
?
?
?
44
，即
?
则
?
?
??
?
y< br>?
?
?
y
?
?xsin?ycos
?
?44
?
?
2
(x?y)
2

2
(x?y)
2
343
344
345
346
347
又因为
x
?
2
?y
?
2
?3
，所以
(x?y)
2
?(x?y)
2
?3
，化 简得
y??
第二章 复习参考题A组（P118）

1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×.

1
2
1
2
3

2x
2、（1）
D
； （2）
B
； （3）
D
； （4）
C
； （5）
D
； （6）
B
.

3、
AB?(a?b)
，
AD?(a?b)

2
3
1
3
1
2
1
2
348 4、略解：
DE?BA?MA?MB??a?b

40

349
2211
AD?a?b
，
BC?a?b

3333
1112
EF??a?b
，
FA?DC?a?b

3333
1221
CD??a?b
，
AB?a?b

3333
CE??a?b

350
351
352
353 5、（1）
AB?(8,?8)
，
AB?82
；

354 （2）
OC?(2,?16)
，
OD?(?8,8)
； （3）
OA?OB?33
.

355 6、
AB
与
CD
共线.

356 证明：因为
AB?(1,?1)
，
CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
. 所以
AB
与
CD
共线.

357 7、
D(?2,0)
. 8、
n?2
. 9、
?
??1,
?
?0
.

3
5
4
5
358 10、
cosA?,cosB?0,cosC?

2
359
360
361
362
363
364
11、证明：
(2n? m)?m?2n?m?m?2cos60??1?0
，所以
(2n?m)?m
.

12、
?
??1
. 13、
a?b?13
，
a?b?1
. 14、
cos
?
?,cos
?
?
第二章 复习参考题B组（P119）

1、（1）
A
； （2）
D
； （3）
B
； （4）
C
； （5）
C
； （6）
C
； （7）
D
.

5
8
19

20
2、证明：先证
a?b?a?b?a?b
.

22
365
a?b?(a?b)
2
?a?b?2a?b
41
，

366
a?b?(a?b)
2
?a?b?2a?b
.

22
22
367
368
因为
a?b
，所以
a?b?0
，于是
a?b?a?b?a?b
.

再证
a?b?a?b?a?b
.

2222
369
370
由于
a?b?a?2a?b?b
，
a?b?a?2a?b?b

由
a?b?a?b
可得
a?b?0
，于是
a?b

371
372
373
所以
a?b?a?b?a?b
. 【几何意义是矩形的两条对角线相
等】

3、证明：先证
a?b?c?d

22
374
375

c?d?(a?b)?(a?b)?a?b

又
a?b
，所以
c?d?0
，所以
c?d

（第3题）

376 再证
c?d?a?b
.

22
377
378
379
380
由
c?d
得
c ?d?0
，即
(a?b)?(a?b)?a?b?0

所以
a?b
【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图
所示】

4、
AD?AB?BC?CD?a?b
，
AE?a?b

3
4
1
4
1
4
1
2
1
4
1
2
1
2
1
4
1
2
P
3
3 81 而
EF?a
，
EM?a
，所以
AM?AE?EM?a?b ?a?(a?b)

O
P
2
382 5、证明：如图所示，
OD?OP
1
?OP
2
，由于
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0
，

42
P
1
D

383 所以
OP
3
??OD
，
OD?1

所以
OD?OP

1
?PD
1
所以
?OP P
12
?30?
，同理可得
?OPP
13
?30?

所以
?P
3
PP
同理可得
?PP
所以
?P P
12
?60?
，
12
P
3
?60?
，< br>?P
2
P
3
P
1
?60?
，
12< br>P
3
为
正三角形.

6、连接
AB
.

由对称性可知，
AB
是< br>?SMN
的中位线，
MN?2AB?2b?2a
.

384
385
386
387
388
389
N
M
390
391
392
7、（1）实际前进速度大 小为
4
2
?(43)
2
?8
（千米／时），

B
A
沿与水流方向成60°的方向前进；

（2）实际前进速度大小为
42
千米／时，

6
的方向前进.

3
O
S
393
394
沿与水流方向成
90??arccos
8、解：因为
OA?OB?OB?OC
，所以
OB?(OA?OC)?0
，所以
OB?CA?0

395 同理，
OA?BC?0
，
OC?AB?0
， 所以点
O
是
?ABC
的垂心.

