高中数学实验教学模式的探索与实践-高中数学4-4试题0下载券
第二章 平面向量
2.1 向量的概念及表示
【学习目标】
1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、
单
位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向
量；
2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；
3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
【学习重难点】
重点：平行向量的概念和向量的几何表示；
难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；
【自主学习】
1.向量的定义：__
__________________________________________________
______;
2.向量的表示：
（1）图形表示：
（2）字母表示：
3.向量的相关概念：
（1）向量的长度（向量的模）：___
____________________记作：______________
（2）零向量：_
__________________，记作：_____________________
（3）单位向量：________________________________
（4）平行向量：________________________________
（5）共线向量：________________________________
（6）相等向量与相反向量：_________________________
思考：
（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？____
（2）平行向量与共线向量的关系：__________________________________
__________
（3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：_____________
_____________________
【典型例题】
例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正：
（1）零向量是唯一没有方向的向量；
（2）平面的向量单位只有一个；
（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量；
（4）向量
a和
b
是共线向量，
bc
，则
a
和
c
是
方向相同的向量；
- 1 -
（5）相等向量一定是共线向量；
例2.已知
O
是正六边形
ABC
DEF
的中心，在图中标出的向量中：
（1）试找出与
EF
共线的向量；
（2）确定与
EF
相等的向量；
（3）
OA
与
BC
相等吗？
【课堂练习】
1.判断下列说法是否正确，若不正确请改正：
E
F
O
D
C
AB
（1）向量
AB
和
CD
是共
线向量，则
A、B、C、D
四点必在一直线上；
（2）单位向量都相等；
（3）任意一向量与它的相反向量都不想等；
（4）四边形
ABCD
是平行四边形当且仅当
AB?CD
；
（5）共线向量，若起点不同，则终点一定不同；
2.平面直角坐标系
x
Oy
中，已知
|OA|?2
，则
A
点构成的图形是________
__
3. 四边形
ABCD
中，
则四边形
ABCD
的形状是_________
4.设
a
5.若
E、F、M、N
分别是四边形
ABCD
的边
AB、B
C、CD、DA
的中点。
求证：
EF
6.已知飞机从甲地北偏东
30
的方向飞行
2000km
到达乙地，再从乙地按南偏东
30的方
向飞行
2000km
到达丙地，再从丙地按西南方向飞行
1000<
br>甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
【课堂小结】
?0
，则与
a
方向相同的单位向量是______________
NM
2km
到达丁地，问：丁地在
- 2
-
2.2.1 向量的加法
【学习目标】
1.掌握向量加法的定义；
2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量；
3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算
【学习重难点】
重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；
难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；
【自主学习】
1.向量的和、向量的加法：
已知向量
a
和
b
，____
__________________________________________________
则向量
OB
叫做
a
与
b
的和，记作：______
______________________________
_________________________________叫做向量的加法
B
b
b
a
O
a
A
注意：两个向量的和向量还是一个向量；
2.向量加法的几何作法：
（1）三角形法则的步骤：
①
②
③
?OA
就是所做的
a?b
（2）平行四边形法则的步骤：
①
②
③
?OC
就是所做的
a?b
注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加法的三角
-
3 -
形法则对于任何两个向量都适用。
3.向量加法的运算律：
（1）向量加法的交换律：
_________________________________________
（2）向量加法的结合律：
_________________________________________
思考：如果平面有
n
个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这
n
条向量
的和是什么？
________________
【例题讲解】
例1.
如图，已知
O
为正六边形
ABCDEF
的中心，作出下列向量：
（1）
OA?OC
（2）
BC
例2.化简下列各式
（1）
AB
（3）
AB
例3.在长江南岸某处，江水以
12.5km
?EF
（3）
OA?FE
E
D
F
A
?O
C
B
?BC?CD?DA?EA
（2）
AB?MB?BO?OM
?DF?CD?BC?FA
（4）
AB?CD?(BC?DB)?BC
h
的速度向东流，渡船的速度为
25kmh
，渡船
要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
- 4 -
【课堂练习】
1.已知
a,b
，求作：
a
（1）
（2）
2.已知
O
是平行四边形
ABCD
的交点，下列结论正确的有_________
（1）
AB
?b
a
b
a
b
?CB?AC
（2）
AB?AD?AC
（3）
AD?CD?BD
（4）
AO?CO?OB?OD?0
3.设点
O
是
?ABC
一点，若
OA?OB
4.对于任意的
a,b
，不等式
|a|?|b|?|a?b|?|
a|?|b|
成立吗？请说明理由。
【课堂小结】
?OC?0
，则点
O
为
?ABC
的______心；
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2.2.2 向量的减法
【学习目标】
1.理解向量减法的概念；
2.会做两个向量的差；
3.会进行向量加、减得混合运算
4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力
【学习重难点】
重点：三角形法则
难点：三角形法则，向量加、减混合运算
【自主学习】
1.向量的减法：
①
a
与
b
的差
：若__________________，则向量
x
叫做
a
与
b
的差，记为__________
②向量
a
与
b
的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法；
注意：向量的减法是向量加法的逆运算。
2.向量
a?b
的减法的作图方法：
作法：①_______________________________
②________________________________
③________________________________
则
BA?a
3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
a?b?a?(?b)
4.关于向量减法需要注意一下几点：
①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量即可.
②以向量
?b
AB?a,AD?b
为邻边作平行四边形
A
BCD
，则两条对角线的向量为
AC?a?b,
BD?b?a
，
DB
?a?b
这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强理
解；
③对于任意一
点
O
，
AB?OB?OA
，简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记住.
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