9、（1）
a2
x?a
1
y?a
1
y
0
?a
2x
0
?0
； （2）垂直；

（3）当
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
时，l
1
∥
l
2
；当
A
1
A
2< br>?B
1
B
2
?0
时，
l
1
?l2
，

A
1
A
2
?B
1
B< br>2
A?B
2
1
2
1
396
397
398 夹角
?
的余弦
cos
?
?
A
2< br>?B
2
22
；

43

399 （4）
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
2 2

400
401
402
403
404
405
406
407




第三章 三角恒等变换

3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式

练习（P127）

???
1、
cos(?
?
)? coscos
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?1?s in
?
?sin
?
.

222
408 cos(2
?
?
?
)?cos2
?
cos
?< br>?sin2
?
sin
?
?1?cos
?
?0?sin
?
?cos
?
.

409
34
3
?
2、解：由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
；

52
55
410
???
23242
所以
cos(?
?
)?c oscos
?
?sinsin
?
?
.

?(?)???
444252510
411 3、解：由
sin
?< br>?
158
15
，
?
是第二象限角，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
；
1717
17
412
???
81153?8?153
所以
cos(
??)?cos
?
cos?sin
?
sin?????
.

?
33317217234
413 4、解：由
sin
?
? ?,
?
?(
?
,
2
3
25
3
?< br>；

)
，得
cos
?
??1?sin
2?
??1?(?)
2
??
33
2
414 又由
cos
?
?,
?
?(
3
4
37
3
?
.

,2
?
)
，得
sin
?
? ?1?cos
2
?
??1?()
2
??
44
2415 所以
44

416
417
418
3572?35?27
.

cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
si n
?
??(?)?(?)?(?)?
434312
练习（P131）

1、（1）
6?26?26?2
； （2）； （3）； （4）
2?3
.

444
419
34
3
?
2、解：由
cos
?
??,
?
?(,
?
)
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?(?)< br>2
?
；

52
55
420
???
41334?33
所以
sin(
?
? )?sin
?
cos?cos
?
sin???(?)?
.

?
333525210
421 3、解：由
sin
?
??< br>125
12
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
；

?
是第三象限角，
1313
13
422
423
所
???
35112?53?12
.

cos(?
?
)?coscos
?
?sinsin
?
??(?)??(?)?
6 6621321326
?
4、解：
tan(
?
?)?
4tan
?
?tan
以
?
424
4
?
3?1
??2
.

?
1?3?1
1?tan
?
?tan
4
425
426
427
428
5、（1）1； （2）； （3）1； （4）
?
1
2
3
；

2
（5）原式=
?(cos34?cos26??sin34?sin26?)??cos(34??26?)??co s60???
；

（6）原式
1
2
=
?sin 20?cos70??cos20?sin70???(sin20?cos70??cos20?sin70? )??sin90???1
.

???
6、（1）原式=
cosco sx?sinsinx?cos(?x)
；

333
31
???sinx?cosx)?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；

22666
429
430 （2）原式=
2(
45

431 （3）原式=
2(
22
???
sinx ?cosx)?2(sinxcos?cosxsin)?2sin(x?)
；

22 444
1
2
3
???
sinx)?22(coscosx?sins inx)?22cos(?x)
.

2333
432
433
（4）原式=
22(cosx?
7、解：由已知得
sin(
?< br>?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
?
，

3
5
3
5
3
5
434 即
sin[(
?
?
?
)?
?
]?
，
sin( ?
?
)?

3
5
435 所以
sin
?
??
. 又
?
是第三象限角，

436 于是
cos
?
??1?sin
2
?
??1?(?)
2
??
.

3
5
4
5
437
438
439
440
因
sin(
?
?
5
?5
?
5
?
324272
.

)?sin
?
cos?cos
?
sin?(?)(?)?(?)(?)?
444525 210
此
练习（P135）

1、解：因为
8
?
?
?
?12
?
，所以
?
?
?
8
?< br>3
?

2
sin
441
3
?
?< br>43
?
4
8
?
5
?
3

又由
cos??
，得
sin??1?(?)
2
??
，
tan?
8
cos
?
?
4
4
855
85
85
?
?
442 所以
sin
????
3424

?sin(2?)?2sincos?2?(?)?(?)?
48885525
443

cos
????
437
?cos(2?)? cos
2
?sin
2
?(?)
2
?(?)
2
?

48885525
2tan
444
3
??
8
?
4
?
3
?
16
?
24

tan?tan(2?)?
48
1?tan
2
?
1?(3
)
2
277
84
2?
?
445 2、解：由
sin(
?
?
?
)?
，得
sin
?
??
，所以
cos
2
?
?1?sin
2
?
?1?(?)
2
?
3
5
3
5
3
5
16

25
46

446 所以
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?< br>1637

?(?)
2
?
25525
1
2
447 3、解：由
sin2
?
??sin
?
且
sin
?
?0
可得
cos
?
??
，

448
449
450
451
又由
tan
?
?
?
?< br>?(,
?
)
2
，得
13
sin
?
? 1?cos
2
?
?1?(?)
2
?
22
，所以sin
?
3
??(?2)??3
.

cos
?
2
4、解：由
tan2
?
?
tan
?
?? 3?10

12tan
?
1
，得. 所以
tan
2
?
?6tan
?
?1?0
，所以
?
2
3 1?tan
?
3
452 5、（1） （2）
cos< br>2
sin15?cos15??sin30??
；
1
2
14
?
8
?sin
2
?
8
?cos
?< br>4
?
2
；

2
453
454
455
（3）原式=
?
2
12tan22.5?11
； （4）原式=.

cos45??
?tan45??
2
2
2 1?tan22.5?22
习题3.1 A组（P137）

1、（1）
c os(
3
?
3
?
3
?
?
?
)?c oscos
?
?sinsin
?
?0?cos
?
?(?1) ?sin
?
??sin
?
；

222
456 （2）
sin(
3
?
3
?
3
?
?
?
)?sincos
?
?cossin
?
??1?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
；

222
457 （3）
cos(
?
?
?
)?c os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?? 1?cos
?
?0?sin
?
??cos
?
；

458 （4）
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?0?cos
?
?(?1)?sin
?
?sin
?
.

459 2、解：由
cos
?
?,0?
?
?
?
，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()
2
?
，

3
5
3
5
4
5
460
???
433143?3
所以
cos(
?
?) ?cos
?
cos?sin
?
sin??
.

???
666525210
461
25
2
?
3、 解：由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
，得< br>cos
?
??1?sin
2
?
??1?()
2
??
，

32
33
47

462 又由
cos
?
??,
?
?(
?
,
3
4
37
3
?
，

)
，得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??
44
2
463
464
所
cos(
?
?< br>?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
??
532735?27
.

?(?)??(?)?
343412
1
7
43

7
以
465 4、解：由
cos
?
?
，
?
是锐角，得
sin
?
?1?cos
2
?
?1?()
2
?
1
7
466 因为
?
,?
是锐角，所以
?
?
?
?(0,
?
)
，

11
14
467
468
又因为< br>cos(
?
?
?
)??
11
2
53
)?

1414
，所以
sin(
?
?
?
) ?1?cos
2
(
?
?
?
)?1?(?
469 所以
cos
?
?cos[(
?
?
?
)?
?
]?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?

11153431
)????

1471472
470
471
?(?
5、解：由
60??
?
?150?
，得
90??30??
?
?180?

3
5
3
5
4
5
472 又由
sin(30??
?
)?
，得
cos(30??
?
)??1 ?sin
2
(30??
?
)??1?()
2
??

473 所以
cos
?
?cos[(30??
?< br>)?30?]?cos(30??
?
)cos30??sin(30??
?)sin30?

4331?43?3

??????
525210
474
475 6、（1）
?
6?22?6
； （2）
?
； （3）
?2?3
.

44
476
25
2
?
7、解：由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
??1?()< br>2
??
.

32
33
48

477
478
又由
cos
?
??
3
4
，
?
是第三象限角，得
37
.

s in
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??
44
479 所以
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?sin
?
sin
?

5327
?(?)??(?)

3434
35?27
?
12
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

??
2357
??(?)?(?)?(?)

3434
?6?35

?
12
480
481
482
483
484
485 8、解：∵
sinA?
53
,cosB?
且
A,B
为
?ABC
的内角

135
486 ∴
0?A?
?
,0?B?
?
2
，
cosA??
124
,sinB?

135
487 当
cosA??
12
时，
sin (A?B)?sinAcosB?cosAsinB

13
?
5312433
??(?)????0

13513565
488
489
490

A?B?
?
，不合题意，舍去

∴
cosA?
124
,sinB?

135
491 ∴
cosC??cos(A?B)??(cosAcosB?sinAsinB)

1235416
?(???)??

13513565
34
3
?
9、解：由
sin
?
?,
?
?(,
?
)
，得
cos
?
??1?sin
2
?
?? 1?()
2
??
.

492
493
52
55
49

494 ∴
tan
?
?
sin
?
353
??(?)??
.

cos
?
544
495
31
??
tan
?
?tan
?
42
??
2
.

?
∴
tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?t an
?
1?(?
3
)?
1
11
42
31< br>??
tan
?
?tan
?
42
??2
.
?

tan(
?
?
?
)?
1?t an
?
?tan
?
1?(?
3
)?
1
42
496
497 10、解：∵
tan
?
,tan
?
是
2x
2
?3x?7?0
的两个实数根.

3
2
7
2
498 ∴
tan
?
?tan< br>?
??
，
tan
?
?tan
?
??
.

3
2
499 ∴
tan(
?
?
?)?
tan
?
?tan
?
1
???
.

1?tan
?
?tan
?
1?(?
7
)
3
2
?
500 11、解：∵
tan(
?
?
?
)?3,tan(
?
?
?
)?5

tan(
?< br>?
?
)?tan(
?
?
?
)
3?54
???

1?tan(
?
?
?
)?tan(
?< br>?
?
)
1?3?57
501 ∴
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
502
tan2
?
?tan[(
?
?
?
)?(
?
?
?
)]?
tan(
?
?
?)?tan(
?
?
?
)
3?51
???
1?tan(
?
?
?
)?tan(
?
?
?)
1?3?58
B
503
504
12、解：∵
BD:DC:AD?2:3:6

D
∴
tan
?
?
BD1DC1
?,tan
?
??

AD3AD2
α
β
C
505
11
A
?< br>tan
?
?tan
?
?
32
?1

∴
tan?BAC?tan(
?
?
?
)?
1?tan
?
?tan
?
1?
1
?
1
32
506 又∵
0???BAC?180?
，∴
?BAC?45?

50

507
27
?
?
?
x
?
13、（1） （2）
3sin(?x)
； （3） （4）
sin(?x)
；
< br>65sin(x?)
；
2sin(?)
；
6326
212508
509
（5）
2
1
； （6）； （7）
sin(
?
?
?
)
； （8）
?cos(
?
?
?
)
； （9）
?3
；
2
2
（10）
tan(
?
?
?
)
.

?
14、解：由
sin
??0.8,
?
?(0,)
，得
cos
?
?1?sin< br>2
?
?1?0.8
2
?0.6

2
510
511
512
∴
sin2
?
?2sin
?cos
?
?2?0.8?0.6?0.96

cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?0.6
2
?0.8
2
??0.28

36
3
得
sin
?
??1?cos
2
?
??1?(?)
2
??

,180??
?
?270?
，
33
3
513 15、解：由
cos
?
??
514 ∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
6322

)?(?)?
333
515
516
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?(?
tan2
?
?
3
2
6
2
1
)?(?)??

333
sin2
?
22
??(?3)??22

cos2
?
3
517 16、解：设
sinB?sinC?
512
，且
0??B?90?
，所以
cosB?
.

1313
512120

??
1313169
518 ∴
sinA?sin(180??2B)?sin2B?2sinBcosB?2?
519
520
521

125119
cosA?cos(180??2 B)??cos2B??(cos
2
B?sin
2
B)??(()
2
?()
2
)??
1313169
tanA?
sinA120 169120

??(?)??
cosA169119119
1
2t an
?
3
?
3
tan2
?
??
1?tan
2
?
1?(
1
)
2
4
3
2?522 17、解：，
51

523
13
?
t an
?
?tan2
?
tan(
?
?2
?
) ??
74
?1
.

1?tan
?
?tan2
?
1?
1
?
3
74
524 18、解：
cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)sin
?
?
111
?
cos[(
?
?
?
)?
?
]?
，即
cos
?
?

333
525 又
?
?(
122
3
?
< br>,2
?
)
，所以
sin
?
??1?cos
2
?
??1?()
2
??
33
2
526 ∴
sin2
?
?2sin
?
cos
?
?2?(?
22 142

)???
339
527
528
529
530
531
532
533
534
535 122
2
7
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?()
2
?(?)??

339
∴
???
72422?72?8

cos(2
?
?)?cos2
?
cos?sin2
?
sin????(?)? ?
444929218
19、（1）
1?sin2
?
； （2）
cos2
?
； （3）
sin4x
； （4）
tan2
?
.

习题3.1 B组（P138）

1、略.

2、解：∵
tanA,tanB
是
x
的 方程
x
2
?p(x?1)?1?0
，即
x
2
?px ?p?1?0
的两个
实根

∴
tanA?tanB??p
，
tanA?tanB?p?1

tanA?tanB?p
????1

1?tanA?tanB1?(p?1)
1
4
536 ∴
tanC? tan[
?
?(A?B)]??tan(A?B)
??
3
?
.

4
537
538
由于
0?C?
?
，所以
C?
3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一）

52

539
540
541
542
sin
2
?
?cos
2
(
?
?30?)?sin
?
cos(
?
?30?)?
3
（证明略）

4
本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是：

sin< br>2
(
?
?30?)?cos
2
?
?sin(
?
?30?)cos
?
?
3

4
3
4
sin
2
(
?
?15?)?cos
2
(?
?15?)?sin(
?
?15?)cos(
?
?15?)?
543
544
545
546
547
sin
2
?
?cos
2
?
?sin
?
cos
?
?
3
，其中
?
?
?
?30?
，等等

4
思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，
从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、
运算能力的提高.

4、 因为
PA?PP
则
(cos(
?
?
?
)?1)2
?sin
2
(
?
?
?
)?(cos
?
?cos
?
)
2
?(sin
?
?sin
?
)
2

12
，
即
2?2cos(
??
?
)?2?2cos
?
cos
?
?2sin
?
sin
?

548
549
550
551
552
553
554
所以
cos(
?
??
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin< br>?

3．2简单的三角恒等变换

练习（P142）

1、略. 2、略. 3、略.

4、（1）
y?sin4x
. 最小正周期为
最大值为；

1
2
1
2
?
?
k
??
k
?
，递增区间为
[??,?],k?Z
，
28282
555
556
（2）
y?cosx?2
. 最小正周期为
2
?
，递增区间 为
[
?
?2k
?
,2
?
?2k
?
],k?Z
，最大
值为3；

53

557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
?
?
5
?
k< br>??
k
?
（3）
y?2sin(4x?)
. 最小正周期为， 递增区间为
[??,?],k?Z
，
32242242
最大值为2.

习题3.2 A组（ P143）

1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略；

（4）提示：用
sin
2
?
?cos
2
?
代替1，用
2sin?
cos
?
代替
sin2
?
；

（5）略； （6）提示：用
2cos
2
?
代替
1?cos2?
；

（7）提示：用
2sin
2
?
代替
1?cos2
?
，用
2cos
2
?
代替
1 ?cos2
?
； （8）略.

2、由已知可有
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……① ，
sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
?
……
②

（1）②×3－①×2可得
sin
?< br>cos
?
?5cos
?
sin
?

1
2
1
3
567 （2）把（1）所得的两边同除以
cos
?
cos
?
得
tan
?
?5tan
?
568 注意：这里
cos
?
cos
?
?0
隐含与①、②之中

1
2?(?)
2tan
?
1
2
??
4

?
3、由已知可解得
tan
?
??
. 于是
tan 2
?
?
1?tan
2
?
1?(?
1
)2
3
2
2
1
??1
?
1
4
?
2
tan(
?
?)??

4
1?tan
?
?tan
?
1?(?
1
)?1
3
42
ta n
?
?tan
569
?
570
571
?
∴
tan2
?
??4tan(
?
?)

4
572 4、由已知可解得
x?sin
?
，
y?cos< br>?
，于是
x
2
?y
2
?sin
2
?
?cos
2
?
?1
.

54

573
574
575
576
?
?< br>?
k
?
7
?
k
?
5、
f(x)?2 sin(4x?)
，最小正周期是，递减区间为
[?,?],k?Z
.

32242242
习题3.2 B组（P143）

1、略.
< br>2、由于
76?2?7?90
，所以
sin76??sin(90??14?) ?cos14??m

577 即
2cos
2
7??1?m，得
cos7??
m?1

2
578 3、设存在锐角
?
,
?
使
?
?2
?
?
2
?
??
?
，所以
?
?
?
，
tan(?
?< br>)?3
，

23
32
tan
?
?
)?
579 又
tan
?
2
tan
?
?2?3
，又因为
tan(< br>?
2
?
2
?tan
?
1?tan
?
2
，

tan
?
580 所以
tan
?
? tan
?
?tan(?
?
)(1?tantan
?
)?3? 3

222
??
581 由此可解得
tan
?
?1
，
?
?
?
6< br>?
4
，所以
?
?
?
6
.

582 经检验
?
?
，
?
?
?
4
是符合题意的两锐角.

1
2
583
584
1
2
11
直于
x
轴，交
x
轴于
M
1
，
?MOM
1
?(
?
?
?
)?
?
?(
?
?
?
)
.

22
4、线段
AB
的中点
M
的坐标为
((cos
?
?cos
?< br>),(sin
?
?sin
?
))
. 过
M
作
MM
1
垂
y
B
M
C
A
585 在
Rt?OMA
中，
OM?OAcos
?
?
?
2?cos
?
?
?
2
.

?
?
?
2
586 在
Rt?OM
1
M中，
OM
1
?OMcos?MOM
1
?cos
M
1
M?OMsin?MOM
1
?sin
cos
?
?
?
2
，

O
M
1
x
587
?
?
?
2
cos
?
?
?
2
.

55

588 于是有
1
(cos
?
?cos
?
)?cos
?
?
??
?
?
22
cos
2
，

589
1
2
(sin?
?sin
?
)?sin
?
?
??
?
?
2
cos
2

590 5、当
x?2
时，
f(
?
)?sin
2
?
?cos
2
?
? 1
；

591 当
x?4
时，
f(
?
)?sin
4
?
?cos
4
?
?(sin
2?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?
592
?1?
1
2
sin< br>2
2
?
，此时有
1
2
≤f(
?
)≤ 1
；

593 当
x?6
时
594
f(< br>?
)?sin
6
?
?cos
6
?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
3
?3sin
2
?
cos
2
?
(sin
2
?
?cos
2
?
)

595
?1?
3
4
s in
2
2
?
，此时有
1
4
≤f(
?
)≤1
；

596 由此猜想，当
x?2k,k?N
?时，
1
2
k?1
≤f(
?
)≤1

597 6、（1）
y?5(
3
sinx?
4
55
cosx)?5sin(x?
?
)
，其中
cos
?
?
3
,sin
?
?
4
55

598 所以，
y
的最大值为5，最小值为﹣5；

599 （2）
y? a
2
?b
2
sin(x?
?
)
，其中
co s
?
?
ab
a
2
?b
2
,sin
?
?
a
2
?b
2

600 所以，y
的最大值为
a
2
?b
2
，最小值为
?a2
?b
2
；

601 第三章 复习参考题A组（P146）

602 1、
16
65
. 提示：
?
?(
?
?
?
)?
?

603 2、
56
65
. 提示：
sin(
?
?< br>?
)??sin[
?
?(
?
?
?
)]??s in[(
5
??
4
?
?
)?(
4
?
?
)]
56

，

604
605
3、1.

4、（1）提示：把公式
tan(
?< br>?
?
)?
tan
?
?tan
?
变形；

1?tan
?
tan
?
606 （2）
3
； （3）2； （4）
?3
. 提示：利用（1）的恒等式.

cos10??3sin10?4sin(30??10?)
??4
；

sin10?cos10?sin20?
sin10?sin10??3cos10?

?3)?sin40??
cos10?cos10?
607 5、（1）原式=
608 （2）原式=
sin40?(
=609
?2sin40?cos40??sin80?
???1
；

cos10?cos10?
3sin20?3sin20??cos20?

?1)?tan70?cos10??
cos20?cos20?
610 （3）原式=
tan70?cos10?(
=611
sin70??2sin10??sin20?
?cos10?????1
；

cos70?cos20?cos70?
3sin10?cos10??3sin10?

)?sin50??
cos10?cos10?
612 （4）原式=
sin50??(1?
613
9
5
?sin50??
2cos50?sin100?
??1

cos10?cos10?
24
；

25
614 6、（1）； （2）
615
616
（3）
?
（4）
22
. 提示：
sin
4
?
?cos
4?
?(sin
2
?
?cos
2
?
)
2
?2sin
2
?
cos
2
?
；

3
17
.

25
2
5
1
5
sin
?
sin
?
1
?
.

cos
?
cos
?
2
617 7、由已知可求得
c os
?
cos
?
?
，
sin
?
sin?
?
，于是
tan
?
tan
?
?
61 8 8、（1）左边=
2cos
2
2
?
?1?4cos2
?
?3?2(cos
2
2
?
?2cos2
?
?1)< br>
619
?2(cos2
?
?1)
2
?2(2co s
2
?
)
2
?8cos
4
?
=右边

57

620
sin
2
?
?cos< br>2
?
?2sin
?
cos
?
(sin
??cos
?
)
2
?
（2）左边=

22cos
?
?2sin
?
cos
?
2cos
?
(cos
?
?sin
?
)
621
622
?
sin
?
?cos
?
11
?tan
?
?
=右边

2cos
?
22
sin(2
?
?
?
)?2cos(
?
?
?
)sin
?
s in[(
?
?
?
)?
?
]?2cos(
?
?
?
)sin
?

?
sin
?
2cos< br>?
(cos
?
?sin
?
)
（3）左边=
623
?
sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)sin
?
sin< br>?
=右边

?
sin
?
sin
?
624
3?4cos2A? 2cos
2
2A?12(cos
2
2A?2cos2A?1)
? （4）左边=

3?4cos2A?2cos
2
2A?12(cos
2
2A?2cos2A?1)
625
(1?cos2A)
2
(2sin
2
A)
2
???tan
4
A
=右边< br>
222
(1?cos2A)(2cosA)
626
?
9、 （1）
y?1?sin2x?1?cos2x?sin2x?cos2x?2?2sin(2x?)?2

4
627
?
5
?
递减区间为
[?k
?
,?k
?
],k?Z

88
628
629
630
631
632
633
（2）最大值为
2?2
，最小值为
2?2
.

10
f(x)?(cos
2
x?sin
2
x)(cos
2
x?s in
2
x)?2sinxcosx?cos2x?sin2x?2cos(2x?)

4
、
?
（1）最小正周期是
?
；

?
??
5
?
?
3
?
（2）由
x?[0,]
得
2x??[,]
，所以当
2x??
?
，即< br>x?
时，
f(x)
的
244448
最小值为
?2.
f(x)
取最小值时
x
的集合为
{
3
?< br>}
.

8
634
?
11、
f(x)?2s in
2
x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x?2sin(2x?)?1
4
635 （1）最小正周期是
?
，最大值为
2?1
；

58

636
??
（2）
f(x)
在
[?,]
上的图象如右图：

22
637
638
639
640
641
?
12、
f(x)?3sinx?cosx?a?2sin(x?)?a
.

6
（1）由
2?a?1
得
a??1
；

（2）
{x2k
?
≤x≤
2
?
?2k
?
,k?Z}
.

3
E
C
13、如图，设
?ABD?
?
，则
?CAE?
?
，


AB?
h
2
h
，
AC?
1

co s
?
sin
?
h
1
l
1
A
h2
642 所以
S
?ABC
当
2
?< br>?
?
2
1hh
?
??AB?AC?
12
，< br>(0?
?
?)

2
2sin2
?
D
?
B
l
2
643
644
，即
?
??
4
时，
S
?ABC
的最小值为
h
1
h
2
.

第三章 复习参考题B组（P147）

1
?
sin
?
?cos
?
?
4
?
1、解法 一：由
?
5
，及
0≤
?
≤
?
，可解得sin
?
?
，

5
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
645
646
13247
，
cos2
?
??
，

cos
?
?sin
?
??
，所以
sin2
?
?< br>25
5525
647
648
649
???
312
.

sin(2
?
?)?sin2< br>?
cos?cos2
?
sin?
44450
解法二：由< br>sin
?
?cos
?
?
cos
2
2
?
?
49
.

625
1124
得
(si n
?
?cos
?
)
2
?
，
sin2
?
?
，所以
25
525
650
651
?2
1
又由
sin
?
?cos
?
?
，得
sin(
?
?)?
.

5
410
??3
?
因为
?
?[0,
?
]
，所以
?< br>??[?,]
.

444
59

652 ??
?
而当
?
??[?,0]
时，
sin(
?
?)≤0
；

444
653
654
?
22
??
3
?
当
?
??[,]
时，
sin (
?
?)≥
.

?
444
4210
??< br>??
所以
?
??(0,)
，即
?
?(,)

4442
655
656
?
312
?
7
所以
2
?
?(,
?
)
，
cos2
?
??
.
sin(2
?
?)?

225
4502、把
cos
?
?cos
?
?
两边分别平方得
cos
2
?
?cos
2
?
?2cos
?
c os
?
?

1
3
1
9
1
2
1
4
657 把
sin
?
?sin
?
?
两边分别平方得
sin< br>2
?
?sin
2
?
?2sin
?
sin?
?

13
，

36
658 把所得两 式相加，得
2?2(cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
)?
1359
，所以
cos(
?
?
?
)??

3672
659 即
2?2cos(
?
?
?
)?
660
661 < br>?
433343
?
4
3、由
sin(
?
?) ?sin
?
??
可得
sin
?
?cos
???
，
sin(
?
?)??
.

35225
65
又
?
?
2
?
??0
，所以
?
?
3
?
?
?
?
6
?
?
6
?
3
，于是
cos(
?
?)?
.

65
662
??
33?4
所以
cos
?
?cos[(
?
?)?]?

6610
663
sin2x?2sin
2
x2sinxcosx? 2sin
2
x2sinxcosx(cosx?sinx)
4、

? ?
sinx
1?tanxcosx?sinx
1?
cosx
664
?sin2x
1?tanx
?
?sin2xtan(?x)

1?tanx4
665 由
17
?
7
?
5< br>??
?
3
得
?x??x??2
?
，又
cos (?x)?
，

1243445
666
?
4
?
4
所以
sin(?x)??
，
tan(?x)??

4543
667
??????
2
所以
cosx?c os[(?x)?]?cos(?x)cos?sin(?x)sin??
，

44444410
60

668
72
sin2x? 2sin
2
x28
7
，
sin2x?2sinxcosx?
, 所以
sinx??
??
，

10
1?tanx75
25
669
670
5、把已知代 入
sin
2
?
?cos
2
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
?2sin
?
cos
?< br>?1
，得
(2sin
?
)
2
?2sin
2< br>?
?1
.

671
672
673
674
675
676
变形得
2(1?cos2
?
)?(1?cos2
?
)?1
，
2cos2
?
? cos2
?
，
4cos
2
2
?
?4cos
2
2
?

本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含
?
的三角
函数.

考虑
sin
?
?cos
?
，
sin
?
cos
?
这两者又有什么关系？及得 上解法.

5、6两题上述解法称为消去法

?
6、
f(x )?3sin2x?1?cos2x?m?2sin(2x?)?m?1
.

6
677
?
??
7
?
由
x?[0,]
得
2x??[,]
，于是有
2?m?1?6
. 解得
m?3
.

2666
678
?

f(x)?2sin(2x?)?4(x?R)
的最小值为
?2?4?2
，

6
679 此时
x
的取值集合由
2x?
?
6
?
3
?
2
?
?2k
?
(k?Z)
，求得 为
x??k
?
(k?Z)

23
680 7、设
A P?x
，
AQ?y
，
?BCP?
?
，
?DCQ?< br>?
，则
tan
?
?1?x
，
tan
?
?1?y

于是
tan(
?
?
?
)?
2?(x?y)

(x?y)?xy
681
682
683
又
?A PQ
的周长为2，即
x?y?x
2
?y
2
?2
，变 形可得
xy?2(x?y)?2

于是
tan(
?
?
?
)?
?
2
2?(x?y)
?1
.

(x?y)?[2(x?y)?2]
684 又
0?
?
?
?
?
，所以
?
?
?
?
?
4
，
?PCQ?
?
2
?(
?
?
?
)?
?4
.

61

685
1
?
s in
?
?cos
?
?
?
8、（1）由
?
5
，可得
25sin
2
?
?5sin
?
?12?0< br>
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
?
686 解得
sin
?
?
或
sin?
??
（由
?
?(0,
?
)
，舍去）

1
5
3
5
4
3
4
5
3
5
687 所以
cos
?
??sin
?
??
，于是
tan
?
??

688 （2）根据所给条件，可求得仅 由
sin
?
,cos
?
,tan
?
表示的三角函数 式的值，

sin
?
?cos
?
sin
?
?cos
?
?
例如，
sin(
?
?)
，
c os2
?
?2
，，，等等.

2tan
?
3sin
?
?2cos
?
3
689
62